颠仆流离学二叉树1 （Java版）

本篇会加入个人的所谓鱼式疯言

❤️❤️❤️鱼式疯言:❤️❤️❤️此疯言非彼疯言

而是理解过并总结出来通俗易懂的大白话,

小编会尽可能的在每个概念后插入鱼式疯言,帮助大家理解的.

🤭🤭🤭可能说的不是那么严谨.但小编初心是能让更多人能接受我们这个概念 ！！！

前言

学完了神奇的 栈和队列 ，接下来要来到我们歇斯底里，颠仆流离的 二叉树 环节，相信学过 二叉树 的小伙伴，应该对这个数据结构不陌生吧，是不是恐怖如斯 啊，下面就让我们看看它到底有多恐怖吧 💥 💥 💥

一. 树的初识

1. 树是概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是 根朝上 ，而 叶朝下的 。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有 前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合 T1、T2、...、Tm ，其中每一个 集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵 与树类似的子树。每棵子树的根结点 有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是 递归 定义的。`

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2. 树的结构

节点的度 ：一个节点含有子树的个数称为该节点的度；如上图： A 的度为 6

树的度 ：一棵树中，所有节点度的最大值为数的度；如上图：树的度为 6

叶子节点和终端节点 ：度为0的节点称为叶子节点：如上图： B , C , H , I , P , Q , K , L , M , N
双亲节点和父节点 ：若一个节点含有子节点 ，则这个节点称为其子节点 的父节点 ; 如上图：A 是 B 的父节点
孩子节点或子节点 ：一个节点含有的 子树 的根节点称为该节点的子节点; 如上图： B 是 A 的孩子节点
根节点 ：一棵树中，没有双亲节点的节点；如上图： A
节点的层次 : 从根开始定义起，根为 第一层 ，根的子节点为 第二层 ，以此类推
树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的深度为4，也就是 最大高度 为 4

关于树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

鱼式疯言

于是我们总结了对于树概念的以下三点：

3. 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法 ，
孩子表示法 、孩子双亲表示法 、孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

java 复制代码

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

4. 树的应用

文件系统管理**（目录和文件）**

二. 二叉树

1. 二叉树的概念

一颗二叉树是节点的有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两颗称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成

从上图可以看出

二叉树不存在度大于 2 的节点
二叉树的字数有左子树和右子树之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

所以我们可以得到以下 几种二叉树

由此我们可以见识到大自然的奇观

2. 二叉树的种类

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值 ，则这棵二叉树就是 满二叉树 。也就是说，如果一棵二叉树的层数为 K ，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树 : 完全二叉树 : 完全二叉树的是 效率很高 的数据结构，，完全二叉树是由 满二叉树 而引出来的。对于深度为K 的，有 n 个结点的 二叉树 ，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0至n-1 的结点一一对应时称之为 完全二叉树 。

要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

鱼式疯言

一句话来说就是

满二叉树就是每个节点度都为 2 (除了叶子节点)

完全二叉树就是从上往下数 没有间断 的节点，从左往右 没有间断 的节点.

三. 二叉树的特性及应用

1. 二叉树的性质

若规定根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层 上最多有 2 ^ (i-1) (i>0) 个结点

若规定只有根结点的二叉树的 深度为1 ，则深度为 K的二叉树的最大结点数是 2^K - 1 (k>=0)

对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0 , 度为 2 的非叶结点个数为 n2 ,则有 n0＝n2＋1

结论的推导过程 :

具有 n 个结点的 完全二叉树 的深度 k 为 log2（n+1 ） 为上取整

什么？居然有人问我向上取整是什么？🤔 🤔 🤔

向上取整 的意思就是说，当这个数有小数的时候，就去掉 小数再加1

对于具有 n个结点的完全二叉树 ，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有：

若 i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1 ，否则无 左孩子

若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2 ，否则无 右孩子

2. 二叉树性质的应用

题目一:

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A . 不存在这样的二叉树

B. 200

C. 198

D. 199

看到这题小伙伴是不是在心里窃喜呢，没错

答案就是 200

解析：直接套用 结论3 ： 域为 0 的节点 = 域为 2 的节点 +1

故选 B

题目二：

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A. n

B. n+1

C. n-1

D. n/2

本题呢，主要我们要结合是完全二叉树这个特点

要多利用 结论3 并要发现当 总节点数为偶数 时，就需要注意到度为1 的节点只有 一个

那么我们就可以通过上面的推导轻松的解读 n = x , 从而选 A

鱼式疯言

那么有小伙伴问了，如果总节点为奇数呢？？？

那么我们是不是可以这样推导出

题目三 :

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A. 383

B. 384

C. 385

D. 386

这题的关键信息是 完全二叉树

而且我们还发现这是一颗 总节点为奇数的完全二叉树 ，那么我们就可以直接利用我们上面推导出来的结论

那么我们的度为0 的叶子节点的个数就为： ==（767+1） / 2 384

故选 B

题目四：

一颗完全二叉树的节点数为 531 ，那么这颗树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

这道题时求树的高度，也就是最大深度，那么我们就可以直接套用结论 4 的公式

logf2(531+1) ~= 10 (向上取整)

故：答案选 B

四. 二叉树的存储

1. 二叉树的存储方式

二叉树的存储结构分为： 顺序存储 和类似于链表的 链式存储。

顺序存储在下一篇文章中会种重点介绍。

二叉树的链式存储是通过 一个一个的节点 引用起来的，常见的表示方式有 =二叉和三叉表示方式，具体如下：

java 复制代码

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法 后序在平衡树位置介绍

本文采用 ·孩子表示法· 来构建二叉树。

2. 二叉树的简单创建

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入

为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速 进入二叉树操作学习，

等二叉树结构 了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

java 复制代码

public class BinaryTree{
public static class BTNode{
BTNode left;
BTNode right;
int value;
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;

public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);
BTNode node1 = new BTNode(2);
BTNode node1 = new BTNode(3);
BTNode node1 = new BTNode(4);
BTNode node1 = new BTNode(5);
BTNode node1 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}

注意：上述代码 并不是 创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

总结

通过本文

我们学习了

树的初识：树状的结构可以快速的查找和管理，并明白了树是由递归定义的
二叉树的初识：我们明白了二叉树是度 <= 2 , 可能为空也可能有根节点
二叉树的特性以及应用：深度和节点数的结论特性，以及最常用的完全二叉树中度为 2 的节点数 + 1 等于叶子节点数，和

最大深度与总节点的关系
二叉树的存储有两种方式：链式存储和顺序存储，并有孩子表示和孩子双亲表示法的多种类型

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