本文利用了点和直线、平面的齐次坐标表示方法，来推导2维点到直线距离，3维点到平面距离的公式。用齐次坐标表示方法推导比较简洁。
2维点到直线
令2维点: A ( x 0 , y 0 , 1 ) (x_0,y_0, 1) (x0,y0,1), 2维直线方程: a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 ax+by+c=0
2维直线 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)中 a 2 + b 2 = 1 a^2+b^2=1 a2+b2=1
直线上的任意点: B ( x ′ , y ′ , 1 ) (x',y', 1) (x′,y′,1)
那么向量 A B → \overrightarrow{AB} AB 与直线法向量 ( a , b ) (a,b) (a,b)的点积就是A到直线的距离
d = ∣ ( x 0 − x ′ ) ∗ a + ( y 0 − y ′ ) ∗ b ∣ = ∣ x 0 ∗ a + y 0 ∗ b + c ∣ d=|(x_0-x')*a+(y_0-y')*b| =|x_0*a+y_0*b+c| d=∣(x0−x′)∗a+(y0−y′)∗b∣=∣x0∗a+y0∗b+c∣
3维点到平面
推导跟2维一样，A ( x 0 , y 0 , z 0 , 1 ) (x_0,y_0,z_0,1) (x0,y0,z0,1), 3维平面 a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0 ax+by+cz+d=0
a 2 + b 2 + c 2 = 1 a^2+b^2+c^2=1 a2+b2+c2=1
B ( x ′ , y ′ , z ′ , 1 ) (x',y',z',1) (x′,y′,z′,1)
d = ∣ ( x 0 − x ′ ) ∗ a + ( y 0 − y ′ ) ∗ b + ( z 0 − z ′ ) ∗ c ∣ = ∣ x 0 ∗ a + y 0 ∗ b + z 0 ∗ c + d ∣ d=|(x_0-x')*a+(y_0-y')*b+(z_0-z')*c| =|x_0*a+y_0*b+z_0*c+d| d=∣(x0−x′)∗a+(y0−y′)∗b+(z0−z′)∗c∣=∣x0∗a+y0∗b+z0∗c+d∣