算法学习笔记（二分图染色）

首先我们需要明确什么是二分图：如果无向图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)的所有点可以分为两个集合 V 1 、 V 2 V_1、V_2 V1、V2，所有的边都在 V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2之间，而 V 1 V_1 V1或 V 2 V_2 V2的内部没有边，称 G G G是一个二分图。

直接说结论：如果一个图是二分图，那么它一定没有边数量为奇数的环。

判断一个图是否为二分图，一般用"染色法"进行判断。

用两种颜色对所有点进行染色，要求处在一条边上的两个点的颜色不能相同，染色结束后，如果没有相邻点颜色相同，那就是二分图。

例题；【模板】二分图判定

题目描述

给定一个 n n n点 m m m边的无向图，请判定它是否是一个二分图。

如果是，输出 " Y E S " "YES" "YES"，反之输出 " N O " "NO" "NO"。

输入描述

第一行三个整数 n n n, m m m。 ( 1 ≤ n , m ≤ 2 × 1 0 5 ) (1 \leq n,m \leq 2 \times 10^5) (1≤n,m≤2×105)

接下来 m m m行，每行两个整数 x , y x,y x,y表示一条无向边。 ( 1 ≤ x , y ≤ n , x ≠ y ) (1 \leq x,y \leq n,x \not = y) (1≤x,y≤n,x=y)

输出描述

一行输出结果。

输入样例1

复制代码

输出样例1

复制代码

NO

输入样例2

复制代码

输出样例2

复制代码

YES

染色法使用 d f s dfs dfs实现，下边给出带注释代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 2e5 + 9;

int n, m;
vector<int> g[N];
int col[N];     //存储颜色，-1表示未染色，0、1表示颜色

bool dfs(int x) //染色
{
    for(const auto &y : g[x])       //遍历所有边
    {
        if(col[y] == -1)            //如果没被染色
        {
            col[y] = col[x] ^ 1;    //染上不同颜色

            //下一个节点染不上色就返回flase，将flase传到main函数
            if(!dfs(y)) return false;
        }
        else if(col[y] == col[x]) return false;     //如果已经被染色但是和该节点颜色相同，也返回false
    }
    return true;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;

    //存图
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int x, y; cin >> x >> y;
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }

    //初始化
    for(int i = 1; i <= n; ++i) col[i] = -1;
    
    int ans = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(col[i] == -1)
        {
            //用与运算只要有一个没染色答案就变成0
            ans &= dfs(i); 
        }
    }

    cout << (ans ? "YES" : "NO") << '\n';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int _ = 1;
    while(_--) solve();
    return 0;
}

注意初始化！！！注意初始化！！！注意初始化！！！