第2 部分：数学分析中的基本概念
(Concepts in Analysis)
7. 连续性(Continuity)
本章首先讨论连续性的直观概念，并介绍与早期数学中常见的函数不同的函数。解释了连续性的定义，并演示了如何使用它来证明函数在一点上连续，以及证明有关连续函数的更一般定理。最后，将连续性与极限以及涉及不连续性的证明联系起来。
7.1 何谓连续(What is continuity)?
大多数人从一些有关连续性的有用直观知识开始分析课程，但学生通常需要调整和发展他们的思维，才能理解现代数学家使用的复杂概念 (sophisticated conceptualization)。一个常见的直觉思想是 ，"如果你可以在不将笔抬离纸面的情况下绘制它 "，那么该函数就是连续的。 作为第一个近似表述，这还不错------对于许多简单的函数来说，根据这种直观性会得出正确的结论。但它实际上在相当琐碎的意义上受到限制，在更严重的方面在操作上受到限制。它实际上是有局限性的，因为图只能显示函数从实数到实数的有限部分；我们经常在原点 (0, 0) 周围绘制图形片段。所以人们真正的意思是他们相信整个图表将是"一个相连的部分"。更严重的问题是，虽然绘图描述听起来很实用，因为它是关于物理动作的，但它不能用于数学推理。 例如，不能于分析定理------若 f 和 g 都是连续函数，则f + g 是连续的。也许你觉得这是可信的(尽管你应该一如既往地超越你的第一直觉反应------是什么阻止你想出不真实的奇怪例子？)。但是，我们如何从 f 和 g 具有"无需将笔抬离开纸面即可绘制的图形"的思想来证明这一点呢？我们不能，因为这不是一个可操控的符号定义；我们不能将它与函数相加结合起来 。所以我们需要一些更数学化和更精确的东西。
迈向数学定义的明智的第一步是停止将连续性视为整个函数的属性，而开始将其视为函数在某一点可能具有的属性。 您几乎肯定已经这样做了：例如，大多数人都会同意这个分段定义的函数在 x = 1 处不连续，但在其他任何地方都是连续的：
数学家以此为起点：他们定义函数在一点连续的含义，然后才讨论处处连续的函数。
在第 7.4 节和第 7.5 节中，我将通过非正式讨论构建连续性的定义，然后以该定义为起点并解释其含义。我在第 5 章中对序列收敛的定义做了同样的事情，并且与该章一样，您可能更喜欢以相反的顺序阅读这些部分。如果你读过第 5 章，你还会认识到收敛和连续性定义具有密切相关的结构。这很方便------尽管分析涉及逻辑上复杂的定义，但它们非常相似，一旦您掌握了其中一个定义的使用技巧，其他定义就会变得更容易。发生这种情况是因为收敛和连续性之间的密切关系，这将在第 7.6 节中讨论，以及有关连续性定义的常见变体的信息。
另一个密切相关的定义出现在第 7.9 节中，其中讨论了极限。你的老师或教科书很可能会从极限开始，然后继续进行连续性，但我选择反其道而行之，因为对我来说，连续性的想法更直观自然。然而，在考察任何定义之前，我将提供一些有关函数表示法的信息，并介绍一些您以前可能没有见过的函数。
7.2 函数例子和规范(Function examples and specifications)
在学习分析之前，大多数数学学生已经了解了一堆标准函数。这些通常包括：
二次函数(quadratic functions)，例如
；
三次函数(cubic functions)，例如
；
形如
的高阶多项式函数(polynomial functions)。
比率函数(rational functions)，例如
；
指数函数(exponential functions)，例如
或
；
对数函数(logarithmic functions)，例如
或
；
三角函数(trigonometric functions)，例如
；
逆三角函数(inverse functions)，例如
(通常记为
) 。
大多数学生可以通过多种方式来操作这些，尽管有些学生在记住导数和积分或识别或绘制图表方面不是很快或可靠。如果你怀疑这可能适用于你，我建议你找一本教科书并做一些练习------你可以永远依赖公式手册和表格，但如果基础知识不会让你放慢脚步，你的数学生活会更容易。在这里我将讨论高等数学中的函数表示。
在一般高等数学中，特别是在分析中，人们关注函数域。这是正确规范数学对象的总体趋势的一部分。例如，第二章包含这样的短语：
令 f：[0 ，10 ] ⟶ ℝ ，
可以大声地读作" 令 f 为从闭区间 [0 ，10 ]到实数域的函数。"
域 [0, 10] 明确出现在规范中，位于冒号之后、箭头之前。2.4 节给出了一个原因：函数在不同的定义域上可能有不同的属性。例如，
由 给出的函数 f ：[0 ，10 ] ⟶ ℝ 具有上界，但由
给出的函数 f：ℝ ⟶ ℝ 却没有上界。
对域的关注意味着，如果要求您提供示例，您应该确保它们被正确定义。 例如，当我向分析专业的学生询问函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在零处不连续的示例时，最常见的答案是 f (x ) = 1/x。显然这个函数在零处不连续。但不幸的是，它不是从 ℝ 到 ℝ 的函数。具体来说，它没有定义为零。可以通过指定零值来调整它，也许像这样：
该函数在零处不连续，并且到处都有定义。并不是所有的老师都会指出这种事情，但如果你不警惕的话，他们会认为你在数学上有点天真。
它也变得更加复杂。学生们经常------相当合理地------认为我们会以同样的方式小心函数的像( image**)** 或范围(range)，所以他们认为这一定是错误的：
由 给出的函数 f：ℝ ⟶ ℝ 。
他们认为，因为函数值永远不会是负数，所以我们应该这样写：
由 给出的函数 f：ℝ ⟶ [0，∞) 。
其实前者还好。数学家对共域 (codomain)(函数将域值映射到的集合)和像(函数实际"命中"的值的信合) 进行了区分，(您可能更习惯术语"范围(range)"，但有时使用含糊不清，所以我会避免使用它)。在分析中，您不会经常被问到有关像的问题，人们通常只是为所有内容加上"⟶ ℝ"，然后不再担心它。
顺便问一下，您对符号 [0，∞) 感到好奇吗？每当我们想要一个区间延伸到无穷大时，我们就使用圆括号，因为 ∞ 不是一个具体的数，所以它不能说是"在"区间中，更不用说是区间中"最大的数"了。
确实存在可能会更严格地指定共域的情况，但同样的想法同样适用。例如，您可能会看到这样的定理：
定理 ：若函数 f：[0，1] ⟶ [0，1] 是连续函数。
则 ∃ c ∈[0，1]，使得 f (c ) = c。
学生经常将此定理的前提解释为函数必须满足 [0, 1] 中的所有值，这样它适用于左侧的函数，但不适用于右侧的两个函数。
这是不正确的。箭头后面的 [0, 1] 指的是共域，而不是像，因此前提只是意味着每个 f (x ) 必须在 [0, 1] 中，这对于所有三个函数都是如此。用数学术语来说，f 不一定是满射的(surjective)。
顺便说一句，定理的结论是关于固定点(fixed point)的存在性的------你能明白为什么点 c 会被称为不固定点吗？为什么这个表述一定成立吗？
7.3 更有趣的函数例子(More interesting function examples)
分析涉及到许多关于一般函数的定理，这些定理通常简单地表示为f 或 g。如果你看到这个符号并且只想到简单、熟悉的函数，那么你对定理的理解将会受到限制。定理适用于前提成立的每个函数，包括我可以像这样组成的奇怪函数：
该函数是分段定义的，但它是一个单一函数：对于每个 x ∈ ℝ，它分配一个唯一值 f (x )。我们甚至可以通过为每个x ∈ ℝ 分配一个随机数来构造一个函数。当然，这样的函数很难使用，而且你不会经常看到它们。但是，只要其前提适用，定理并不关心函数的细节，并且函数不必由单个简单的公式甚至根本不需要由公式来指定。
也就是说，考虑特定的函数通常很有用。只是在此背景中有用的函数超出了第 121 页列表中熟悉的函数。具体来说，列表中的函数可能不会在所有地方都定义，但在定义它们的地方它们是连续的(检查以确保您相信这)。其他函数不满足这个性质。例如，以下这个在无穷多个点上是不连续的("ℤ"表示所有整数的集合------所有整数)：
下面这个函数呢？
根据 x 是否比率数(rational)，这有不同的定义；也就是说，基于是否可以用 p /q 的形式表示(其中 p ，q ∈ ℤ 且 q ≠ 0(参见第 10.2 节)。比率数和非比数(irrational)在数轴上以复杂的方式分布------无论我们选择什么比率数，都有尽可能接近的非比数，反之亦然。所以这个函数在任何地方都不连续，不可能真实地画出它的图形。然而，它可以通过沿着 f (x ) = 0 和 f (x) = 1 绘制虚线来粗略地表示。只要我们记得它并不准确，这就足够了。
我们如何为这个函数绘制一个不可靠(dodgy)但可能有用的图表？
数学家在分析课程中使用此类示例，因为它们可以帮助阐明连续性和可微性等概念的含义。但更简单的函数也可以用于此目的。例如，考虑下面的函数。你会说他们中的每一个都在零点处连续吗？每一个在零点处都可微分吗？
如果你发现自己在犹豫，那么你并不孤单------面对这些例子，许多学生意识到也许他们对这些概念没有牢固的把握。可微性是下一章的主题；本章继续探讨连续性的定义。
7.4 连续性：从直观切入(Continuity: intuition first)
本节从连续性的非正式描述开始，一直到定义(如果您已阅读过第 5.5 节，您将认识到很多推理)。如果您希望从定义开始并阅读如何理解它的解释，您可能需要在这之前阅读第 7.5 节。
首先，请记住数学家对某一点连续的定义。假设f 在a 处连续，其中f 取值为 f (a )。我们如何体现这个思想？很多人会说"当 x 越接近 a ，f (x ) 就越接近 f (a )"。这是一个明智的开始，但还不够，您可以通过查看这些图像来看到这一点，这些图像显示了一个在 a 处连续的函数和一个不连续的函数。在这两种情况下，随着 x 越来越接近 a ，f (x ) 也越来越接近 f (a)。只是在右侧的情况下，它还不够接近。太遗憾了。
为了基于此改进，我们将在下面正式化非正式但数学上适合的描述。
非正式描述 ：对于一个函数 f (x ) ,当且仅当通过使 x 与某个 a 足够接近时，我们能够使得 f (x ) 如我们所愿地接近 f (a ) ,则我们称这个函数在 a点处连续。
译注：
desired distance------预期距离
if x here then f (x ) within desired distance of f (a )------若 x 在这个域内，则 f (x )在距离 f (a) 的预期范围内。
请注意，如果所需距离更小，我们可能必须使 x 更接近 a 。此外，此描述不包括非连续函数：在 a 的右侧，即使 x 非常接近 a ，只要出现垂直"间隙(gap)"都意味着 f (x ) 永远不会"足够接近"f (a):
为了将非正式的描述转换为正式的定义，我们需要对"接近(close)"的概念有一个代数处理。假设我们希望 f (x ) 在 f (a ) 的距离 ε 之内(如第 5.5 节所述，"f (x )"是希腊字母 epsilon，不要与字母"e"混淆)。
译注：
if x here then f (x ) within ε of f (a )------若 x 在这个域内，则 f (x )在距离 f (a ) 的ε范围内。
因此，我们希望 f (a ) -- ε < f (x ) < f (a ) + ε ，可以记为更简洁的形式 | f (x ) - f (a ) | < ε，因为
。
在这个背景下，我总是将 | f (x ) - f (a ) | < ε 读作"f (x ) 与 f (a )之间的距离小于ε"。
现在，整个描述指的是 "通过使 x 与某个 a 足够接近时，我们能够使得 f (x ) 如我们所愿地接近 f (a )。" 为了体现"足够近"的概念，数学家们记为如下形式("δ"是希腊字母 delta):
∃δ > 0 使得，若 |x - a | < δ ，则 | f (x ) - f (a ) | < ε。
∃δ > 0 ------ 存在一个距离δ。
|x - a | < δ ------x 与a 之间的距离小于δ。
| f (x ) - f (a ) | < ε ------f (x )与f (a )之间的距离小于ε。
下图有两个明显的δ 距离候选者，一个较小和另一个较大。我们想要哪一个？答案是较小的那个；使用较大的距离将在 a 左侧包含一些 x 值，其中 。
然而，这一切都仅针对一个ε 值。若我们想像一个非常小的ε ，这就体现了我们能够通过使 x 与某个 a 接近时，能够使得 f (x )接近 f (a )。但并没有体现我们能够使其"如我们所愿地近"的意思。我们需要对于每一个 ε > 0，我们都可以通过使 x 与某个 a 足够近，从 而迫使 f (x ) 位于 f (a )的ε范围内。这就导致了完整的定义：
定义： 对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得只要 |x - a | < δ ，就有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
如果您已经开始了分析课程，您可能会看到这个定义的表达方式略有不同，或者您可能会看到涉及极限或序列的变体。在从定义开始进行解释之后，我将在第 7.6 节中简要讨论这些内容。
7.5 连续性：从定义切入(Continuity: definition first)
在本节中，我将从连续性的定义切入，并解释一种分解和理解它的方法。如果您已阅读第 7.4 节，您将看到以相反的顺序重构相同的思想，并且您可能希望使用本节来重点讨论分解逻辑句子的方法。这是定义：
定义： 对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
以上是关于函数 f 在 a 点连续的定义，其中 a 点被视为一个固定的兴趣点。定义也包括一个一般点 x 及其对应的函数值 f (x )。这个定义相当标准------数学家经常使用字母表开头的字母来表示(至少暂时)不变的事物，使用字母表末尾的字母来表示可变的事物。如果你学过第 5 章，你可能会想回顾一下 5.6 节中序列收敛的定义------它的逻辑结构非常相似。我们将分解这个定义并以类似的方式理解它，不是从头开始，而是从最后开始。
最后部分称 | f (x ) - f (a ) | < ε 。可将其读成"f (x ) 与 f (a )之间的距离小于ε"。那是因为
。
因此，f (x ) 介于 f (a ) -- ε 和 f (a ) + ε 之间，我们可以在图的垂直轴上标记这样的限制，并且添加一些虚线可以让我们看到对于哪些 x 值来说 | f (x ) - f (a ) | < ε 是正确的。这抓住了有关连续性的一些重要内容；对于下面的非连续函数，a 右侧没有这样的 x值。
通后这个定义回溯，我们得到
若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε。
换句话说，如果 x 和a 之间的距离小于δ ，则 f (x ) 和 f (a ) 之间的距离小于ε 。对于在 a 处连续的函数，我们可以确定适当的 δ ，如下图所示。请注意，有两个明显的候选距离，我选择了较小的一个。为什么？如果您不确定，请想一想如果我们选择较大的一个，a 的左侧会发生什么。
继续按这个定义回溯，我们得到
∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε。
要了解这一点的重要性，请注意对于在 a 处不连续的函数，可能不存在适当的δ --- 对于下图中ε 的标记值，不存在适当的δ (在 a 的右侧，即使 x 确实很接近 a ，但 | f (x ) - f (a ) | < ε)并不成立。这很好------定义按预期对这些函数进行了分类。
最后一小段怎么样呢？
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε。
这指的是"对于所有大于0的ε "，我们已经研究过的内容都是成立的。对于连续函数，我们可以想象允许 ε 变化：对于较小的 ε 值，我们可能需要较小的δ值，但这样的值仍然存在。
7.6 定义的变体(Variants of the definition)
**上面提供的定义是分析中的标准定义，但您可能会看到其编写方式有所不同。其中一些只是关于符号或风格。**其他人则更多地关注实质内容和微妙之处。我将在这里介绍一些变体，但请记住，即使您课程中的定义看起来有点不同，它几乎肯定具有相同的逻辑结构------如果您在仔细比较后看不到这一点，请询问您的老师或导师。
首先，你可能会发现 " if...then**"** 短语中的措辞有所不同；也许其中之一如下：
定义 ：对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ⟹ | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
定义 ：对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得对于 ∀ε ∈ℝ 且 |x - a | < δ ，我们有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
其次，正如第一章所述，一些数学家认为同时学习新概念和新符号会令人困惑，因此他们避免使用量词符号并用文字写出所有内容，如下所示：
定义 ：对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于任意 ε > 0 ，都存在δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ 则有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
如果你自己更偏好这些词，那也没关系------只要你领略了其正确逻辑，没有人会在意。
第三，有些人反其道而行之，只用符号来写所有内容，也许将句子的各个部分括起来以表明什么与什么相关：
定义 ：对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
(∀ε > 0)( ∃δ > 0)(|x - a | < δ ⟹ | f (x ) - f (a ) | < ε ),则称函数 f 在 a 点连续。
第四，更重要的是，这些版本的定义隐含地假设 f 是为每个 x ∈ℝ 定义的 ( 他们谈论 f (x ) ，但没有任何迹象表明它可能未被定义 ) 。您可能会看到一个版本没有做出此假设，而是仅在受限域上定义 f ：
定义 ：对于一个函数 f ：A ⟶ ℝ ，当且仅当
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 x ∈A 且 |x - a | < δ ，我们有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
这也许是一个更好的定义，但它有点长，所以对于到处定义的函数，我将坚持使用更简单的版本。
第五，你可能见过这个版本的定义，其中 读作 "当 x 趋近于 a 时f (x)的极限"：
定义 ：对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
存在且等于 f (a ) ，则称函数 f 在 a 点连续。
事实上，如果您学过一些微积分，您可能已经看到了这一点。它看起来与我给出的定义不同，但实际上并非如此，因为极限的定义与连续性的定义密切相关，这将在 7.10 节中讨论。
最后，如果您的课程涵盖序列和连续性，您可能会看到以下内容：
定义 ：对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于每一个使得 的序列
，都有
，
则称函数 f 在 a∈ℝ 点连续。
你能弄清楚为什么这是一个合理的选择吗？尝试画一个连续函数的图，在x 轴上标出一系列使得 的点
，并思考其在垂直轴上对应的函数值
。
7.7 证明函数连续(Proving that a function is continuous)
一旦老师介绍了定义，他或她通常会给出一个满足该定义的对象的例子，并证明情况确实如此。在这里我们将证明由 f (x ) = 3x 给出的函数 f : ℝ ⟶ ℝ 在每个 a ∈ ℝ 处都是连续的。我知道你知道这个函数是连续的------在这种情况下你应该少关注关于结果以及更多关于如何在理论中证明它的内容(其思路与第 5.7 节中的非常相似)。
人们采用不同的方法来证明构造，并且您或您的老师可能更喜欢纯粹从逻辑和代数角度进行证明。然而，如您所知，我喜欢图表，因此我倾向于从绘制草图开始。这是再次的定义，并附有显示函数 f 、点 a 和任意外观的 ε 值的图表。
定义： 对于一个函数 f：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，则称函数 f 在 a 点连续。
对于已知的ε ，什么δ 值可以确保若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε ? 若我们不能立即回答，自问一下，若ε 是 1 ，δ 取什么值？ε 是 1/2 呢？等等。显然，δ 取决于ε ：对于较小的ε 值，我们需要较小的δ 值。事实上，该函数将所有内容"拉伸"了三倍，因此我们需要在 x 轴上设置一个比我们想要在 f (x ) 轴上达到的间隔小三倍的间隔。所以δ = ε/3 就可以了。确定这一点后，我们可以使用定义的结构作为指导来开始编写证明。
我们想证明该定义对于每个 a ∈ℝ 都成立，因此考虑任意一个是明智的(这个意义上的"任意"意味着您喜欢的任何 a ，而不对特殊属性做出假设)。对于这个 a，我们想要证明 ∀ε > 0，某些事情是正确的。因此，指定我们也考虑任意ε> 0 是有意义的，并像这样开始：
断言 ：由 f (x ) = 3x 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处是连续的。
证明 ：令 a ∈ℝ 和ε> 0 为任意实数。
对于这个 a 值和这个 ε 值，我们想要证明存在一个 δ > 0 的值，使得某件事为真。证明某物存在的最简单方法是产生一个，我们可以根据上述推理来做到这一点：
断言 ：由 f (x ) = 3x 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处是连续的。
证明 ：令 a ∈ℝ 和ε> 0 为任意实数。
设 δ = ε/3 。
之后，我们需要证明如果 |x - a | < δ 则 | f (x ) - f (a ) | < ε 。在这种情况下，我们可以通过在 | f (x ) - f (a ) | 中填入 f (x ) 和 f (a ) 的值来做到这一点。并利用 δ 和ε之间的关系做一些代数运算。阅读本文时，请确保您能够明白为什么每个等式和不等式都是有效的。
断言 ：由 f (x ) = 3x 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处是连续的。
证明 ：令 a ∈ℝ 和ε> 0 为任意实数。
设 δ = ε/3 。
则若 |x - a | < δ我们有
| f (x ) - f (a ) | = | 3x - 3a | = 3|x - a | < 3δ = ε。
技术上的证明在这一点上已经完成：我们已经证明对于每个 a ∈ℝ ，都满足定义。不过，还是有礼貌地划一条结论线。简单地写"因此 f 在每个 a∈ℝ 处都是连续的"就可以了，但您可能还想添加额外的一行来总结论证：
断言 ：由 f (x ) = 3x 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处是连续的。
证明 ：令 a ∈ℝ 和ε> 0 为任意实数。
设 δ = ε/3 。
则若 |x - a | < δ我们有
| f (x ) - f (a ) | = | 3x - 3a | = 3|x - a | < 3δ = ε。
因此，对于 ∀a∈ℝ ，我们已经证明
对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若|x - a | < δ ，我们有 | f (x ) - f (a ) | < ε ，因此函数 f 在第一个 a∈ℝ 点连续为所求。
显然你应该仔细阅读这样的证明，遵循第 3.5 节中自我解释的建议。你还应该超越它，问问自己如何修改它。例如，我们使用δ = ε /3，但我们需要这样做吗？δ = ε /4 可以代替吗？您将如何修改证明来处理 f (x ) = 2x + 2？或者 f (x ) =--3x ？小心------我见过有人用负数和绝对值搞乱了他们的工作，从而使事情变得更加困难。您将如何修改它来处理 f (x ) = cx ，其中 c 是常数？您的修改对 c 的负值有效吗？如果 c = 0 没有进一步改变，它会有效吗？
最后要知道的一件事是，像这样的证明可能会在您的课程中以不同的方式呈现 。证明的结构(通常是这样)直接反映了定义的结构。所以有些人画图表，但老师用代数方法工作也是很常见的，写下"设 δ = "并留下一个间隙，随然后通过生成不等式链来计算出 δ 需要是什么值，然后返回来将δ填入其中。
7.8 组合连续函数(Combining continuous functions)
上一节的证明是关于一个简单的线性函数，对于其他函数来说事情会变得更加复杂。例如，假设我们想证明由 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处连续。可以使用定义来证明这一点，但这又会带来什么其它麻烦呢？
一个问题是，该图是弯曲的，因此 δ 的适当值不仅取决于ε ，还取决于 a ：a 离零越远，δ 就需要越小。特别是，灵敏的δ 会是 和
中的小者(对于 a < 0 会仍有效吗？)。您的课程可能会根据这些观察构建一个证明，但一种整洁的替代方法是转而证明乘积法则。
定理 (连续函数乘积法则)(product rule for continuous functions):
若函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 和 g ：ℝ ⟶ ℝ 均在 a ∈ℝ 点处连续。则组合函数 fg 在 a 点处连续。
这个定理可用于判断函数 连续性(如何应用？)，很明显，这是一个更通用的定理。
我不会证明这个乘积法则(一种典型的证明方法是和证明收敛序列的乘积法则方法类似的方法)。但是，我会展示如何利用乘积法则来证明更深入的定理------形如 的函数在处处连续。这是一种通过归纳进行证明的方法(注：参见任何过渡到证明教科书或<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)第 6.4 节)，也用于断言
在处处连续------你会如何去证明它？
定理 ：对于每一个 n ∈ℕ ，则由 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处连续。
证明：
令 a∈ℝ 为任意实数值。
则 在a 点处连续。使用归纳法，假设
在 a 点连续。注意到，∀x ∈ℝ ，
。因此，根据乘积法则，
在 a 点处连续。从而，根据归纳法，∀n ∈ℕ ，
在a 点处连续。由于所选取的 a 是任意的，因此，我们已经证明对于每一个 n ∈ℕ ，由
给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处连续。
许多学生理解这个证明，但他们不明白为什么我们需要费心去使用归纳法，因为他们认为乘积法则可以直接证明这个定理。但事实并非如此。乘积法则是将两个函数相乘------不是三个，当然也不是 n 个。定理仅承载其所指，而不是更多，所以这里需要归纳法。
在本节的剩余部分，我想提请您注意一些早期关于连续性的定理之间的重要区别。首先，这里有一个定理和证明，它概括了第 7.7 节的结果。
定理 ：令 c ∈ℝ 。则由 f (x ) = cx 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在每一个 a∈ℝ 点处连续。
证明 ：令 a ∈ℝ 和 ε> 0为指定范围内的任意值。
设 。则若 |x - a | < δ我们有
。
因此，对于 ∀a∈ℝ ，我们已经证明
∀ε > 0 ，∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则就有 | f (x ) - f (a ) |< ε。
因此，f 在每一个 a∈ℝ 点处连续为所求。
这看起来应该不算太糟(不过你可能想知道"|c| + 1" 中的"+ 1" 只是确保我们不除以零的一种方法)。但它常常与另一个定理和证明相混淆，尤其是当人们对前提和结论思考不够清楚的时候。以下是另一个定理。
定理(连续函数常量倍数法则)( constant multiple rule for continuous functions**)**：
假设函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在a 点处连续且 c ∈ℝ 。则 cf 在c点处连续。
证明 ：令ε> 0为指定范围内的任意值。
则 ∃δ > 0 (注：若ε > 0 ，则 ε /(|c | + 1) > 0 ，因此，f 在 a 点处连续，则一定存在一个δ > 0 ,使得若 |x - a | < δ ，则 | f (x ) - f (a ) |小于这个数ε /(|c | + 1))，使得若 |x - a | < δ，则
。
因此，|x - a | < δ⟹
。
因此，∀ε > 0 ，∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则就有 | cf (x ) - cf (a )|< ε。
故而 cf 在c点处连续 。
显然，通过匹配符号来学习分析并不是一个好主意，因为两个定理和证明可能看起来非常相似，但实际上却截然不同。 这里，第一个定理是关于由 f (x ) = cx 给出的具体函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 的连续性；证明表明这满足连续性的定义。但在第二个定理中，f 在a 处连续的事实是一个前提，证明从这个前提出发，可以确定函数cf也满足连续性的定义。证明使用了一些类似的思想，但由于这些不同的前提和结论，它们的结构也不同。考虑到这一点，可能值得再次阅读它们。
7.9 深入连续定理(Further continuous theorems)
本书并未涵盖您在分析课程中看到的所有内容。但是，与其他章节一样，我将列出您可能会看到的一些内容，并向您建议思考它们的方式。首先，一个经常与乘积法则一起出现的定理：
定理 (连续函数的求和法则)( sum rule for continuous functions)：
若函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 和 g ：ℝ ⟶ ℝ 均在 a ∈ℝ 点处连续。则组合函数 f + g 在 a 点处连续。
您认为如何证明这一点？尝试查看第 5.10 节以获得灵感。
其次，还有一个方便的引理：
引理 ：若函数 f ：ℝ ⟶ ℝ在 a ∈ℝ 点处连续且 f (a ) > 0 ，则∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则f (x) > 0 。
这个引理非常适合练习理解。你是否立即明白它说了什么，以及为什么这在直觉上是合理的(甚至是显而易见的)？如果没有，你能建立一个有帮助的图表吗？第 2.4 和 2.5 节包含有关如何做到这一点的建议。一旦你确信它一定是正确的，想想它与连续性的定义有何关系，看看你是否能想出如何证明它。第三，一个显而易见的定理：
介值定理 (Intermediate Value Theorem): 若函数 f 在闭区间[a ，b ]上连续，且y 介于 f (a )和 f (b )之间。 则 ∃c ∈ (a ，b ) ,使得 f (c ) = y 。
这值得我们根据第 2.5 节中的建议进行思考。尽管该定理仅涉及 f (a )和 f (b )之间之间的 y 值，但函数可能会取区间之外的值：
介值定理 (IVT) 的证明使用了一些关于实数属性的微妙思想；我将在第 10.5 节中讨论这些思想，并且不会在这里证明 IVT。但是，可以使用 IVT 来证明第 7.2 节中的固定点定理：
定理 ：若函数 f ：[0，1]⟶ [0，1] 是连续函数。则 ∃c ∈(0，1) ,使得 f (c ) = c 。
证明：
若 f (0) = 0 或 f (1) = 1，则根据假设前提，我们的证明完结。否则，考虑函数 h (x ) = f (x ) -- x 。根据求和法则，函数 h (x ) 在 [0，1] 上是连续的。现在，可知 h (0) > 0，因为 f (0)∈[0，1] 且 f (0)≠ 0 ,以及 h (1) < 0，因为 f (1)∈[0，1] 且 f (1)≠ 1 。因此， 根据介质定理，∃c ∈(0，1)使得 h (c ) = 0 。但 h (c ) = 0 ⟹ f (c ) = h (c ) + c = 0 + c = c 。因此，∃c ∈(0，1) ,使得 f (c ) = c如所求。
如果您希望一些图形直觉与证明相一致，请尝试将其与下一个图表联系起来，其中函数满足前提，直线 y = x 为所证，双头箭头代表 h (x)。
7.10 极限和非连续性(Limits and discontinuities)
连续性与极限密切相关 ，本节将通过比较相关定义来研究连续性 。不过，和往常一样，我将从一些图表开始。下面显示的两个函数在 a 点处都是不连续的。但它们以不同的方式不连续。第一个函数在 x 趋向于 a 时没有极限：指向 a 左侧和右侧的点的函数值彼此"相距甚远"。第二个函数在 x 趋向于 a 时有极限：如果我们想象从任一侧接近 a ，函数值都会接近数 x ，数学家会说 f (x ) 在x 趋向于 a 时趋向于 x 。碰巧 l ≠f (a )，所以函数在 a 处不连续，但它有极限。
在我看来，这提供了对极限和连续性之间关系的关键见解，并解释了连续性定义的一种变体：
定义 ：对于一个函数 ，当且仅当
存在且等于 f (a ) ，则称函数 f 在 a 点连续。
事实上，连续性要求极限存在，并且值 f (a ) **位于"正确位置"。**这是直觉(或者至少是我认为合理的版本------如果您不太满意，请寻找其他解释)。极限和连续性的定义如下所示，以便您可以比较它们。
定义 (极限 )：对于一个函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 和 a ，l ∈ℝ ，当且仅当对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 0 < |x - a | < δ ，有 | f (x ) - l | < ε ，则 。
定义 (连续性 )：对于一个函数 f ：ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，有 | f (x ) - l | < ε ，则 f 在 a点处连续。
极限定义涉及一般极限 l ，而不是值 f (a )。唯一的其他区别是，对于极限，我们要求如果 0 < |x - a | < δ ，而不是若 |x - a | < δ ，则某些东西成立。这有什么影响？从距离的角度考虑 ，0 < |x - a | 意味着 x 和 a 之间的距离严格大于零 ，因此 x ≠ a ，而定义并未说明在点 x = a 处会发生什么 。因此，函数可以在 a 处有极限 ，而无需具有"正确"的 f (a ) 值。事实上，即使 f (a) 没有定义，它也可以有极限。
连续性定义的极限版本提供了一种简单的思考方式来思考本章前面提到的一些函数。例如，在下面的函数中，只有最左边的函数在零点处不连续。其他函数都在零点处连续，因为尽管它们在零点的左侧和右侧的定义不同，但它们的左侧和右侧都有相同的极限，并且这个极限等于 f (0)。
证明这一点所需的条件可能取决于课程的重点。在早期的微积分课程中，通常只需观察左侧和右侧的极限相同或不同就足够了。在分析中，您可能需要从极限的定义中证明任何此类断言。由于极限和连续性定义具有相似的结构，因此本章中有关使用连续性定义的信息应该有助于思考如何做到这一点。
另一种方法是直接证明非连续性，即证明连续性的原始定义不满足。我们将针对第 7.1 节中出现的这个函数进行此操作：
这个函数在 1 处非连续。注意，f (1) = 2 ，为了证明其在 1 处非连续，我们需要证明表述
"对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε"
不成立。
因为这句话说的是"对于所有的ε ，都存在δ "，所以我们可以通过证明存在一个没有合适δ 的 ε 来证明这句话不成立------现在暂停一下，确保您理解这一点。这里恰好是对于ε= 1/2 ，没有合适的 δ。我在这里只给出一个证明；需要否定定义使得这在逻辑上有些复杂，所以请花点时间将每一行与定义联系起来，如果您觉得有帮助，请与附图联系起来。
断言 ：由函数 
给出的函数 f：ℝ ⟶ ℝ 在 1 处非连续。
证明 ：注意，f (1) = 2 。考虑 ，并令δ > 0 为范围内的任意值。则 x = 1 + δ /2 满足|x - 1| < δ ，但
。因此，对于
，不存在δ > 0 ，使得若 |x - a | < δ ，则有 | f (x ) - f (a ) | < ε 。因此，f在 1 处非连续。
一如既往，值得思考的是，如何将这个证明应用于相关案例。如果 f(1) 值"连接到"图的右侧分支而不是左侧分支，会怎么样？对于具有较小"跳跃"的函数，我们需要进行哪些更改？
最后再来看一下不连续性，再考虑一下下面的两个函数。左边的函数在任何地方都不连续，你应该考虑如何证明这一点。右边的函数呢？大多数人回答说，它在任何地方都不连续。但这个答案是基于直觉，而不是定义。事实上，这个函数在零点处是连续的。想象一下垂直轴上的 | f (x ) --f (0)| < ε ------肯定会有一个δ ，如果 |x -- 0| < δ ，那么 | f (x ) -- f (0)| < ε，因此连续性的定义得到满足。
这是一个很好的例子，其中概念的数学版本在大多数情况下与大多数人的直觉非常吻合，但一些"边界"情况的归类有所不同。这没什么好担心的------只要记住它并记住使用定义。你能构造一个在恰好两个点连续的函数吗？恰好三个？恰好 n 个？
7.11 展望(Look ahead)
**连续性是一个重要的主题，由于其核心定义的复杂性，它可能是一个具有挑战性的主题。**值得记住的是，你对定义使用的越多，处理起来就越容易，所以即使材料不断积累，在某个时候，它会看起来更容易，因为你正在习惯它。还值得一提的是，许多分析课程都涉及一些连续性方面的工作，然后继续讨论可微性。可微性往往比连续性更容易，所以如果你陷入一些更重要的连续性证明中，不要气馁------你可能会在课程进行到一半时重新开始。
涉及连续性的课程可能会涵盖这里介绍的所有内容。课程中将有用于组合连续函数的定理的证明：常数倍数、和、以及乘积法则(以及商法则------您认为这是什么意思？)。这些通常归类在"连续函数的代数"等标题下。或者，可能首先证明极限的类似结果，然后使用连续性定义的极限版本直接应用于连续性。可能有一个定理指出每个多项式函数都是处处连续的------也许您现在可以弄清楚如何使用和与乘积法则以及归纳法证明来证明这一点。课程中将有介值定理的证明和各种应用，以及极值定理的证明：
极值定理(Extreme Value Theorem)：
若 f ：[a ,b ] ⟶ ℝ 在 [a ,b] 上是连续的。则
(1) f 在 [a ,b] 有界。
(2) 使得 ∀x ∈[a ,b ]，有
。
这通常被更简短地表述为"闭区间上的连续函数是有界的并且达到其界限 "------你能明白为什么吗？而且这对定理理解练习很有好处。画一些图表，问问自己为什么它一定是正确的，然后尝试放弃其中一个前提------如果函数不必连续，结论是否仍然成立？如果它是在开区间(a ,b )而不是闭区间[a ,b]上定义的，会怎样？你认为为什么这被称为极值定理？
在后续课程中，您可能会学习其中一些思想的高级版本。例如，闭区间是紧凑集的更一般概念的一个例子。在拓扑学课程中，您可能会学到更多关于紧集 (compact set)的知识，以及使用开集和闭集来表征连续性的方法，而不受函数域是 ℝ的子集的限制。在进一步的分析课程或度量空间工作中，您可能会了解均匀连续性(一致连续性)(uniform continuity)，对于实值函数，其定义如下：
定义 ：对于函数 f ：A ⟶ ℝ ，当且仅当 对于 ∀ε > 0 ，都 ∃δ > 0 ，使得对 ，
，则称其在 A上一致连续。
这与标准连续性有何不同？是否存在连续但不一致连续的函数，反之亦然？
在多变量微积分中，你可能会将连续性和极限的概念推广到多变量函数，例如 ，由
给出。此类函数可以被认为是在三维空间中定义曲面，而不是在二维空间中定义曲线。你认为连续性和极限在这种情况下如何发挥作用？极限用于定义可微性，如下一章所述。
内 容来源：
<<how to think about analysis>> lara alcock ，Mathematics Education Centre, Loughborough University，Oxford University Press。