文章目录
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- 一、矩阵定义
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- [1. 定义与矩阵分类](#1. 定义与矩阵分类)
- 二、矩阵运算
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- [1. 加法](#1. 加法)
- [2. 数与矩阵相乘](#2. 数与矩阵相乘)
- [3. 矩阵相乘](#3. 矩阵相乘)
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- [3.1. 定义](#3.1. 定义)
- [3.2. 法则](#3.2. 法则)
- [3.3. 幂等运算](#3.3. 幂等运算)
- [3.4. 纯量矩阵](#3.4. 纯量矩阵)
- [3.5. 单位矩阵相乘特性](#3.5. 单位矩阵相乘特性)
- [4. 矩阵转置](#4. 矩阵转置)
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- [4.1. 定义](#4.1. 定义)
- [4.2. 运算法则](#4.2. 运算法则)
- [4.3. 方阵行列式特点](#4.3. 方阵行列式特点)
- 三、逆矩阵
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- [1. 逆矩阵的定义、性质和求法](#1. 逆矩阵的定义、性质和求法)
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- [1.1. 定义](#1.1. 定义)
- [1.2. ***定理](#1.2. ***定理)
- [1.3. *** 运算规律](#1.3. *** 运算规律)
- [1.4. *** 伴随矩阵公式](#1.4. *** 伴随矩阵公式)
- [2. 矩阵的m次多项式](#2. 矩阵的m次多项式)
- 四、克拉默法则
- 五、矩阵分块法
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- [1. 运算法则](#1. 运算法则)
- [2. 分块乘法例题](#2. 分块乘法例题)
一、矩阵定义
1. 定义与矩阵分类
1. 矩阵定义:矩阵是m行n列的数表
2. 矩阵分类:
- 实矩阵
- 同型矩阵:行列数相同
- 相等矩阵:行列都相等
- 零矩阵:不同型的零矩阵是不同的
- 正交矩阵:
AAᵀ = AᵀA = E
<=>A⁻¹ = Aᵀ
,|A|² =1- 反对称矩阵:
Aᵀ = - A
每个元素都加负号。
方程组矩阵分类
系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵、增广矩阵的概念
3. 对角矩阵:除对角线外元素都为0,单位矩阵:对角线元素都为1,其他为0。
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/3025951fce290c9144b3e4db8b579f49.webp)
二、矩阵运算
1. 加法
对应元素相加,只有同型矩阵才能做加法。加法满足交换律和结合律。
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/be78a6a9108d58f0a1effd032c7dd38d.webp)
2. 数与矩阵相乘
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矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/63d7208fb601a04491fa1562822b1548.webp)
3. 矩阵相乘
3.1. 定义
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/1d6171e2fd6f789d5241f3502d6a77f6.webp)
3.2. 法则
3.3. 幂等运算
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/681f1664113a4f839a80542245939690.webp)
当AB矩阵可交换时
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/fd339dd715c3329eb4b492737c9ce0ea.webp)
3.4. 纯量矩阵
- 纯量矩阵与矩阵A乘积 = 数乘A
- 纯量矩阵与任何同阶方阵都是可交换的
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/70f5672d1d704c9e1191bd02edb8d473.webp)
3.5. 单位矩阵相乘特性
单位矩阵在矩阵乘法的作用类似与数1在数的乘法中的作用
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/d6ad057652b5cae2fc0c5922e9b39097.webp)
4. 矩阵转置
4.1. 定义
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/b84f053ee65563bf270240a5ab4d8ea2.webp)
4.2. 运算法则
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/074257cd45f8cf644c18b2ba3bb89cc4.webp)
4.3. 方阵行列式特点
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/d33e425bf45d55e60ca4ebfca87a86ef.webp)
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三、逆矩阵
1. 逆矩阵的定义、性质和求法
1.1. 定义
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/37b922b19cbc5659aeab497126853cc3.webp)
矩阵A是可逆的,那么A的逆矩阵是唯一的。
1.2. ***定理
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求逆矩阵方式ing
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/3b9c95c632dd1412164614c7f0f4aa1e.webp)
1.3. *** 运算规律
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/83a73d4b03c11e717bdcabab82d82b71.webp)
1.4. *** 伴随矩阵公式
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/a8b7f2ec7bc51e78e736039bffb38646.webp)
2. 矩阵的m次多项式
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/c8425e63cb5b8ef934ecc2207a78446a.webp)
性质1
对角矩阵
四、克拉默法则
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/ba6132cb1a49b06de4148d8dc855c514.webp)
五、矩阵分块法
1. 运算法则
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/a86fb62d54ff3b373c2d7df4995ecc90.webp)
注意齐次方程组解的思路
2. 分块乘法例题
![](https://file.jishuzhan.net/article/1796397820169687041/5368547eca7c5c623aa97d092b62c85b.webp)
参考:
《同济线性代数第七版》
《李永乐线代辅导讲义》