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内部点
通俗理解：
给定一个集合 S S S，对于它的内部点 x x x而言，我们以 x x x为圆心、以 R R R为半径画个球，总是存在一个 R R R能够使得我们画的这个球里的所有点，都仍然属于 S S S。
数学表达
如果 S S S是一个集合，点 x x x是 S S S的内部点，当且仅当存在一个 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，使得 x x x的 ϵ \epsilon ϵ-邻域 B ( x , ϵ ) B(x, \epsilon) B(x,ϵ)完全包含在 S S S中。
边界点
通俗理解：
一个点称为集合的边界点，如果它在集合内部不再存在一个开集（一个不包含边界的子集），而任何足够小的邻域（即这个点周围的任意小的区域）都包含集合内的点和集合外的点。
凸集的边界点有什么特点？
从边界点来看，凸集的边界点一定也可以找到超平面（supporting hyperplane）把它撑（分离开）到某一边去。非凸的在某些点找不到一个平面可以把它撑起来（分离）。
但是边界点不完全相同，又分为极值点和普通的边界点。如下图所示，A点是极值点，B点是普通的边界点。
观察可以发现，B点位于它旁边两个点的连线上，但A点不是。 更数学的表述方式是，极值点不能表示为集合中其他点的凸组合。（关于凸组合的理解可以参考我的文章优化基础（二）：线性组合、仿射组合、锥组合、凸组合、线性集合、仿射集合、锥集合、凸集合的理解）.
外部点
通俗理解：
x x x是集合 S S S的外部点，则 x x x和 S S S之间一定可以插入一个超平面，可以分开 x x x和 S S S。有趣