刷代码随想有感(104):动态规划——01背包问题/二维dp数组

题干:

代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,bagweight;
void solve(){
    vector<int>weight(n, 0);
    vector<int>value(n, 0);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin>>weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; j++){
        cin>>value[j];
    }

    vector<vector<int>>dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));//初始化1
    for(int j = weight[0]; j <= bagweight; j++){
        dp[0][j] = value[0];//初始化2,初始化第一横行
    }
    
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++){
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++){
            if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], (dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]));
        }
    }
    cout<<dp[weight.size() - 1][bagweight]<<endl;
}
int main(){
    while(cin>>n>>bagweight){
        solve();
    }
}

1.定义dp[i][j]:对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

1.1.定义dp数组:

cpp 复制代码
vector<vector<int>>dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

由于weight数组已经包含了0所以不需要加一,而bagweight需要把0也加上,所以加一。

2.递推公式:有两个方向推出来dp[i][j],

  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.遍历顺序:先是物品后是背包:

cpp 复制代码
for(int i = 1; i < weight.size(); i++){
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++){
            if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], (dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]));
        }
    }

4.所求的目标结果:dp[weight.size() - 1][bagweight]

最终结果是dp[2][4],也即:i = weight数组长度减一,j = 包的最大容量。

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