第一章 逻辑语言1.1 逻辑运算1.2 命题逻辑合式公式1.3 谓词逻辑合式公式1.4 自然语言命题第二章 命题逻辑语义2.1 命题合式公式语义2.2 推论式与等价式的语义2.3 变换合式公式的语义2.4 命题公式范式2.5 等式演算2.6 完全集第三章 谓词逻辑语义3.1谓词合式公式语义3.2推论关系和相等关系3.3前束范式与斯科伦范式3.4一阶理论语言3.5论域、结构与模型第四章 逻辑公理系统4.1 形式系统4.2 命题逻辑公理系统4.3 一阶谓词逻辑公理系统第五章 元定理、理论与判定问题5.1元定理5.2理论与模型5.3判定问题
第一章 逻辑语言
1.1 逻辑运算
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最简单的论域---逻辑域
专业术语：
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逻辑对象：{0, 1}
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逻辑运算：{¬, ∧ , ∨ , → , ↔, ⊕}
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逻辑关系：{⇔/等值关系 , ⊨/推论关系}
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真值表: 一组逻辑自变量与一个逻辑因变量的对应表
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真值表定义逻辑运算和关系
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逻辑运算（联结词） • 非 ¬ • 合区/与 ∧ • 析取/或 ∨ • 蕴涵/如果...则... → (p→q =¬p∧q) 01为0 • 互蕴涵/当且仅当 ↔ • 异或 ⊕
- **逻辑真值：**逻辑对象是真和假，简称真值，记为1和0。逻辑真值集合是{0, 1}。
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**逻辑变量：**表达逻辑真值的变量，简称变量，一般用小写英文字母表示：p, q, r, ...
1.2 命题逻辑合式公式
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命题变量及原子公式
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0 和 0 是常量。
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值取为逻辑真值的变量称为命题变量。 • 表示为大写英文字母P、Q、R、S、T等
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定义：命题变量称为原子公式。
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命题合式公式
定义：
(1) 常量0和1 是合式公式； (2) 命题变量是合式公式；9 (3) 若Q，R是合式公式，则(¬Q)、(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式； (4) 只有有限次应用(1)---(3)构成的公式是合式公式。
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推论式：若Q，R是合式公式，则Q⊨R是推论式
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等价式：若Q，R是合式公式，则Q⇔R是等价式，也表示为Q=R
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联结词的优先级： ¬、∧、∨、⊕、→、↔
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推论式定律
肯定前件：(Q→R), Q⊨R 否定后件：(Q→R), ¬Q⊨¬R 析取三段论：(Q∨R), ¬Q⊨R 假言三段论：(P→Q), (Q→R)⊨(P→R) 简化式：Q∧R⊨Q 组合式：Q, R⊨Q∧R 附加式：Q⊨Q∨R 二难构成式：(P∨Q), (P→R), (Q→S) ⊨ R∨S 双重否定：Q⊨ ¬¬Q 德摩根律： ¬(Q∨R)⊨(¬Q∧¬R) ¬(Q∧R)⊨(¬Q∨¬R) 交换律： (Q∨R)⊨(R∨Q) (Q∧R)⊨(R∧Q) 结合律： (P∨(Q∨R))⊨((P∨Q)∨R) (P∧(Q∧R))⊨((P∧Q)∧R) 分配律： (P∧(Q∨R))⊨ ((P∧Q)∨(P∧R)) (P∨(Q∧R))⊨ ((P∨Q)∧(P∨R)) 移位律：(Q→R)⊨(¬R→¬Q) 移出律：(P∧Q)→R⊨(P→(Q→R))
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等价式定律
定律名 表达形式1 表达形式2 表达形式3 交换律 𝑸∨𝑹⇔𝑸∨𝑹 𝑸∧𝑹⇔𝑹∧𝑸 𝑸⊕𝑹⇔𝑹⊕𝑸 结合律 (𝑷∨𝑸)∨𝑹⇔𝑷∨(𝑸∨𝑹) (𝑷∧𝑸)∧𝑹⇔𝑷∧(𝑸∧𝑹) (𝑷⊕𝑸)⊕𝑹⇔𝑷⊕(𝑸⊕𝑹) 分配律 𝑷∨(𝑸∧𝑹)⇔(𝑷∨𝑸)∧(𝑷∨𝑹) 𝑷∧(𝑸∨𝑹)⇔(𝑷∧𝑸)∨(𝑷∧𝑹) 𝑷∧(𝑸⊕𝑹)⇔(𝑷∧𝑸)⊕(𝑷∧𝑸) 德摩根律 ¬(𝑸∨𝑹)⇔¬𝑸∧¬𝑹 ¬(𝑸∧𝑹)⇔¬𝑸∨¬𝑹 幂等律 𝑸∨𝑸⇔𝑸 𝑸∧𝑸⇔𝑸 同一律 𝑸∧𝟏⇔𝑸 𝑸∨𝟎⇔𝑸 吸收律 𝑸∨(𝑸∧𝑹)⇔𝑸 𝑸∧(𝑸∨𝑹)⇔𝑸 零律 𝑸∨𝟏⇔𝟏 𝑸∧𝟎⇔𝟎 排中律 𝑸∨¬𝑸⇔𝟏 双重否定律 ¬¬𝑸⇔𝑸 矛盾律 𝑸∧¬𝑸⇔𝟎 假言易位 𝑸→𝑹⇔¬𝑹→¬𝑸 -
命题逻辑语言:所有的命题合式公式集合构成了命题逻辑语言 ，记为L，可以表示为L= <{∧, ∨,¬,→,↔,⊕}, {⇔,⊨}, φ> ，其中φ为命题变元集合。
一般来说，命题逻辑语言 L 是无穷集合，也就是说合式公式有无穷多个。
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公式复杂度及合式公式序
定义：公式P的复杂度表示为τ(P)
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常量0和1，复杂度为0。
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命题变量复杂度为0，如果P是命题变量，则τ(P)=0。
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如果公式P=¬Q，则τ(P)=τ(Q)+1。
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如果公式P=Q∧R，或 P=Q∨R，或 P=Q→R，或 P=Q↔R，或 P=Q⊕R 则τ(P)=max{τ(Q), τ(R)}+1。
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合式公式的三种变换式
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代换：某个命题变元换成合式公式
设p_k为命题变元，Q和R_k为合式公式，将 Q 中的p_k用R_k表示，记为Q[p_k/R_k]，称为Q的代换，Q[p_k/R_k]称为代换式
代换产生新的公式：(p→(q∧¬r))[r/(p→r)]=p→(q∧¬(p→r))
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替换：某个子公式换成合式公式设Q和R_k为合式公式，Q_k是Q的子公式，将Q中的Q_k用R_k表示，记为 Q[Q_k/R_k]，称为Q的替换，Q[Q_k/R_k] 称为替换式
替换产生新的公式:((p∧r)→(q∧¬r))[(p∧r)/(p→r)]=(p→r)→(q∧¬r)
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对偶:0\1互换，与\或互换
设Q是由{0,1,¬,∨,∧}生成的公式，将Q中的∨和∧互换，0和1互换得到Q^∗，称Q^∗与Q互为对偶式。
设Q是由{0,1,¬,∨,∧}生成的公式，Q^∗与Q互为对偶式：
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若Q为0或1，则Q^∗=¬Q；
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若Q为原子命题，则Q^∗=Q；
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若Q为¬Q_1，则Q^∗=(¬Q_1)^∗=¬Q_1^∗
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若Q为Q_1∨Q_2，则Q^∗=(Q_1∨Q_2)^∗=Q_1^∗∧Q_2^∗
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若Q为Q_1∧Q_2，则Q^∗=(Q_1∧Q_2)^∗=Q_1^∗∨Q_2^∗
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1.3 谓词逻辑合式公式
谓词逻辑语言，又称一阶逻辑语言
逻辑符号：包括变元、联接词、量词；
非逻辑符号：包括常元、函词、谓词；
仅有个体变元；
按形成规则构成的合式公式集合
谓词逻辑，也称为狭义谓词逻辑
谓词都是关于个体的性质或关系，而不涉及关系的性质或关系之间的关系；
函数是关于个体的函数；
量词只作用于个体变元。
谓词逻辑语言适用于分析和表示所研究的各种命题或命题形式。
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谓词：表示事物性质和事物关系的词统称为谓词
n 元谓词表示成 Q(x_1, x_2, ..., x_n)，其中Q是谓词，x_i是个体 Q(x)表示一元谓词，Q(x, y)表示二元谓词
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量词：表示所有个体都具有某种性质的词称为全称量词，记为∀ ；表示至少有一个个体具有某种性质的词称为存在量词，记为∃
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字符集
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逻辑符号：包括变元、联接词、量词、逗号以及括号等
变 元：x_1, x_2, ... 联接词：∧, ∨, ¬, →,↔, ⨁ 量 词：∀, ∃ 逗 号：, 括 号：(, )
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非逻辑符号包括：常元、函词、谓词等
常 元：c_1,c_2, ... 函 词：f_1^1, f_2^1, ...;f_1^2, f_2^2, ... 谓 词：P_1^1, P_2^1,...;P_1^2,P_2^2,...
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项:个体常元是项；个体变元是项；若是t_1, ..., t_n项，f_i^n是n元函词，则f_i(t_1,...,t_n)是项
注：个体常元、个体变元和函词都是不表示任何意义的抽象符号 。 a, b, c是个体常元； x, y是个体变元,； f_1^1是1元函词，f_1^2是2元函词 f_1^2(a, f_1^1(x))是项；而f_1^2(a, b, c)不是项，f_1^2不是3元函词
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合式公式形成规则
合式公式是按如下规则构成的有穷长符号串。 (1) 若t_1,...,t_n是项，Q_i^n是n元谓词，则Q_i^n(t_1,...,t_n)是合式公式; (2) 若Q是合式公式，则(¬Q)是合式公式； (3) 若Q和R是合式公式，则(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q↔R)及(Q ⨁ R)是合式公式； (4) 若Q是合式公式，x是变元，则(∀xQ(x))，(∃xQ(x))是合式公式 (5) 只有有限次应用(1)---(4)构成的公式是合式公式。
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谓词逻辑语言: 设 P 是谓词集合，F 是函词集合，C 是常元集合，语言由联结词集合、量词集合以及 P、F、C构成，表示为 L= <{∧ ,∨,¬,→,↔,⊕}, {∀,∃}, P,F,C>。
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子公式、约束变元和辖域
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若公式R在公式Q中出现，称R为Q的子公式。
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若(∀xQ)(或∃xQ)是公式，则称变元x在公式(∀xQ) (或∃xQ)中为约束出现，称x是约束变元，并称 x 出现的辖域为Q。
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自由变元、基项与语句
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如果变元x在公式Q中的出现不是约束出现，则称x在Q中为自由出现。
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在公式Q中有自由出现的变元称为Q的自由变元，将Q中自由变元的集合记为Var(Q)。
例如变元z在公式∀x (Q(x,z)→∃x∃yR(x, y))中是自由出现，变元x,y都是约束出现。
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x有两次约束出现，表示它们是同名的两个不同变元。
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不出现变元的项称为基项。没有自由变元的公式称为语句。
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1.4 自然语言命题
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具有确定真或假含义的陈述句称为原子命题 ，或简单命题。
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特殊命题逻辑表达
∀x∀yQ(x, y)：所有的x和所有的y有关系Q(x, y) ∀x∃yQ(x, y)：所有的x，都存在(至少)一个y有关系Q(x, y) ∃x∀yQ(x, y)：存在(至少)一个x和所有的y有关系Q(x, y) ∃x∃yQ(x, y)：存在(至少)一个x，存在(至少)一个y有关系Q(x, y)
第二章 命题逻辑语义
2.1 命题合式公式语义
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指派函数（简称指派）： 是一种从合式公式到集合{0,1} 的函数，记为σ。
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设Q是命题变元，σ是指派，则Q的语义是指定Q的真值（表示σ赋给命题变元Q的真值） ，即σ(Q)=Q^σ，其中Q^σ∈\{0, 1\}。
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公式的可满足性和有效性
设Q是公式。 ⑴如果真值指派σ使得σ(Q)=1，则称σ满足 Q。 ⑵如果每个真值指派都满足Q，则称Q为有效式 ，或称为永真式 ，也称为重言式 。 ⑶如果每个真值指派都不满足Q，则称Q为永假式 ，也称为矛盾式 ，不可满足式 。 ⑷如果至少有一个真值指派满足Q，则称Q为可满足式。
2.2 推论式与等价式的语义
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推论式的语义
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设Q和R是合式公式，Q⊨R 是推论式，若对于任意指派函数σ，σ(Q)⊨σ(R)皆为真 ，则称Q语义推出R。
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设Γ是合式公式集合，R是合式公式，Γ⊨R 是推论式，若对于任意指派函数σ，σ(Γ)⊨σ(R)皆为真 ，则称Γ语义推出R，记为Γ⊨R。
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设Q_1,...,Q_n是命题公式，Γ={Q_1,...,Q_n}，若对于任意指派函数σ，σ(Q_1),..., σ(Q_n)皆为真，则σ(R)皆为真 ，则称Q_1,...,Q_n语义推出R，记为Q_1,...,Q_n⊨R。若Γ为空集，则记为⊨R。
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等价式语义
- 设Q，R是合式公式，如果对于任意指派σ，都有σ(Q) = σ (R)皆为真 ，则称Q和R是逻辑等价，记为Q⇔R
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推论式的证明
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指派法
证明Q→R,¬R⊨¬ Q
- 证明： 满足前提的真值指派σ，使σ(Q)=σ(R)=0 即σ(¬R)=1，则σ(Q→R)=1 则σ(¬Q)=1 因此，Q→R,¬ R⊨¬Q
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真值表法
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推论式重要的定理
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若Γ是合式公式的集合，即Γ={Q_1,..., Q_n}，若σ(Γ)=1，当且仅当σ(Q_1)∧...∧σ(Q_n)=1。
- 证明： σ(Γ)=1当且仅当σ(Q_1∧...∧Q_n)=1。 σ(Q_1∧...∧Q_n)=1当且仅当σ(Q_1)∧...∧σ(Q_n)=1。 因此，σ(Γ)=1当且仅当σ(Q_1)∧...∧σ(Q_n)=1。 证毕
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设Q是公式，则 ⊨Q当且仅当Q是永真式。
- 证明 充分性：设 ⊨Q，任取指派函数σ ，因为σ(Q)=1。因此，Q是永真式。 必要性：设Q是永真式，显然 ⊨Q。 证毕
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设Q_1,...,Q_n，R是公式，Q_1,...,Q_n⊨R， 当且仅当Q_1∧...∧Q_n→R是永真式。
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证明 充分性：设Q_1,...,Q_n⊨R。任取指派函数σ。 (1)如果σ(Q_1∧...∧Q_n)=1，则σ(R)=1，
存在： σ(Q_1∧...∧Q_n)→σ(R)=σ(Q_1∧...∧Q_n→R)=1。 (2)如果σ(Q_1∧...∧Q_n)=0，则不论σ(R)=1或σ(R)=0，
存在：σ(Q_1∧...∧Q_n)→ σ(R)=σ(Q_1∧...∧Q_n→R)=1。 因此Q_1∧...∧Q_n→R是永真式。 必要性：设Q_1∧...∧Q_n→R是永真式，任取指派函数σ，$
若σ(Q_1∧...∧Q_n)=1，则σ(Q_1)=...=σ(Q_n)=1，故σ(R)=1。所以Q_1,...,Q_n⊨ R
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设Q，R是公式。Q⇔R当且仅当 Q⊨R且R⊨Q。
- 证明 Q⇔R 当且仅当Q↔R是永真式 当且仅当Q→R和R→Q都是永真式 当且仅当Q⊨R且R⊨Q 证毕
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公式集合Γ不可满足当且仅当每个公式都是Γ的逻辑推论。 证明：设Γ={Q_1,...,Q_n}，Q为任意公式 (\rightarrow) 因为Γ是不可满足的，所以对任意的模型M=<D, σ>，σ(Q_1∧...∧Q_n)=0，σ(Q_1∧...∧Q_n→Q)=1，即Q_1∧...∧Q_n→Q为永真式，有Q_1,...,Q_n⊨ Q，即Γ⊨Q (\leftarrow) 设每个公式都是Γ的逻辑推论，则永假式0是Γ的逻辑推论。即Q_1,...,Q_n⊨0，因为Q_1∧...∧Q_n→0为永真式，所以Q_1∧...∧Q_n是永假式。所以，Γ是不可满足的。
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2.3 变换合式公式的语义
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代换定理
设q_1, ..., q_n是不同的命题变元，Q,R_1, ..., R_n是合式公式。对于每个指派函数σ，有 σ(Q[q_1/R_1, ..., q_n/R_n])=σ(Q[q_1/σ(R_1), ..., q_n/σ(R_n)])
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替换定理
设Q，R_1，R_2是合式公式，并且R_1是Q的子公式，若R_1⇔R_2，则Q⇔Q[R_1/R_2]
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相反指派
如果指派函数σ_1和σ_2满足对每个命题变元p，有p^σ_1=¬p^σ_2， 则称σ_1和σ_2是相反的。
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对偶定理
设Q是由{0,1,¬,∨,∧}生成的公式，Q^∗与Q互为对偶式，σ和σ′是相反的指派函数，则σ(Q^∗)=¬σ'(Q)。
设Q, R是由{0, 1, ¬, ∨, ∧}生成的公式，Q^∗与 Q互为对偶式，R^∗与R互为对偶式。如果Q⇔R，则 Q^∗⇔R^∗。
2.4 命题公式范式
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文字、相反文字：命题变元及命题变元的否定 统称为文字 。如果一个文字恰为另一个文字的否定，则称它们为相反文字。
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简单析取式/简单合区式：设n是正整数，Q_1,...,Q_n都是文字，称Q_1∨...∨Q_n为简单析取式 ，称Q_1∧...∧Q_n为简单合取式。
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析取范式/合取范式：设n是正整数。若Q_1,...,Q_n都是简单合取式 ，则称Q_1∨...∨Q_n为析取范式 。若Q_1,...,Q_n都是简单析取式 ，则称Q_1∧...∧Q_n为合取范式。
简单合取式的析取是析取范式，简单析取式的和取是合取范式
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主析取范式/主合取范式：
设Q_1∨...∨Q_m是析取范式 ，并且每个合取式Q_m包含所有命题变元 ，Q_1∨...∨Q_m称为主析取范式
设Q_1∧...∧Q_m是合取范式 ，并且每个析取式Q_m包含所有命题变元 ，Q_1∧...∧Q_m称为主合取范式
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极大项/极小项：设n是正整数，p_1,...,p_n是不同的命题变元。若对于每个i，Q_i是p_i或¬p_i，则称 Q_1∨...∨Q_n为关于p_1,...,p_n极大项(析取) ，Q_1∧...∧Q_n为关于p_1,...,p_n的极小项(合取)。
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主范式(主析取范式/主合取范式)：
若R_1,...,R_m是关于p_1,...,p_n的不同极小项 ，则称R_1∨...∨R_m为关于p_1,...,p_n的主析取范式 。 若R_1,...,R_m是关于p_1,...,p_n的不同极大项 ，则称R_1∧...∧R_m为关于p_1,...,p_n的主合取范式 。 主析取范式和主合取范式统称为主范式。
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公式的主范式：
设公式Q中出现的命题变元为p_1,...,p_n， R是关于p_1,...,p_n的主析取范式（主合取范式），并且Q⇔R，则称R为Q的主析取范式（主合取范式）
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主范式变换步骤
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**消去联接词→、↔、⊕**将公式由∧、∨、¬表示 Q→R⇔¬Q∨R Q↔R⇔(Q→R)∧(R→Q) Q⊕R⇔(¬Q∧R)∨(Q∧¬R)
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应用德.摩根律¬内移或消去约束公式的¬变换为约束变元 ¬(Q∨R)⇔¬Q∧¬R ¬(Q∧R)⇔¬Q∨¬R
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应用矛盾律与排中律求主合取范式或主析取范式 Q∧¬Q⇔0 Q∨¬Q⇔1
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应用分配律求取合取范式或析取范式 Q∨(R∧S)⇔(Q∨R)∧(Q∨S) Q∧(R∨S)⇔(Q∧R)∨(Q∧S)
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应用交换律变元位置排序 Q∨R⇔R∨Q Q∧R⇔R∧Q
任何公式等值于某一主合取范式/主析取范式
每一公式有唯一的主析取范式/主合取范式
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两个等价
设在公式Q中出现n个命题变元，以下条件是等价的。 ⑴ Q是永真式 。 ⑵ Q的主析取范式中包含了所有的极小项 ，即它是2^n个极小项的析取。 ⑶ Q的主合取范式中不包含任何极大项 ，即它是0个极大项的合取，也就是1。
设在公式Q中出现n个命题变元，则以下条件是等价的。 ⑴ Q是永假式 。 ⑵ Q的主合取范式中包含了所有的极大项 ，即它是2^n个极大项的合取。 ⑶ Q的主析取范式中不包含任何极小项 ，即它是0个极小项的析取，也就是0。
2.5 等式演算
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等式演算：设合式公式Q和R，存在等式序列Q_0,...,Q_n，其中，Q⇔Q_0，R⇔Q_n，并且Q_k⇔Q_k+1，则称Q_0,...,Q_n为等式演算。
即判断两公式Q和R是否等值，分别求出Q和R的主析（合）取范式Q′和R′，若Q′和R′相同（Q′⇔R′），则Q⇔R ，并可以按照求范式步骤写出Q到R的等式演算过程。
2.6 完全集
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定义：设F是n元联结词，p_1,..., p_n 是不同的命题变元。如果公式A中不出现除p_1,..., p_n之外的命题变元，并且A⇔Fp_1⋯p_n ，则称A定义F。
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可被定义：如果存在由联结词集合S生成的公式定义F，则称F可由S定义。如：S={¬, ∧, ∨}
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完全集：设S是联结词集合。如果每个n(n>0)元的联结词都可由S定义 ，则称S为完全集。
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完全集定理：
{¬,∧,∨}是完全集。
如果完全集S_1中的每个联结词都可由联结词集合S_2定义，则S_2也是完全集
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极小完全集定理：
如果从完全集S中去掉任何一个联结词就成为不完全 的了，就称S为极小完全集。
⑴ {¬, ∧}，⑵ {¬, ∨ }，⑶ {¬, →}
第三章 谓词逻辑语义
3.1谓词合式公式语义
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合式公式的语义
设合式公式 ∀xQ(x)，σ是指派 ，则σ(∀xQ(x))=∀x σ(Q(x)) 其中，σ(∀xQ(x))定义为： σ(∀xQ(x))=1，对于任意d，都有Q^σ(x)[x/d]=1 σ(∀xQ(x))=0，存在d，使得Q^σ(x)[x/d]=0
设合式公式 ∃xQ(x)，σ是指派 ，则σ(∃xQ(x))=∃x σ(Q(x)) 其中，σ(∃xQ(x))定义为： σ(∃xQ(x))=1，存在d，使得Q^σ(x)[x/d]=1 σ(∃xQ(x))=0，对于任意d，都有Q^σ(x)[x/d]=0
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语义与公式替换:
设Q是谓词合式公式，R_1是Q的子公式，若Q中子公式R_1换为R_2，则称R_2替换R_1，记为Q[R_1/R_2]。
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替换定理：
设Q是谓词合式公式， R_1是Q的子公式，若R_1⇔R_2，则称Q⇔Q[R_1/R_2]。
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有效式、重言式和矛盾式
设Q是谓词合式公式 ，则对于任意指派，都有σ(Q)=1 ，则称Q为有效式，记为⊨Q。
若Q是有效式 ，并且指派σ仅由联结词性质确定 ，则Q也称为重言式。
设Q是谓词合式公式 ，则对于任意指派 ，都有σ(Q)=0 ，则称Q为矛盾式，记为⊭Q。
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重言式
谓词逻辑公式永真式有两类，一类公式的永真性由联结词的性质决定，它与量词的意义无关 ，这类永真式也称为重言式，如∀xQ(x)→(∃xR(x)→∀xQ(x)) 它与谓词意义无关，仅由联结词的性质决定， Q→(R→Q)是永真式，也是重言式；
另一类永真式的永真性由量词的意义决定的，如∀xQ(x)→ Q(t)，由于Q→R不是永真式，公式∀xQ(x)→ Q(t)的真值性是由谓词意义决定的，这类永真式不是重言式。
3.2推论关系和相等关系
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推论关系（同2.2）
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设Q和R是合式公式 ，若对于任意指派函数σ，都有σ(Q)⊨σ(R) ，则称R是Q的逻辑推论 ，或称Q语义推出R，记为：Q⊨R
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设Γ是合式公式集合 ，R是合式公式，若对于任意指派函数σ，都有σ(Q)⊨σ(R) ，则称R是Γ的逻辑推论 ，或称Γ语义推出R，记为Γ⊨R
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设Q_1,...,Q_n是谓词命题，若Γ=\{Q_1,..., Q_n\}，则Γ⊨R，也可记为Q_1,...,Q_n⊨R。若Γ是空集合，则记为：⊨R 。
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等价关系：
设Q，R是合式公式，如果对于任意指派σ，都有σ(Q) = σ (R)皆为真 ，则称Q和R是逻辑等价，记为Q⇔R
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前束量词定理:
设x不是R的自由变元，则有： (1) ∀xQ(x)⋁R⇔∀x(Q(x)⋁R) (2) ∀xQ(x)⋀R⇔∀x(Q(x)⋀R) (3) ∃xQ(x)⋁R⇔∃x(Q(x)⋁R) (4) ∃xQ(x)⋀R⇔∃x(Q(x)⋀R) (5) R→∀xQ(x)⇔∀x(R→Q(x)) (6) ∀xQ(x)→R⇔∃x(Q(x)→R) (7) R→∃xQ(x)⇔∃x(R→Q(x)) (8) ∃xQ(x)→R⇔∀x(Q(x)→R)
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重要推论式
(∃xQ(x,x))⊨(∃x(∃yQ(x,y))) (∀xQ(x)→R(x))⊨∀xQ(x)→∀xR(x) ∀x(Q(x)→R(x)) ⊨∃xQ(x)→∃xR(x) ∀xQ(x)⋀∀xR(x)⊨∀x(Q(x)⋀R(x)) ∀xQ(x)⋁∀xR(x)⊨∀x(Q(x)⋁R(x)) ∃x(Q(x)⋁R(x))⊨∃xQ(x)⋁∃xR(x)
⊨∀x(P(x)⋁¬P(x)) ∃x(∀yQ(x,y))⊨∀y(∃xQ(x,y)) ∃x(Q(x)⋀R(x))⊨∃xQ(x)⋀∃xR(x) ∀x(Q(x)⋀R(x))⊨∀xQ(x)⋀∀xR(x) ∀xQ(x)⊨¬(∃x(¬Q(x))) ∃x(Q(x))⊨¬(∀x(¬Q(x))) ∀x(¬Q(x))⊨¬(∃xQ(x)) ∃x(¬Q(x))⊨¬(∀xQ(x))
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演绎定理和反证律
演绎定律： ⊨Q→R当且仅当Q⊨R。
证明：
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充分性 ⇒ 对于任意指派函数𝜎，都有σ(Q→R)=1。当σ(Q)=1时，由σ(Q→R)=1可知，σ(R)=1， 因此，Q⊨R
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必要性 ⇐ 对于任意指派函数𝜎，如果 σ(Q)=1，则由 Q⊨R，可知σ(R)=1 ，进而σ(Q→R)=1，如果 σ(Q)=1，则σ(Q→R)=1
反证律：若Q,¬R⊨0，则Q⊨R。
推论判断的方法：设Q,R是谓词合成公式，Q⇔R当且仅当Q⊨R及R⊨Q 。
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重要定理（同2.2）
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⊨𝑄当且仅当𝑄是永真式。
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设Q_1,...,Q_n,Q是合式公式，则Q_1,...,Q_n⊨Q当且仅当Q_1∧...∧Q_n→Q是永真式
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公式集合Γ不可满足，当且仅当每个公式都是Γ的逻辑推论。
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设Γ是合式公式集，Q是合式公式，x是变元。若x不是Γ中任意公式的自由变元，且Γ⊨Q，则Γ⊨∀xQ 。
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设Q是合式公式，x,y是变元，且y对于Q中的x是可代入的，则∀xQ⊨∀yQ[x/y]。
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3.3前束范式与斯科伦范式
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母式定义：设δ_k为∀,∃量词，x_1...,x_n为不同变元，Q为开公式，形式为δ_1x_1...δ_nx_nQ的公式称为前束范式，称δ_1x_1...δ_nx_n为前束词 ，称Q为母式。
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定理：设δ_k为∀,∃量词，x_1...,x_n为不同变元，对于任意合式公式Q，存在前束范式δ_1x_1...δ_nx_nR，使得Q⇔δ_1x_1...δ_nx_nR。
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前束范式变换步骤
一个公式变换为前束范式步骤如下： 1）依次利用等值公式Q⨁R⇔¬(Q↔R)，Q↔R⇔(Q→R)∧(R→Q)，Q→R⇔¬Q∨R进行等值变换，产生的公式仅有联结词 ∨,∧,¬ 以及量词 ∀,∃。 2）用等值公式¬¬Q⇔Q进行变换 以化简公式。 3）根据以上等值公式，以及如下量词变换等值公式¬∀Q(x)⇔∃x¬Q(x)，¬∃Q(x)⇔∀x¬Q(x) 4）用德摩根律¬(Q∧R)⇔¬Q∨¬R，¬(Q∨R)¬Q∧¬R 进行化简。 重复应用步骤(2),(3),(4) ，逐次将所有联结词¬置于原子谓词前。
5）用换名公式∀xQ(x)⇔∀yQ(y)和∃xQ(x)⇔∃yQ(y) 将所有不同量词辖域的变元换名为互不相同的变元。 6）若x不在Q中出现，则 Q∧∀xR(x)⇔∀x(Q∧R(x))、Q∨∀xR(x)⇔∀x(Q∨R(x)) Q∧∃xR(x)⇔∃x(Q∧R(x))、Q∨∃xR(x)⇔∃x(Q∨R(x)) δ_1x_1Q(x_1)∧δ_2x_2R(x_2)⇔δ_1x_1δ_2x_2(Q(x_1)∧R(x_2)) δ_1x_1Q(x_1)∨δ_2x_2R(x_2)⇔δ_1x_1δ_2x_2(Q(x_1)∨R(x_2)) 重复应用步骤(6) ，逐次将量词前置，使得公式变换为前束范式 。 7）用等值变换交换量词次序。 ∀x∀yQ(x,y)⇔∀y∀xQ(x,y) ∃x∃yQ(x,y)⇔∃y∃xQ(x,y)
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前束范式等价性：设Q是公式，Q^′是Q的前束范式，Q⇔Q^′
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无∃前束范式/斯科伦范式：设A是前束范式，A′是无∃前束范式的递归定义：
(1) 若A是无∃前束范式，则A′为A； (2) 若A是∃xB(x)，则A′为B(c)，其中c不是B(x)的常元 (3)若A是∀x_1...∀x_n∃yB(x_1,...,x_n,y)，则A′为∀x_1... ∀x_n∃yB(x_1,...,x_n,y)[y/f(x_1,...,x_n)]，其中f不是B(x_1,...,x_n,y)中的函数。
3.4一阶理论语言
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给定领域知识符号集合，即给定领域的谓词和函词语言，称为一阶理论语言。
一阶理论语言 L_0^2=<{∧,∨,¬,→,↔,⨁},{∀,∃},P,F,C> 其中P是谓词符号集合，F是函词符号集合，C是常元符号集合。
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语言L_0^2中合式公式
语言L_0^2中合式公式是按如下规则构成的有穷长符号串： 1）若t_1,...,t_n是项,Q_i^n是n元谓词,则Q_i^n(t_1,...,t_n)是合式公式； 2）若Q是合式公式，则(¬Q)是合式公式； 3）若Q和R是合式公式，则(Q∧R)，(Q∨R)，(Q→R)，(Q↔R)及(Q⨁R)是合式公式； 4）若Q是合式公式,x是变元,则(∀xQ)及(∃xQ)是合式公式； 5）只有有限次应用（1）～（4）构成的公式是合式公式。 在一阶谓词公理系统中，一阶理论语言仅有联结词¬，→，仅有量词∀。
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语言L_1^1中合式公式
语言L_1^1中合式公式是按如下规则构成的有穷长符号串： 1）若t_1,...,t_n是项，Q_i^n是n元谓词，则Q_i^n(t_1,...,t_n)是合式公式； 2）若Q是合式公式，则(¬Q)是合式公式； 3）若Q和R是合式公式，则(Q→R)是合式公式； 4）若Q是合式公式，x是变元，则(∀xQ)是合式公式； 5）只有有限次应用（1～4）构成的公式是合式公式。
3.5论域、结构与模型
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论域定义：
论域是一个数学系统，记为 D。它由三部分组成：
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一个非空对象集合，每个对象也称为个体；
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一个关于D的函数集合，也称运算；
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一个关于D的关系集合。
E.G.
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量词 ∀,∃ 的语义在论域上解释为逻辑量词∀,∃。
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指派和解释
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命题形式的自由变元被指定为集合中的一个常元称为指派，记为 σ:X→C。
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L是语言，D是论域，一个解释I由以下四部分组成：
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对于每个常元c，指派为D上一个常量c ；
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对于每个n元函词f，指派为D上的一个n元函数f；
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对于每个m元谓词符Q，指派为D上的一个m元关系Q；
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于每个自由变元x，指派为D上的一个常量c，也称为赋值函数。
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结构与模型
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给定语言L以及论域D和解释I，偶对<D,I>称为L的结构，记为S=<D,I>。
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解释和指派统称为指派函数 （简称指派），对于合式公式Q，记为σ:Q→{0,1}。 指派将语言L中的合式公式Q确定一个真值，即语义
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设L是语言，D是论域，σ是D上的指派，则<D,σ>称为语言L的模型，记为M=<D,σ>。
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设L是语言，M=<D,σ>是语言L的模型， Q是合式公式，并且σ(Q)=1，则称Q在D上有模型。
例题：
在自然数论域和整数论域，判断下面各命题的真值。
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∀yQ_0(c,y)
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∃x∀yQ_0(x,y)
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∀x∀yQ_1(f(x,y),f(y,x))
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∀x∀yQ_0(f(x,y),y )
在自然数论域下：
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σ(∀yQ_0(c,y))=∀yQ_0^σ(c^σ,y)=∀y(0≤y)=1，所以，σ(∀yQ_0(c,y))为真
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σ(∃x∀yQ_0(x,y))=∃x∀yQ_0^σ(x,y)=∃x∀y(x≤y)=1,所以，σ(∃x∀yQ_0(x,y))是真
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σ(∀x∀yQ_1(f(x,y),f(y,x)))=∀x∀yQ_1^σ(f^σ(x,y),f^σ(y,x))= ∀x∀y(x+y=y+x)=1， 所以，σ(∀x∀yQ_1(f(x,y),f(y,x)))是真。
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σ(∀x∀yQ_0(f(x,y),y ))=∀x∀yQ_0^σ(f^σ(x,y),y)= ∀x∀y(x+y≤y)=0， 所以，σ(∀x∀yQ_0(f(x,y),y ))为假。
在整数论域下：
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σ(∀yQ_0(c,y))= ∀yQ_0^σ(c^σ,y)=∀y(0≤y)=0，所以，σ(∀yQ_0(c,y))是假
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σ(∃x∀yQ_0(x,y))= ∃x∀yQ_0^σ(x,y)= ∃x∀y(x≤y)=0 ，所以，σ(∃x∀yQ_0(x,y))是假
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σ(∀x∀yQ_1(f(x,y),f(y,x)))=∀x∀yQ_1^σ(f^σ(x,y),f^σ(y,x))= ∀x∀y(x+y=y+x)=1，所以，σ(∀x∀yQ_1(f(x,y),f(x,y)))是真。
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σ(∀x∀yQ_0(f(x,y),y ))=∀x∀yQ_0^σ(f^σ(x,y),y)= ∀x∀y(x+y≤y)=0， 所以，σ(∀x∀yQ_0(f(x,y),y ))为假。
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模型与公式的语义
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可满足的：给定合式公式Q，模型M=<D,σ>使得σ(Q)=1成立 ，称公式Q关于模型M是可满足的，简称在模型M上Q可满足，记为⊨_MQ。
e.g.：在自然数论域中，在模型M_1=<D_N,σ>上， ⊨_{M_1}∃x∀y(x≤y)。
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不可满足的：给定合式公式Q，模型M=<D,σ>使得σ(Q)=0成立，称公式Q关于模型M是不可满足的，记为⊭_MQ。
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给定合式公式集合Γ={Q_1,...,Q_n}，模型M=<D,σ>使得对于每个公式Q_k∈Γ，有σ(Q_k)=1成立，则称公式集合Γ关于模型M是可满足的，简称Γ可满足。也称模型<D,σ>满足Γ，记为⊨_MΓ。
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定理：给定一个语言L，设Γ={Q_1,...,Q_n}， Q_1,...,Q_n是它的n个公式(n≥1)，M=<D,σ>是模型，则σ(Γ)=1当且仅当σ(Q_1⋀...Q_1⋀Q_n)=1
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谓词合式公式的逻辑推论
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Q和R是谓词合式公式，若存在模型M=<D,σ> ，使得当σ(Q)=1时，有σ(R)=1 ，则称R是Q关于模型M上的逻辑推论，记为Q⊨_MR
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设Γ是谓词合式公式集合， R是谓词合式公式，若存在模型M=<D,σ> ，使得当σ(Γ)=1时，有σ(R)=1 ，则称R是Γ关于模型M上的逻辑推论，记为Γ⊨_MR 。
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第四章 逻辑公理系统
4.1 形式系统
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形式系统
一个形式系统应当包括以下几部分. (1)各种初始符号 . 初始符号是一个形式系统的"字母"，经解释后其中一部分是初始概念. (2)形成规则 . 规定初始符号组成各种合适符号序列的规则. 经解释后合式符号序列是一子句，称为系统里的合式公式或命题. (3)公理. 把某些所要肯定的公式选出，作为推导其它所要肯定的公式的出发点，这些作为出发点的公式称为公理. (4)变形规则. 变形规则规定如何从公理和已经推导出的一个或几个公式经过符号变换而推导出另一公式. 经过解释，变形规则就是推理规则. 应用变形规则进行推导可以得到一系列公式，这些公式经过解释是系统的定理.
形式系统完全由一套表意符号建立，它能克服日常语言的歧义性，使概念、判断、推理精确化.
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公理系统
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定义：从一些公理出发，根据演绎定理，推导出一系列定理，由此形成的演绎体系，称为公理系统．
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公理系统的组成：
符号集 ； 公式集 ，公式是用于表达命题的符号串； 公理集 ，是公式集的真子集，公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题； 推理规则集 ，推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则； 定理集，表达了本系统肯定的所有命题．
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4.2 命题逻辑公理系统
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命题逻辑公理系统
命题逻辑的公理系统定义如下: (1) 符号集合： 命题变元：p_1, p_2, ..., 联结词符号：¬,→ 括号：(, )
(2) 形成规则(公式定义)： 若p是命题变元，则p是公式； 若Q是公式，则¬Q是公式； 若Q, R是公式，则Q→R是公式
(3) 公理：设Q, R, P为任意公式 公理模式A 1：Q→(R→Q) 公理模式A 2：(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) 公理模式A 3：(¬Q→¬R)→(R→Q)
(4) 推理规则：(分离规则，MP(Modus Ponents)规则) 若Q和Q→R成立，则R成立．其中，Q和Q→R称为前提，R称为结论．
(5) 定理集（公理集和推理规则集给定后，定理集就完全确定了，因此可省略定理集）
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缩写定义
命题公理系统中仅使用了¬、→联结词符号， 而其他联结词符号∨, ∧,↔, ⊕可以认为是缩写公式，用**≡表示缩写定义** (1) Q∨R≡¬Q→R (2) Q∧R≡¬(Q→¬R) (3) Q↔R≡(Q→R)∧(R→Q) (4) Q⊕R≡¬(Q↔R)
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推演(演绎)
设Γ是合式公式集合，Q是合式公式 (1) 如果Γ成立，则Q必然成立，则称Γ推演(演绎)出Q，记为Γ⊢Q (2) Γ称为推演的前提集 ，称Q为结论．
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命题逻辑定理
⊢(Q→(R→P))→(R→(Q→P))
⊢(R→P)→((Q→R)→(Q→P)) ⊢(Q→R)→((R→P)→(Q→P)) ⊢((Q→R)→(Q→P))→(Q→(R→P))
⊢Q→Q ⊢¬¬Q→Q ⊢R→¬¬R
⊢(¬¬Q→¬¬R)→(Q→R) ⊢(Q→R)→(¬¬Q→¬¬R) ⊢(Q→R)→(¬R→¬Q) ⊢(¬Q→R)→(¬R→Q) ⊢(Q→¬R)→(R→¬Q)
⊢¬Q→(Q→R) ⊢(¬Q→Q)→(R→Q) ⊢(¬Q→Q)→Q ⊢(¬Q→R∧¬R)→Q ⊢(¬Q→R)→((¬Q→¬R)→Q) ⊢(Q→R)→((Q→¬R)→¬ Q )
⊢Q→((Q→R)→R) ⊢Q∧(Q→R)→R
⊢(P∧Q→R)→(P→(Q→R)) ⊢Q→(R→(Q∧R)) ⊢(P→Q)∧(P→R)→(P→Q∧R) ⊢(P→R)→((Q→R)→((P∨Q)→R))
Q, R⊢Q∧R
⊢Q∨Q→Q ⊢Q∧Q→Q ⊢(Q→R)∨(R→Q) ⊢(Q→R)∨(Q→¬R) ⊢Q→Q∨R
单调性：(Q→R)→(Q∧P→R∧P)
4.3 一阶谓词逻辑公理系统
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主要内容
谓词逻辑公理系统的证明与推演：
- 5条公理+2条规则（MP+UG） 演绎定理 替换定理
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谓词逻辑公理系统
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符号集合： 个体变元：p1, p2, ... 个体常元：c1, c2 , ... 函词符号：对每个正整数n，n元函词符号 f_1^n, f_2^n , ... 谓词符号：对每个正整数n，n元谓词符号 P_1^n, P_2^n, ... 联结词符号：¬, → 量词符号： ∀ 逗 号：, 括 号：(, )
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项定义： 个体常元是项； 个体变元是项； 若t_1,..., t_n是项，则f_i^n(t_1,..., t_n)是项.
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公式集合： 若t_1,..., t_n是项，则P_i^n(t_1,..., t_n)是公式. 若Q是公式，则¬Q是公式； 若Q和R是公式，则Q→R是公式； 若Q是公式，则∀xQ是公式.
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公理集合：令Q, R, P为任意公式 公理模式A 1：Q→(R→Q) 公理模式A 2：(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) 公理模式A 3：(¬Q→¬R)→(R→Q) 公理模式A 4：∀xQ→Q_t^x 其中项t对于Q中的x可代入 . 公理模式A 5：∀x(Q→R)→(Q→∀xR)，（量词分配） 其中x不是Q中自由变元.
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推理规则: 分离规则（简称MP规则）：从Q和Q→R推出R. 综合规则（简称UG规则）：从Q推出(∀xQ).
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缩写定义
谓词公理系统中仅使用了¬和→联结词符号， 而其他联结词符号∨,∧,↔,⊕可以认为是缩写公式， 用≡表示缩写定义． (1) Q∨R≡¬Q→R (2) Q∧R≡¬(Q→¬R) (3) Q↔R≡(Q→R)∧(R→Q) (4) Q⊕R≡¬(Q↔R) 谓词公理系统中仅使用了量词∀，存在量词∃是缩写公式，由定义给出，用≡表示缩写定义． ∃xQ(x)≡¬∀x¬Q(x)
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推演
定义4.2.1 设Γ是语句集 ．如果公式序列A_1,..., A_n中的每个公式A_i满足以下条件之一：
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A_i是公理，
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A_i∈Γ，
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有j, k<i使得用MP规则由A_j, A_k可推出A_i，
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有 j<i 使得用UG规则由A_j可推出A_i；
则称A_1,..., A_n为A_n的从Γ的一个推演． 称Γ为推演的前提集，A_n为推演的结论．
如果存在R的从Γ的推演，则记为 Γ⊢R． 将{A_1,..., A_n}⊢R简记为A_1,..., A_n⊢R， 将∅⊢R简记为⊢R，此时称R为定理． 如果A_1,..., A_n是R的从∅的推演，则称A_1,..., A_n为定理R的证明．
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演绎定理：若Q是语句，则Γ∪{Q}⊢R当且仅当Γ⊢Q→R．
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一阶谓词逻辑定理汇总：
第一组： 1. ⊢∀xQ(x)↔∀yQ(y) 2. ⊢∃xQ(x)↔∃yQ(y) 3. ⊢Q(c)→∃xQ(x) 4. ⊢¬Q(c)→¬∀xQ(x) 5. ⊢∀xQ(x)→∃xQ(x) 第二组： 6. ⊢∀x∀yR(x,y)↔∀y∀xR(x,y) 7. ⊢∃x∃yR(x,y)↔∃y∃xR(x,y) 8. ⊢∃x∀yR(x,y)→∀y∃xR(x,y) 9. ⊢∀x∀yR(x,y)→∀xR(x,x) 10. ⊢∃xR(x,x)→∃x∃yR(x,y)
第三组： 11. ⊢∀x(Q(x)→R(x))→(∀xQ(x)→∀xR(x)) 12. ⊢∀x(Q(x)→R(x))→(∃xQ(x)→∃xR(x)) 13. ⊢∀x(Q(x)∧R(x))↔(∀xQ(x)∧∀xR(x)) 14. ⊢(∀xQ(x)∨∀xR(x))→∀x(Q(x)∨R(x)) 15. ⊢∃x(Q(x)∧R(x))→(∃xQ(x)∧∃xR(x)) 16. ⊢∃x(Q(x)∨R(x))↔(∃xQ(x)∨∃xR(x))
第四组： 17. ⊢∀xQ(x)↔¬∃x¬Q(x) 18. ⊢∃xQ(x)↔¬∀x¬Q(x) 19. ⊢∃x¬Q(x)↔¬∀xQ(x) 20. ⊢¬∃x¬Q(x)↔∀xQ(x) 重要规则 引入规则：⊢Q(c)→∃xQ(x)