刷代码随想有感（104）：动态规划——01背包问题/二维dp数组

题干：

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,bagweight;
void solve(){
    vector<int>weight(n, 0);
    vector<int>value(n, 0);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin>>weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; j++){
        cin>>value[j];
    }

    vector<vector<int>>dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));//初始化1
    for(int j = weight[0]; j <= bagweight; j++){
        dp[0][j] = value[0];//初始化2，初始化第一横行
    }
    
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++){
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++){
            if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], (dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]));
        }
    }
    cout<<dp[weight.size() - 1][bagweight]<<endl;
}
int main(){
    while(cin>>n>>bagweight){
        solve();
    }
}

1.定义dp $i$ $j$ ：对于背包问题，有一种写法，是使用二维数组，即dp $i$ $j$ 表示从下标为 $0-i$ 的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

1.1.定义dp数组:

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vector<vector<int>>dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

由于weight数组已经包含了0所以不需要加一，而bagweight需要把0也加上，所以加一。

2.递推公式：有两个方向推出来dp $i$ $j$ ，

不放物品i：由dp $i - 1$ $j$ 推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp $i$ $j$ 就是dp $i - 1$ $j$ 。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i：由dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ]推出，dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] 为背包容量为j - weight $i$ 的时候不放物品i的最大价值，那么dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ );

3.遍历顺序：先是物品后是背包：

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for(int i = 1; i < weight.size(); i++){
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++){
            if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], (dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]));
        }
    }

4.所求的目标结果：dp $weight.size() - 1$ $bagweight$

最终结果是dp $2$ $4$ ，也即：i = weight数组长度减一，j = 包的最大容量。