【数学】泰勒公式

引言

一、泰勒公式

1.泰勒公式及推导

（1）推导

ID：HL_5461

引言

对于任意无穷数，这里以为例，我们可以用多个的次方将其不断展开，即

类比的，对于一个函数，我们也可以将它写作无穷多x的次方展开，即

这也就是泰勒公式的诞生。

当然就像有限个的次方不能精确表示一个无穷小数一样，上述式子肯定有一定的误差，这个后文讨论。

一、泰勒公式

1.泰勒公式及推导

（1）推导

我们将引言中所写式子记作，所以有：

正如前面所说，这个式子有一定的误差，不能准确表示，所以我们退而求其次，选择让这个式子无限接近，即是的高阶无穷小。

接下来的任务是确定系数。我们先定一个条件：设在处n阶可导。

那么如何让非常接近呢？只需满足两个条件：1.与在处函数值相等；2.与在处直到n阶倒数相等。

我们可以这样理解上面两个条件：函数值相等说明在同一个点处，导数相等说明函数变化一样，值一样变化一样，所以可以近似看作相等。以下是的推导过程：

++1++

与在处函数值相等

，

++2++

对与求一阶导，并带入

，

++3++

对与求二阶导，并带入

，

++4++

不断求导、总结，所以：

（2）公式

将前面算出的带入，所以：

由于在引言中说过，如果与相比有一定误差，所以这里补充一个误差项就能与相等了。我们将这个误差项称为余项，记作。

所以泰勒公式就是如下形式：

除了的前半部分是在处的n次多项展开式

称为余项，也是一个误差项

2.泰勒中值定理

泰勒中值定理是对余项的讨论。

（1）定理1（佩亚诺余项）

设在处具有直到n阶的导数，则有

其中，，称为佩亚诺(Peano)余项。

该展开式称为在点邻域的带佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

（2）定理2（拉格朗日余项）

设在包含的区间内有直到n+1阶的导数，在区间上有n阶连续导数 ，则对任意****时有

其中，，（在与之间）称为拉格朗日余项。

该展开式称为在区间的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

++注：对于拉格朗日余项的泰勒公式，根据定义，题目如果说在区间上有n+1阶的导数，那么做题时需展到n阶，n+1阶留给余项。++

（3）两个定理的区别

这里可以结合前面定理内容加粗部分理解

1.成立条件不同。定理2对的可导性要求更高。2要求区间可导，1只要求点可导；2要求可导至n+1阶，1只要求可导至n阶。

2.x的取值范围不同。定理1需满足，仅适用于求极限问题；定理2中可在符合条件的区间**** 上任取,甚至能取到任意实数，因此中值定理2更广泛地适用于证明题和近成似计算问题。

3.余项形式不同,佩亚诺余项便于求极限,而拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小。

3.麦克劳林公式

麦克劳林公式就是令时的泰勒公式：

二、常用的泰勒公式

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三、泰勒公式核心考点

1.求极限

方法：按上面给的重要泰勒公式无脑代入

例1：

求极限

将上面式子带入极限：

例2：

设求a，b

****代入极限

例3：

设二阶可导，，求极限

由泰勒公式形式可得：

代入极限：

2.求n阶导数值

方法：依旧上述重要泰勒公式无脑往里代

例1：

求函数在处的n阶导数

由泰勒公式的唯一性，第n项为

3.证明题

方法：

1.使用拉格朗日余项，对n+1阶可导，展到第n阶

2.和依题目选择

（证明题比较难，下面讲解会解释思路）

例1：

设在上二阶可导，且，求证：

思路：

首先写出公式，因为二阶可导所以展到一阶：

，（在与之间）

由于题目中告知和，所以不妨猜测，代入公式：

在定义域内。

又

代入证毕

这题因为告知导数所以优先猜测的值，将代入和相关条件用完之后会发现已经做出来了，所以的值就无需考虑了

例2：

在上二阶可导，，证明，使得

思路：

首先写出公式，因为二阶可导所以展到一阶：

，（在与之间）

由于题目中未提及导数相关，所以不妨猜测0和1是，代入公式：

..............1

......2

0和1的相关条件似乎已经用完了

仔细查看上两式，会感觉的缺少真的很碍眼，难道0和1应该用作吗？但是如果换作会发现这样只会减少一个未知量，并且这样做还会多一个未知量，好像和上两式没什么区别，所以暂时假定这个思路还是对的，接着往下看（下面是难点）

仔细思考一下，由于的缺少所以尽量往上去想：如何才能有一个和一个？结合在区间上的最大值，我们可以联想到极大值。

假定极大值为，则，令取，则1、2式分别为：

于题目中未提及导数相关，所以不妨猜测0和1是，代入公式：

..............3

..........4

在的取值范围内，和有确定值，分类讨论能得出和的范围

再看题目要求是"存在"，找到一个就OK，所以证毕

这题没有告知导数相关，所以优先猜测的值，将代入后发现条件不够，再往后考虑相关，联系极值，假设并代入，最后可以求得范围

例3：

设在上二阶可导，且，其中a,b都是非负常数，证明

思路：

首先写出公式，因为二阶可导所以展到一阶：

，（在与之间）

由于题目中提及和，猜测告知条件为，又加上在的取值范围内这一常用隐含条件，则：

到这一步已经条件用完，但是已经无路可走了，所以推翻重来

但是如果改用，除了泰勒公式原式整个小于等于啥也做不了，所以再换个思路，试着找点代代

题目没告知什么特殊值，那就只有拿0和1这两个端点试一试了

还是顾及题目给了导数，优先考虑

......................................1

................2

两式相减再取绝对值进行放缩，发现和前面没什么区别，那就改取

.................3

.........4

4-3得：

跟题目要求的好像有点相像，既然有可能那就先往下做了再说

考虑一下如何把这个碍眼的替换成题目需要的（重点）

往定义上想，是指代确定的值，但是对于泰勒公式本身，是可以在定义域上任取的，也就说对定义域上的任意其实都有上式成立

也就说当，都有，这样一来就成了题目需要的了

（这里只是为了便于讲解所以放到了后面讨论，写题时可以在写3、4式时直接把写成）

对上式取绝对值

然后进行放缩：

把题目给的小于等于条件代入继续放缩：

由于，继续代入放缩，证毕

这题比较难，还是按照一贯的思路来：因为告知导数所以优先猜测使用，没用换成，还是做不出来，继续代值考虑、最后发现可以一试。这题主要还是在于端点值也可以使用这一容易忽视的细节和如何将考虑作整个定义域上的值两个难点。

总结

对于泰勒公式题目，首先还是几个重要公式熟背，这样就可以解决大部分题目了。

证明题是泰勒公式的难点，一般使用定理二结合放缩就能解决了，关键在于如何选择和，这是解决证明题的核心。

若有错误，欢迎大家批评斧正！