排序-归并排序（merge sort）

归并排序（Merge Sort）是一种分而治之的算法，它将原始数组分成越来越小的子数组，直到每个子数组只有一个元素，然后将这些子数组两两合并，过程中保持排序状态，最终合并成一个完全有序的数组。归并排序是一种稳定的排序算法，其主要特点是效率高且易于理解。

归并排序的基本步骤：

分解：将当前区间一分为二，即求中点。
递归排序：递归地对两个子区间a $low...mid$ 和a $mid+1...high$ 进行归并排序。
合并：将已排序的两个子区间合并成一个有序区间。

时间复杂度和空间复杂度：

时间复杂度：归并排序的时间复杂度为O(n log n)，无论是最好、最坏还是平均情况都是如此，因为它总是将数组分成两半进行处理，然后合并，这个过程与数组的初始状态无关。
空间复杂度：由于归并排序需要一个与原数组相同大小的临时数组来合并子数组，所以其空间复杂度为O(n)。

稳定性**：

归并排序是稳定的排序算法，因为在合并两个子数组时，如果遇到相等的元素，会先将左侧子数组的元素加入结果数组，保持原有顺序不变。

以下是归并排序的实现示例图：

以下是实现归并排序的Java代码：

java 复制代码

public class MergeSort {
    // 合并两个子数组
    private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left, j = mid + 1, k = 0;
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[k++] = arr[i++];
            } else {
                temp[k++] = arr[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {
            temp[k++] = arr[j++];
        }
        // 将排序后的元素复制回原数组
        System.arraycopy(temp, 0, arr, left, right - left + 1);
    }
    // 主函数，递归进行归并排序
    public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            mergeSort(arr, left, mid, temp); // 排序左半部分
            mergeSort(arr, mid + 1, right, temp); // 排序右半部分
            merge(arr, left, mid, right, temp); // 合并两个有序部分
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
        int[] temp = new int[arr.length];
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
        System.out.println("Sorted array: ");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
    }
}