白话特征向量
一个方阵 A A A 与列向量 v v v 的乘积会生成一个新的列向量。这个新向量通常与原向量有着不同的方向，矩阵在这里代表一个线性变换 。然而，某些向量会保持其原始方向。我们称这种向量为矩阵 A A A 的特征向量（eigenvector）。
在本文中，我们将探讨特征向量、特征值和矩阵的特征方程。并且以 2 维方阵为例，教大家如何计算矩阵的特征向量和特征值。
文章目录
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- 举个例子
- 特征向量的定义
- 特征方程
- 求 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵的特征值
- 利用特征值求特征向量
举个例子
考虑矩阵 T T T:
T = ( 1 3 2 2 ) T = \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &2 \end{pmatrix} T=(1232)
如果将矩阵 T T T 乘以向量 ( 2 , 0 ) (2,0) (2,0) 会得到一个新的向量 ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4):
( 1 3 2 2 ) ( 2 0 ) = ( 2 4 ) \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} (1232)(20)=(24)
如下图所示。左图中原始向量 ( 2 , 0 ) (2, 0) (2,0) 用蓝色表示。右图展示了由上述矩阵 T T T 变换后的同一组向量：
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一般来讲，右边每个变换后的向量与左边的原始向量相比，其大小和方向都有所不同。
有两个特殊的向量在经过 T T T 矩阵变换后方向不变，这两个向量是 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1) 和 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2)：
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这些向量被称为 T T T 的特征向量 。黄色向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 被变换为向量 ( 4 , 4 ) (4,4) (4,4)。变换后的向量与原始向量指向相同的方向，但长度是原来的 4 4 4 倍。我们说向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 是 T T T 的一个特征向量，其特征值 为 4 4 4。
红色向量 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 被变换为向量 ( 3 , − 2 ) (3,-2) (3,−2)。它指向与原始向量方向完全相反的方向，换种说法是说它具有相同的方向但长度为负。向量 ( 3 , − 2 ) (3, -2) (3,−2) 等于 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 乘以 − 1 -1 −1，因此我们说这个向量也是 T T T 的一个特征向量，其特征值 为 − 1 -1 −1。
特征向量的定义
我们用下列方程定义特征向量：
A v = λ v Av = \lambda v Av=λv
其中 A A A 是一个 n n n 阶方阵（上述示例中是一个 2 2 2 阶方阵）， v v v 是一个 n n n 阶向量，而 λ \lambda λ 是一个标量常数。
如果 v v v 是 A A A 的一个特征向量，则 λ \lambda λ 是对应 A A A 的特征向量 v v v 的一个特征值。
通常，特征值的个数等于矩阵的阶数（因此在前面的示例中，有两个特征值，因为它是一个 2 2 2 阶矩阵）。每个特征值都与一个特征向量相关联，但请记住，如果 v v v 是一个特征向量，那么 v v v 的任何标量倍数也是一个特征向量。重要的只是向量的方向。
此外，有时也可能出现合并情况。例如，一个 2 2 2 阶矩阵可能只有一个特征值，对应于两个不共线的不同特征向量。
特征方程
根据上面定义的特征向量的方程 A v = λ v Av = \lambda v Av=λv，我们可以利用单位矩阵来寻找特征值。
单位矩阵是一个方阵，其中主对角线上的每个元素都是 1 1 1，所有其他元素都是 0 0 0。如果我们用同阶的单位矩阵乘以任何向量 v v v，它会使向量保持不变：
I v = v Iv=v Iv=v
因此，我们可以将原方程右侧的 v v v 替换为 I x Ix Ix，方程仍然成立：
A v = λ I v Av = \lambda Iv Av=λIv
然后将两项都移到方程的左侧并提取公因子 v v v ，整理后得到下面的方程。
( A − λ I ) v = 0 (A-\lambda I)v = 0 (A−λI)v=0
注意，上面方程中， 0 0 0 代表零向量，而不是标量值 0 0 0。例如，如果 v v v 是 2 2 2 阶向量，则 0 0 0 表示 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)。
这表明矩阵 ( A − λ I ) (A-\lambda I) (A−λI) 总能将向量 v v v 变换为 0 0 0，这意味着其行列式必须为 0 0 0。因此：
∣ A − λ I ∣ = 0 \vert A-\lambda I \vert = 0 ∣A−λI∣=0
这便是矩阵 A A A 的特征方程 。我们在这里不进行证明，但这个方程的解就是 A A A 的特征值，从这些特征值我们可以找到对应的特征向量。
求 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵的特征值
让我们用上面介绍的特征方程来求矩阵 A = ( 1 3 2 2 ) A=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &2 \end{pmatrix} A=(1232) 的特征向量。其特征方程如下：
∣ A − λ I ∣ = ∣ ( 1 3 2 2 ) − λ ( 1 0 1 1 ) ∣ = ∣ ( 1 3 2 2 ) − ( λ 0 1 λ ) ∣ = ∣ ( 1 − λ 3 2 2 − λ ) ∣ \begin{aligned} \vert A-\lambda I \vert &= \Bigg\vert \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 &1 \end{pmatrix} \Bigg\vert \\ &=\Bigg\vert \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 1 &\lambda \end{pmatrix} \Bigg\vert \\ &= \Bigg\vert \begin{pmatrix} 1-\lambda &3 \\ 2 &2-\lambda \end{pmatrix}\Bigg\vert \end{aligned} ∣A−λI∣=∣∣∣∣∣(1232)−λ(1101)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣(1232)−(λ10λ)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣(1−λ232−λ)∣∣∣∣∣
根据 2 2 2 阶矩阵的行列式计算公式 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc，可得
∣ A − λ I ∣ = ( 1 − λ ) ( 2 − λ ) − 2 ⋅ 3 = λ 2 − 3 λ − 4 \begin{aligned} \vert A-\lambda I \vert =& (1-\lambda)(2-\lambda)-2 \cdot 3 \\ =&\lambda^2-3\lambda-4 \end{aligned} ∣A−λI∣==(1−λ)(2−λ)−2⋅3λ2−3λ−4
解二次方程 λ 2 − 3 λ − 4 = 0 \lambda^2-3\lambda-4 = 0 λ2−3λ−4=0 得，
λ = − 1 λ = 4 \lambda = -1 \qquad \lambda=4 λ=−1λ=4
这就是矩阵 A A A 的特征值。
利用特征值求特征向量
我们利用 ( A − λ I ) v = 0 (A-\lambda I)v = 0 (A−λI)v=0 求特征向量。
上面我们已经推导出 A − λ I = ( 1 − λ 3 2 2 − λ ) A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda &3 \\ 2 &2-\lambda \end{pmatrix} A−λI=(1−λ232−λ) 。代入上面公式可得：
( A − λ I ) v = ( 1 − λ 3 2 2 − λ ) ( x y ) = 0 (A-\lambda I)v = \begin{pmatrix} 1-\lambda &3 \\ 2 &2-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = 0 (A−λI)v=(1−λ232−λ)(xy)=0
将上一步求得的特征值 λ = − 1 , λ = 4 \lambda = -1 , \lambda=4 λ=−1,λ=4 分别代入可得:
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当 λ = − 1 \lambda=-1 λ=−1 时， ( 2 3 2 2 ) ( x y ) = 0 \begin{pmatrix} 2 &3 \\ 2 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = 0 (2232)(xy)=0，得到如下二元一次方程组
{ 2 x + 3 y = 0 2 x + 3 y = 0 \begin{cases} 2x+3y=0 \\ 2x+3y=0 \end{cases} {2x+3y=02x+3y=0这个两个方程是线性相关的（共线的），因此有无数组解，我们只能得到一个关系 x = − 2 3 y x=-\frac{2}{3}y x=−32y。
这是一条过原点，斜率为 − 2 3 -\frac{2}{3} −32 的直线方程。我们的特征向量可以是该线上的任何向量。
在一开始，我们通过图形的方式展示了向量 ( − 3 , 2 ) (-3, 2) (−3,2) 是一个特征向量，这个向量在此直线上。但我们也看到，任何具有相同斜率的向量也是特征向量。因此，例如， ( − 6 , 4 ) (-6, 4) (−6,4) 也是一个特征向量（并且它也满足相同的关系）。存在无数具有不同长度但相同斜率的向量。我们可以选择任何向量，但通常选择具有整数分量的最小向量（如果存在这样的向量）。
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当 λ = 4 \lambda=4 λ=4 时， ( − 3 3 2 − 2 ) ( x y ) = 0 \begin{pmatrix} -3 &3 \\ 2 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = 0 (−323−2)(xy)=0，得到如下二元一次方程组
{ − 3 x + 3 y = 0 2 x − 2 y = 0 \begin{cases} -3x+3y=0 \\ \enspace\:2x-2y=0 \end{cases} {−3x+3y=02x−2y=0这个两个方程也是线性相关的（共线的），因此有无数组解，我们得到关系 x = y x=y x=y。
这同样是一条通原点，斜率为 1 1 1 的直线。因此， ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1) 是一个特征向量， ( 2 , 2 ) (2, 2) (2,2) 等也是特征向量。