朴素贝叶斯法（Naive Bayes model）是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。
贝叶斯定理
P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) ∗ P ( A ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(B∣A)∗P(A)
其中A表示分类，B表示属性，因此此公式更通俗的表述如下：
P ( 分类 ∣ 属性 ) = P ( 属性 ∣ 分类 ) ∗ P ( 分类 ) P ( 属性 ) P(分类|属性)=\frac{P(属性|分类) * P(分类)}{P(属性)} P(分类∣属性)=P(属性)P(属性∣分类)∗P(分类)
即在已知属性B的前提下，分类为A的概率等于似然率(已知分类中属性B的概率)乘以先验概率（分类A的概率）除以证据概率(属性B的概率)。
优点
- 对于大量数据的预测靠谱。
- 计算简便。
缺点
- 属性之间必须独立。
- 选取没有相互干涉的属性是难点。
举例：在夏季，某公园男性穿凉鞋的概率为 1/2 ，女性穿凉鞋的概率为 2/3 ，
并且该公园中男女比例通常为 2:1 ，问题：若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人，
请问他的性别为男性或女性的概率分别为多少？
P(男|穿凉鞋)=P(穿凉鞋|男)P(男)/P(穿凉鞋)
= 1/2 * 2/3 / (2/3 * 1/2 + 1/3 2/3)
= 1/3 / (1/3+2/9)
= 3/5
P(女|穿凉鞋)=P(穿凉鞋|女)P(女)/P(穿凉鞋)
= 2/3 * 1/3 / (2/3 * 1/2 + 1/3 2/3)
= 2/9 / (1/3+2/9)
= 2/9 * 9/5
= 2/5
所以在公园里，随机遇到一个穿凉鞋的人，性别为女男的概率是 3/5，性别为女的概率为 2/5。
怎样避免0概率问题
使用拉普拉斯修正，修改公式如下：
P ^ ( C = c j ) = N ( c j ) + 1 N + C \hat{P}(C=c_j)=\frac{N(c_j)+1}{N+C} P^(C=cj)=N+CN(cj)+1
上式表示 c j c_j cj分类的概率，其中 C 表示分类数量，N 表示所有的数量。
P ^ ( x i ∣ C = c j ) = N ( x i ∣ C = c j ) + 1 N + X \hat{P}(x_i|C=c_j)=\frac{N(x_i|C=c_j)+1}{N+X} P^(xi∣C=cj)=N+XN(xi∣C=cj)+1
上式表示特定 x i x_i xi属性中类 c j c_j cj的概率，其中 X 表示属性数量。
高斯朴素贝叶斯分类器
- 高斯分布
P ( x i ∣ μ , σ ) = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 2 ∗ e − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 P(x_i|\mu,\sigma)=\frac{1}{(2\pi \sigma^2)^{\frac{1}{2}}} * e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} P(xi∣μ,σ)=(2πσ2)211∗e−2σ2(xi−μ)2
其中 μ = 1 N ∑ i = 1 N x i \mu=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}x_i μ=N1i=1∑Nxi表示样本的期望， σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 \sigma^2=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2 σ2=N1i=1∑N(xi−μ)2表示样本的方差。
如果要使用无偏差估计，N 取 N+1。 - 如果特征值服从高斯分布，那么根据特征值估计分类概率的公式如下：
P ^ ( x i ∣ C = c i ) = 1 ( 2 π σ i j 2 ) 1 2 ∗ e − ( x i − μ i j ) 2 2 σ i j 2 \hat{P}(x_i|C=c_i)=\frac{1}{(2\pi \sigma_{ij}^2)^{\frac{1}{2}}} * e^{-\frac{(x_i-\mu{ij})^2}{2\sigma_{ij}^2}} P^(xi∣C=ci)=(2πσij2)211∗e−2σij2(xi−μij)2
其中 μ i j \mu_{ij} μij表示分类为 c i c_i ci时，属性 x j x_j xj的期望，
σ i j 2 \sigma_{ij}^2 σij2表示分了为 c i c_i ci时，属性 x j x_j xj的方差。