首先我们需要明确什么是二分图:如果无向图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)的所有点可以分为两个集合 V 1 、 V 2 V_1、V_2 V1、V2,所有的边都在 V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2之间,而 V 1 V_1 V1或 V 2 V_2 V2的内部没有边,称 G G G是一个二分图。
直接说结论:如果一个图是二分图,那么它一定没有边数量为奇数的环。
判断一个图是否为二分图,一般用"染色法"进行判断。
用两种颜色对所有点进行染色,要求处在一条边上的两个点的颜色不能相同,染色结束后,如果没有相邻点颜色相同,那就是二分图。
例题;【模板】二分图判定
题目描述
给定一个 n n n点 m m m边的无向图,请判定它是否是一个二分图。
如果是,输出 " Y E S " "YES" "YES",反之输出 " N O " "NO" "NO"。
输入描述
第一行三个整数 n n n, m m m。 ( 1 ≤ n , m ≤ 2 × 1 0 5 ) (1 \leq n,m \leq 2 \times 10^5) (1≤n,m≤2×105)
接下来 m m m行,每行两个整数 x , y x,y x,y表示一条无向边。 ( 1 ≤ x , y ≤ n , x ≠ y ) (1 \leq x,y \leq n,x \not = y) (1≤x,y≤n,x=y)
输出描述
一行输出结果。
输入样例1
4 4
1 2
2 3
3 1
1 4
输出样例1
NO
输入样例2
4 4
1 2
2 3
3 4
1 4
输出样例2
YES
染色法使用 d f s dfs dfs实现,下边给出带注释代码:
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 2e5 + 9;
int n, m;
vector<int> g[N];
int col[N]; //存储颜色,-1表示未染色,0、1表示颜色
bool dfs(int x) //染色
{
for(const auto &y : g[x]) //遍历所有边
{
if(col[y] == -1) //如果没被染色
{
col[y] = col[x] ^ 1; //染上不同颜色
//下一个节点染不上色就返回flase,将flase传到main函数
if(!dfs(y)) return false;
}
else if(col[y] == col[x]) return false; //如果已经被染色但是和该节点颜色相同,也返回false
}
return true;
}
void solve()
{
cin >> n >> m;
//存图
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
int x, y; cin >> x >> y;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
//初始化
for(int i = 1; i <= n; ++i) col[i] = -1;
int ans = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
if(col[i] == -1)
{
//用与运算只要有一个没染色答案就变成0
ans &= dfs(i);
}
}
cout << (ans ? "YES" : "NO") << '\n';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ = 1;
while(_--) solve();
return 0;
}
注意初始化!!!注意初始化!!!注意初始化!!!