【定义1】商域
如果 R R R是整环，那么则 R R R上的商域 K R K_{R} KR定义为
K R = { a b ∣ a , b ∈ R , b ≠ 0 } K_{R} = \left\{ \frac{a}{b}|a,b \in R,b \neq 0 \right\} KR={ba∣a,b∈R,b=0}
其中
a b = a ′ b ′ ∈ K R ⇔ a b ′ = a ′ b ∈ R \frac{a}{b} = \frac{a^{'}}{b^{'}} \in K_{R} \Leftrightarrow ab^{'} = a^{'}b \in R ba=b′a′∈KR⇔ab′=a′b∈R
域 K R K_{R} KR中的 + 、 × + 、 \times +、×按照下面方式进行
a b + c d = a d + b c b d a b × c d = a c b d \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} ba+dc=bdad+bc ba×dc=bdac
负元、逆元定义如下
− a b = − a b ( a b ) − 1 = b a - \frac{a}{b} = \frac{- a}{b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \frac{a}{b} \right)^{- 1} = \frac{b}{a} −ba=b−a (ba)−1=ab
【定义2】环同态
R R R是整环，可按照下面方式，建立从 R R R到商域 K R K_{R} KR的环同态
φ : R → K R , φ ( r ) = r 1 , ∀ r ∈ R \varphi:R \rightarrow K_{R},\ \varphi(r) = \frac{r}{1},\ \forall r \in R φ:R→KR, φ(r)=1r, ∀r∈R
可以看出 φ \varphi φ是一个从 R R R到商域 K R K_{R} KR的单射函数，即对于商域 K R K_{R} KR的元素 a b \frac{a}{b} ba约分后 a ′ b ′ \frac{a^{'}}{b^{'}} b′a′，如果 b ′ = 1 b^{'} = 1 b′=1，则对应一个 R R R的元素 a ′ a^{'} a′。
【定义3】本原多项式
如果 R R R是唯一析因整环，对于 R [ x ] R\lbrack x\rbrack R[x]的多项式函数
F = ∑ i = 0 m a i x i r i ∈ R F = \sum_{i = 0}^{m}{a_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{i} \in R F=i=0∑maixi ri∈R
如果 gcd ( a m ... a 1 , a 0 ) ∼ 1 \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right)\sim 1 gcd(am...a1,a0)∼1，那么称 F F F为本原多项式。
一般情况下：
F = gcd ( a m ... a 1 , a 0 ) × p p ( F , x ) = c o n t ( F , x ) × p p ( F , x ) F = \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right) \times pp(F,x) = cont(F,x) \times pp(F,x) F=gcd(am...a1,a0)×pp(F,x)=cont(F,x)×pp(F,x)
其中 c o n t ( F , x ) = gcd ( a m ... a 1 , a 0 ) cont(F,x) = \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right) cont(F,x)=gcd(am...a1,a0)、 p p ( F , x ) pp(F,x) pp(F,x)为 F F F的本原部分、 c o n t ( F , x ) cont(F,x) cont(F,x)为 F F F的容忍度。
【引理1】
如果 R R R是唯一析因整环，那么两个本原多项式的积仍是本原多项式。
【引理2】
如果 R R R是唯一析因整环，那么两个本原多项式 F 、 G F、G F、G满足
F × f = G × g f ∈ R 、 g ∈ R F \times f = G \times g\ \ \ \ \ \ f \in R、g \in R F×f=G×g f∈R、g∈R
那么有
f ∼ g F ∼ G f\sim g\ \ \ \ \ \ \ \ F\sim G f∼g F∼G
这是因为最小公倍数 l c m ( f , g ) ∣ F × f lcm(f,g)|F \times f lcm(f,g)∣F×f、 l c m ( f , g ) ∣ G × g lcm(f,g)|G \times g lcm(f,g)∣G×g，而 F 、 G F、G F、G为本原多项式，所以 f ∼ l c m ( f , g ) ∼ g f\sim lcm(f,g)\sim g f∼lcm(f,g)∼g，从而 F ∼ G F\sim G F∼G
【定理】如果 R R R是唯一析因整环，那么 R [ x ] R\lbrack x\rbrack R[x]也是唯一析因整环
【证明】
设 R [ x ] R\lbrack x\rbrack R[x]上的多项式函数为
F = ∑ i = 0 m r i x i r i ∈ R F = \sum_{i = 0}^{m}{r_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{i} \in R F=i=0∑mrixi ri∈R
根据【定义1】中商域 K R K_{R} KR的定义， F F F对应 K R [ x ] K_{R}\lbrack x\rbrack KR[x]上的多项式函数
F K = ∑ i = 0 m k i x i k i = r i 1 ∈ R F_{K} = \sum_{i = 0}^{m}{k_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{i} = \frac{r_{i}}{1} \in R FK=i=0∑mkixi ki=1ri∈R
注意：由于 K R K_{R} KR为域，所以 K R [ x ] K_{R}\lbrack x\rbrack KR[x]是欧几里得整环，从而 K R [ x ] K_{R}\lbrack x\rbrack KR[x]是唯一析因整环。
下面的1、2中对 F K F_{K} FK的真因子分解结果会把真因子的相伴元视为等价因子。
1. 若 F F F为本原多项式，且 F K F_{K} FK的真因子分解结果必然对应一个 F F F的真因子分解结果
设 F K F_{K} FK的真因子分解结果如下：
F K = ∏ i = 1 n F K ( i ) F K ( i ) ∈ K R [ x ] F_{K} = \prod_{i = 1}^{n}F_{K}^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ \ F_{K}^{(i)} \in K_{R}\lbrack x\rbrack FK=i=1∏nFK(i) FK(i)∈KR[x]
对于所有 F K ( i ) F_{K}^{(i)} FK(i)，总有一个 F ( i ) F^{(i)} F(i)与之对应：
φ − 1 ( F K ( i ) × r ( i ) 1 ) = F ( i ) r ( i ) ∈ R \varphi^{- 1}\left( F_{K}^{(i)} \times \frac{r^{(i)}}{1} \right) = F^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r^{(i)} \in R φ−1(FK(i)×1r(i))=F(i) r(i)∈R
那么有
F ∏ i = 1 n r ( i ) = ∏ i = 1 n F ( i ) F\prod_{i = 1}^{n}r^{(i)} = \prod_{i = 1}^{n}F^{(i)} Fi=1∏nr(i)=i=1∏nF(i)
而每个 R [ x ] R\lbrack x\rbrack R[x]的多项式函数 F ( i ) F^{(i)} F(i)都可写成本原部分和容忍度的乘积，所以
F × ∏ i = 1 n r ( i ) = ∏ i = 1 n c o n t ( F ( i ) , x ) × ∏ i = 1 n p p ( F ( i ) , x ) F \times \prod_{i = 1}^{n}r^{(i)} = \prod_{i = 1}^{n}{cont\left( F^{(i)},x \right)} \times \prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)} F×i=1∏nr(i)=i=1∏ncont(F(i),x)×i=1∏npp(F(i),x)
根据 【引理1】 知
∏ i = 1 n p p ( F ( i ) , x ) \prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)} i=1∏npp(F(i),x)
为本原多项式。
再根据 【引理2】
∏ i = 1 n r ( i ) ∼ ∏ i = 1 n c o n t ( F ( i ) , x ) \prod_{i = 1}^{n}r^{(i)}\sim\prod_{i = 1}^{n}{cont\left( F^{(i)},x \right)} i=1∏nr(i)∼i=1∏ncont(F(i),x)
F ∼ ∏ i = 1 n p p ( F ( i ) , x ) F\sim\prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)} F∼i=1∏npp(F(i),x)
所以 F K F_{K} FK的真因子分解结果必然对应一个 F F F因子分解结果。
2. 若 F F F是本原多项式，则多项式 F F F的真因子分解结果唯一
通过映射关系 φ \varphi φ， F F F的真因子分解过程可在 F K F_{K} FK上模拟。这也意味，当 F F F的真因子分解过程结束时， F K F_{K} FK的也无真因子可继续分解（根据前面的结论，F K F_{K} FK的真因子分解结果必然对应一个 F F F的真因子分解结果，反证立得）。
由于 F K F_{K} FK是唯一析因整环 K R [ x ] K_{R}\lbrack x\rbrack KR[x]上的多项式，所以 F K F_{K} FK唯一分解，从而 F F F也是唯一分解（因为 F F F的不同真因子分解，也必然对应 F K F_{K} FK的不同真因子分解，矛盾）。
3. 一般多项式 F F F的真因子分解结果唯一
对于一般的多项式 F F F的任意分解
F = ∏ i = 1 k f i × ∏ i = 1 n F i = c o n t ( F , x ) × p p ( F , x ) F = \prod_{i = 1}^{k}f_{i} \times \prod_{i = 1}^{n}F_{i} = cont(F,x) \times pp(F,x) F=i=1∏kfi×i=1∏nFi=cont(F,x)×pp(F,x)
因为 F i F_{i} Fi都是本原多项式（否则可以析出真因子 ∈ R \in R ∈R），根据 【引理1】【引理2】
∏ i = 1 k f i ∼ c o n t ( F , x ) \prod_{i = 1}^{k}f_{i}\sim cont(F,x) i=1∏kfi∼cont(F,x)
∏ i = 1 n F i ∼ p p ( F , x ) \prod_{i = 1}^{n}F_{i}\sim pp(F,x) i=1∏nFi∼pp(F,x)
由于 c o n t ( F , x ) ∈ R cont(F,x) \in R cont(F,x)∈R，所以真因子分解结果唯一。同时根据2 ，可知 F F F的本原部分 p p ( F , x ) pp(F,x) pp(F,x)的真因子分解结果 ∏ i = 0 n F i \prod_{i = 0}^{n}F_{i} ∏i=0nFi唯一，所以一般多项式 F F F的真因子分解结果唯一。