二次函数中的数形结合
一、解一元二次不等式
基本方法：配方。
x 2 − 4 x + 3 < 0 → ( x − 2 ) 2 < 1 → ∣ x − 2 ∣ < 1 → 1 < x < 3 x^2-4x+3<0\to(x-2)^2<1\to\lvert x-2\rvert<1\to1<x<3 x2−4x+3<0→(x−2)2<1→∣x−2∣<1→1<x<3
数形结合： y = x 2 − 4 x + 3 < 0 → y = ( x − 1 ) ( x − 3 ) < 0 → 1 < x < 3 y=x^2-4x+3<0\to y=(x-1)(x-3)<0\to1<x<3 y=x2−4x+3<0→y=(x−1)(x−3)<0→1<x<3
练习：
- 2 x 2 − x − 1 ≥ 0 → ( 2 x + 1 ) ( x − 1 ) ≥ 0 → x ≤ − 1 2 or x ≥ 1 2x^2-x-1\ge0\to(2x+1)(x-1)\ge0\to x\le-\cfrac{1}{2}\operatorname{or}x\ge1 2x2−x−1≥0→(2x+1)(x−1)≥0→x≤−21orx≥1
- − x 2 + x + 1 ≥ 0 → 1 − 5 2 ≤ x ≤ 1 + 5 2 -x^2+x+1\ge0\to\cfrac{1-\sqrt5}{2}\le x\le\cfrac{1+\sqrt5}{2} −x2+x+1≥0→21−5 ≤x≤21+5
- 3 x 2 − x + 1 < 0 Δ = 1 − 12 < 0 → 3x^2-x+1<0\ \Delta=1-12<0\to 3x2−x+1<0 Δ=1−12<0→ 无解
二、数形结合判断根的范围 重点
前置知识
区间根定理：若连续 ^1^函数 f ( x ) f(x) f(x) 再区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的两端函数值异号，则 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内必有根。
^1^：不包括反比例函数等非连续函数。
三个事：
- 特殊值
- 对称轴
- 判别式
练习：
- f ( x ) = x 2 + x + a = 0 f(x)=x^2+x+a=0 f(x)=x2+x+a=0 的两根中一个大于 3 3 3，一个小于 3 3 3。
f ( 3 ) < 0 f(3)<0 f(3)<0 足矣。 - f ( x ) = x 2 + x + a = 0 f(x)=x^2+x+a=0 f(x)=x2+x+a=0 的两根都在 ( − 1 , 3 ) (-1,3) (−1,3) 内。
- f ( − 1 ) > 0 f(-1)>0 f(−1)>0
- f ( 3 ) > 0 f(3)>0 f(3)>0
- − 1 < -1< −1< 轴 < 3 <3 <3
- Δ ≥ 0 \Delta\ge0 Δ≥0
三、例题
解不等式 2 x 2 − 3 x − 2 > 0 2x^2-3x-2>0 2x2−3x−2>0。
2 x 2 − 3 x − 2 = ( 2 x + 1 ) ( x − 2 ) > 0 → x < − 1 2 or x > 2 2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)>0\to x<-\cfrac{1}{2} \operatorname{or} x>2 2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)>0→x<−21orx>2
解不等式 − x 2 − 2 x + 3 ≥ 0 -x^2-2x+3\ge0 −x2−2x+3≥0。
− x 2 − 2 x + 3 = ( − x + 1 ) ( x + 3 ) ≥ 0 → − 3 ≤ x ≤ 1 -x^2-2x+3=(-x+1)(x+3)\ge0\to-3\le x\le1 −x2−2x+3=(−x+1)(x+3)≥0→−3≤x≤1
解不等式 3 x 2 − x + 2 > 0 3x^2-x+2>0 3x2−x+2>0。
Δ = − 23 < 0 → x \Delta=-23<0\to x Δ=−23<0→x 为任意数
已知实数 x , y x,y x,y 满足 x 2 + y 2 + 2 x − 3 = 0 x^2+y^2+2x-3=0 x2+y2+2x−3=0，则 2 x 2 + y 2 2x^2+y^2 2x2+y2 的最大值为________.
分析：消元。利用平方数求范围。
∵ y 2 = 3 − x 2 − 2 x ≥ 0 \because y^2=3-x^2-2x\ge0 ∵y2=3−x2−2x≥0
∴ − 3 ≤ x ≤ 1 \therefore-3\le x\le1 ∴−3≤x≤1
∴ 2 x 2 + y 2 = 2 x 2 + 3 − x 2 − 2 x = x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1 ) 2 + 2 \therefore2x^2+y^2=2x^2+3-x^2-2x=x^2-2x+3=(x-1)^2+2 ∴2x2+y2=2x2+3−x2−2x=x2−2x+3=(x−1)2+2
∴ \therefore ∴ 在 x = − 3 x=-3 x=−3 时， max = 18 \max=18 max=18
若关于 x x x 的一元二次方程 x 2 + ( m − 5 ) x + m − 2 = 0 x^2+(m-5)x+m-2=0 x2+(m−5)x+m−2=0 有实根，且一根大于 1 1 1，另一根小于 2 2 2，则实数 m m m 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 f ( 2 ) < 0 f(2)<0 f(2)<0，即可代入原函数求出 m m m 的取值范围。
- f ( 2 ) < 0 → 4 + 2 ( m − 5 ) + m − 2 = 3 m − 8 < 0 → m < 8 3 f(2)<0\to4+2(m-5)+m-2=3m-8<0\to m<\cfrac{8}{3} f(2)<0→4+2(m−5)+m−2=3m−8<0→m<38
∴ m < 8 3 \therefore m<\cfrac{8}{3} ∴m<38
若关于 x x x 的一元二次方程 x 2 − ( 2 − a ) x + 5 − a = 0 x^2-(2-a)x+5-a=0 x2−(2−a)x+5−a=0 有实根，且一根在区间 ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2) 内，另一根在区间 4 , 6 4,6 4,6 内，则实数 a a a 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 f ( 0 ) > 0 , f ( 2 ) < 0 , f ( 4 ) < 0 , f ( 6 ) > 0 f(0)>0,f(2)<0,f(4)<0,f(6)>0 f(0)>0,f(2)<0,f(4)<0,f(6)>0，即可代入原函数求出 a a a 的取值范围。
- f ( 0 ) > 0 → 5 − a > 0 → a < 5 f(0)>0\to5-a>0\to a<5 f(0)>0→5−a>0→a<5
- f ( 2 ) < 0 → 4 − 2 ( 2 − a ) + 5 − a = a + 5 < 0 → a < − 5 f(2)<0\to4-2(2-a)+5-a=a+5<0\to a<-5 f(2)<0→4−2(2−a)+5−a=a+5<0→a<−5
- f ( 4 ) < 0 → 16 − 4 ( 2 − a ) + 5 − a = 3 a + 13 < 0 → a < − 13 3 f(4)<0\to16-4(2-a)+5-a=3a+13<0\to a<-\cfrac{13}{3} f(4)<0→16−4(2−a)+5−a=3a+13<0→a<−313
- f ( 6 ) > 0 → 36 − 6 ( 2 − a ) + 5 − a = 5 a + 29 > 0 → a > − 29 5 f(6)>0\to36-6(2-a)+5-a=5a+29>0\to a>-\cfrac{29}{5} f(6)>0→36−6(2−a)+5−a=5a+29>0→a>−529
∴ − 29 5 < a < − 5 \therefore-\cfrac{29}{5}<a<-5 ∴−529<a<−5
若关于 x x x 的一元二次方程 a x 2 − 2 x + 1 = 0 ( a > 0 ) ax^2-2x+1=0(a>0) ax2−2x+1=0(a>0) 有实根，且一根在区间 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3) 内，另一根小于 1 1 1，则实数 a a a 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 f ( 1 ) < 0 , f ( 3 ) > 0 f(1)<0,f(3)>0 f(1)<0,f(3)>0，即可代入原函数求出 a a a 的取值范围。
- f ( 1 ) < 0 → a − 1 < 0 → a < 1 f(1)<0\to a-1<0\to a<1 f(1)<0→a−1<0→a<1
- f ( 3 ) > 0 → 9 a − 5 > 0 → a > 5 9 f(3)>0\to 9a-5>0\to a>\cfrac{5}{9} f(3)>0→9a−5>0→a>95
∴ 5 9 < a < 1 \therefore\cfrac{5}{9}<a<1 ∴95<a<1
若关于 x x x 的一元二次方程 x 2 + ( m − 5 ) x + m − 2 = 0 x^2+(m-5)x+m-2=0 x2+(m−5)x+m−2=0 有实根，且两根都小于 − 2 -2 −2，则实数 m m m 的取值范围为________________.
分析：数形结合后可得 f ( − 2 ) > 0 , f(-2)>0, f(−2)>0, 轴 < − 2 , Δ ≥ 0 <-2,\Delta\ge0 <−2,Δ≥0，即可代入原函数求出 m m m 的取值范围。
- f ( − 2 ) > 0 → 4 − 2 ( m − 5 ) + m − 2 = 12 − m > 0 → m < 12 f(-2)>0\to4-2(m-5)+m-2=12-m>0\to m<12 f(−2)>0→4−2(m−5)+m−2=12−m>0→m<12
- 轴 < − 2 → − m − 5 2 < − 2 → m > 9 <-2\to-\cfrac{m-5}{2}<-2\to m>9 <−2→−2m−5<−2→m>9
- Δ ≥ 0 → ( m − 5 ) 2 − 4 ( m − 2 ) = m 2 − 14 m + 33 ≥ 0 → m ≤ 3 \Delta\ge0\to(m-5)^2-4(m-2)=m^2-14m+33\ge0\to m\le3 Δ≥0→(m−5)2−4(m−2)=m2−14m+33≥0→m≤3 或 m ≥ 11 m\ge11 m≥11
∴ 11 ≤ m < 12 \therefore11\le m<12 ∴11≤m<12
若关于 x x x 的一元二次方程 4 x 2 − 2 m x + n = 0 4x^2-2mx+n=0 4x2−2mx+n=0 有实根，且两根都在区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 内，已知 m , n m,n m,n 均为正整数，则 m 2 + n = m^2+n= m2+n= ________________.
分析：数形结合后可得 f ( 0 ) > 0 , f ( 1 ) > 0 , 0 < f(0)>0,f(1)>0,0< f(0)>0,f(1)>0,0< 轴 < 1 , Δ ≥ 0 <1,\Delta\ge0 <1,Δ≥0，代入原函数可求出 m , n m,n m,n 的取值范围，最后分类讨论即可求出答案。
- f ( 0 ) > 0 → n > 0 f(0)>0\to n>0 f(0)>0→n>0 无用
- f ( 1 ) > 0 → 4 − 2 m + n > 0 → 4 + n > 2 m f(1)>0\to4-2m+n>0\to4+n>2m f(1)>0→4−2m+n>0→4+n>2m
- 0 < 0< 0< 轴 < 1 → 0 < 2 m 8 < 1 → 0 < m < 4 <1\to0<\cfrac{2m}{8}<1\to0<m<4 <1→0<82m<1→0<m<4
- Δ ≥ 0 → 4 m 2 − 16 n ≥ 0 → m 2 ≥ 4 n \Delta\ge0\to4m^2-16n\ge0\to m^2\ge4n Δ≥0→4m2−16n≥0→m2≥4n
分类讨论：
| m m m | 1 1 1 | 2 2 2 | 3 3 3 |
|---|---|---|---|
| n n n | × \times × | 1 1 1 | × \times × |
则 m 2 + n = 5 m^2+n=5 m2+n=5.
若关于 x x x 的一元二次方程 m x 2 − ( 2 m + 1 ) x + 5 m + 1 = 0 mx^2-(2m + 1)x + 5m + 1 = 0 mx2−(2m+1)x+5m+1=0 有实根，且在区间 [ 3 2 , 5 ] [\cfrac{3}{2},5] [23,5] 内恰有一根，求实数 m m m 的取值范围。
分析：因为不知道 m m m 的正负，所以二次函数的开口朝向就不知道了，所以考虑分类讨论。
- f ( 3 2 ) > 0 f(\cfrac{3}{2})>0 f(23)>0 且 f ( 5 ) < 0 f(5)<0 f(5)<0
- 9 4 − ( 3 m + 3 2 ) + 5 m + 1 > 0 \cfrac{9}{4}-(3m+\cfrac{3}{2})+5m+1>0 49−(3m+23)+5m+1>0
- 25 m − ( 10 m + 5 ) + 5 m + 1 < 0 25m-(10m+5)+5m+1<0 25m−(10m+5)+5m+1<0
∴ m > 2 17 \therefore m>\cfrac{2}{17} ∴m>172 且 m < 1 5 m<\cfrac{1}{5} m<51
- f ( 3 2 ) < 0 f(\cfrac{3}{2})<0 f(23)<0 且 f ( 5 ) > 0 f(5)>0 f(5)>0
- 9 4 m − ( 3 m + 3 2 ) + 5 m + 1 < 0 \cfrac{9}{4}m-(3m+\cfrac{3}{2})+5m+1<0 49m−(3m+23)+5m+1<0
- 25 m − ( 10 m + 5 ) + 5 m + 1 > 0 25m-(10m+5)+5m+1>0 25m−(10m+5)+5m+1>0
∴ m < 2 17 \therefore m<\cfrac{2}{17} ∴m<172 且 m > 1 5 m>\cfrac{1}{5} m>51**（舍）**
- f ( 3 2 ) = 0 f(\cfrac{3}{2})=0 f(23)=0
- 9 4 m − ( 3 m + 3 2 ) + 5 m + 1 = 0 \cfrac{9}{4}m-(3m+\cfrac{3}{2})+5m+1=0 49m−(3m+23)+5m+1=0
∴ m = 2 17 \therefore m=\cfrac{2}{17} ∴m=172
- f ( 5 ) = 0 f(5)=0 f(5)=0
- 25 m − ( 10 m + 5 ) + 5 m + 1 = 0 25m-(10m+5)+5m+1=0 25m−(10m+5)+5m+1=0
∴ m − 1 5 \therefore m-\cfrac{1}{5} ∴m−51
∴ 1 5 x 2 − 7 5 x + 2 = 0 \therefore\cfrac{1}{5}x^2-\cfrac{7}{5}x+2=0 ∴51x2−57x+2=0
∴ ( x − 2 ) ( x − 5 ) = 0 \therefore(x-2)(x-5)=0 ∴(x−2)(x−5)=0
∴ x = 2 \therefore x=2 ∴x=2 或 5 5 5**（舍）**
综上， 2 17 ≤ x < 1 5 \cfrac{2}{17}\le x<\cfrac{1}{5} 172≤x<51
已知关于 x x x 的方程 4 x 2 − 4 x + m = 0 4x^2 - 4x + m = 0 4x2−4x+m=0 在区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 内至少有一根，求 m m m 的取值范围。
分析：分类讨论即可。
- 两根在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 内
- f ( − 1 ) ≥ 0 → m ≥ − 8 f(-1)\ge0\to m\ge-8 f(−1)≥0→m≥−8
- f ( 1 ) ≥ 0 → m ≥ 0 f(1)\ge0\to m\ge0 f(1)≥0→m≥0
- − 1 ≤ -1\le −1≤ 轴 ≤ 1 → \le1\to ≤1→ 无用
- Δ ≥ 0 → m ≤ 1 \Delta\ge0\to m\le1 Δ≥0→m≤1
∴ 0 ≤ m ≤ 1 \therefore0\le m\le1 ∴0≤m≤1
- 一根在 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1) 内
f ( − 1 ) < 0 , f ( 1 ) > 0 f(-1)<0,f(1)>0 f(−1)<0,f(1)>0 或 f ( − 1 ) > 0 , f ( 1 ) < 0 f(-1)>0,f(1)<0 f(−1)>0,f(1)<0
m < − 8 , m > 0 m<-8,m>0 m<−8,m>0**（舍）** 或 m > − 8 , m < 0 m>-8,m<0 m>−8,m<0
∴ − 8 < m < 0 \therefore-8<m<0 ∴−8<m<0 - f ( − 1 ) = 0 f(-1)=0 f(−1)=0
m=-8 - f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f(1)=0
m=0
综上， − 8 ≤ m ≤ 1 -8\le m\le1 −8≤m≤1