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主要介绍GEMM中的数据分块和如何在多级存储进行数据搬运，HPC优化的核心思想，怎么样让数据放在更近的存储上来掩盖计算的延时，从而减少存储墙的影响
从global memory到shared memory
假设有矩阵A，B，需要计算矩阵A和B的乘，即矩阵C。A/B/C三个矩阵的维度分别为m*k,k*n,m*n，且三个矩阵中的数据都是单精度浮点数。对于C中的每一个元素，C[i][j]，可以看作是A的一行和B的一列进行一次归约操作。采用最navie的GEMM算法，在GPU中，一共开启m*n个线程，每个线程需要读取矩阵A的一行和矩阵B的一列，而后将计算结果写回矩阵C中。因而，完成计算一共需要从global memeory中进行2mnk次读操作和m*n次写操作。大量的访存操作使得GEMM效率难以提高，因而考虑global memory中进行分块，并将矩阵块放置到shared memory中。示意图如下
对global memory进行分块的GEMM算法示意图见上图右侧。首先将A/B/C三个矩阵划分为多个维度为bm*bk，bk*bn，bm*bn的小矩阵块 。三个矩阵形成M*K，K*N，M*N的小矩阵网格 。其中，M=m/bm，N=n/bn，K=k/bk。随后在GPU中开启M*N个block，每个block负责C中一个维度为bm*bn的小矩阵块的计算。计算一共有K次迭代，每次迭代都需要读取A中一个维度为bm*bk的小矩阵块和B中的一个维度为bk*bn的小矩阵块，并将其都放置在shared memory中。因而，完成C中所有元素的计算一共需要从global memory中读取M*N*K*（bm*bk+bk*bn） ，即m*n*k(1/bm+1/bn)个单精度浮点数。相比于navie的GEMM算法，访存量减少为原来的1/2*(1/bm+1/bn)。通过global memory中分块算法极大减少了对global memory的访存量。并且相对于navie算法，对global进行分块可以更充分地利用数据局部性 。在navie算法中，每一个线程都需要直接从global memory中取数，其延时非常长，计算性能非常差。而进行分块后，将维度为bm*bk，bk*bn的小矩阵块先存储到shared memory中 。而后计算单元进行计算时可以直接从shared memory中取数，大大减少了访存需要的时延。
从shared memory到register
随后，我们进一步考虑从shared memory到register的过程。在这里，只分析一个block中的计算。当进行K轮迭代中某一轮迭代时，GPU将维度为bm*bk，bk*bn的小矩阵块存储到shared memory中，而后各个线程将shared memory中的数据存入register中进行计算。
在不对shared memory分块 时，一个block中含有bm*bn个线程，每一个线程负责C中一个元素的计算 。则一个block分块一共需要对shared memory进行2*bm*bn*bk 次读操作。而后考虑对shared memory进行分块 ，对bm*bn的小矩阵进行再一次划分，将其划分为多个维度为rm*rn的子矩阵。则一个block需要负责X*Y个子矩阵。其中，X=bm/rm，Y=bn/rn。随后，在一个block中开启X*Y个线程，每个线程负责一个维度为rm*rn的子矩阵的计算 。在计算中，一个block一共需要从shared memory读取X*Y*（rm+rn）*bk ，即bm*bn*bk*(1/rm+1/rn)个单精度浮点数。相比于未分块的算法，对于shared memory中的访存量减少为原来的1/2*(1/rm+1/rn)。并且将数据放入register中，可以直接对数据进行运算，减少了从shared memory中取数的时延。
rigister分块
考虑register中的计算，并且只分析一个thread。在完成以上的过程后，对于一个线程而言，它现在拥有：rm个A矩阵的寄存器值，rn个B矩阵的寄存器值，一级rm*rn个C矩阵的寄存器值。通过这些寄存器的值，需要计算rm*rn个数。者需要rm*rn条FFMA指令。
这个时候回涉及到寄存器的bank conflict。在nv的GPU中，每个SM不仅会产生shared memory之间的bank冲突，也会产生寄存器之间的bank冲突。这对于计算密集型的算子十分重要。像shared memory一样，寄存器的Redgister File也会被分为几个bank，如果一条指令的源寄存器有2个以上来自同一bank，就会产生冲突。指令会重发射，浪费一个cycle。
我们假设对这个thread来说，rm=4，rn=4。并且计算C的寄存器以一种非常navie的情况分配，如下图所展示。则需要产生16条FFMA指令，列举如下：
需要对参与计算的寄存器重新进行分配和排布，如上图右侧所示。在有些地方，这种方式也可以叫做register分块。
数据的prefetch
最后，如何通过对数据进行prefetch（预取）来减少访存的latency（延迟）。回顾GEMM的过程，并且仔细地看看这个访存的latency到底时怎么导致的。对于一个block而言，需要计算一个bm*bn的矩阵块，这个时后需要进行K次迭代，每次迭代都需要先将来自A和B的两个小块送到shared memory中再进行计算。而从global中访存实际上时非常慢的所以导致latency。虽然GPU中可以通过block的切换来掩盖这种latency，但是由于分配的shared memory比较多，活跃的block并不太多，所以延时很难被掩盖。对于一个thread，需要计算一个rm*rn的小矩阵，但是必须先将数据从shared memory传到寄存器上，才能开始计算。所以导致了每进行一次迭代，计算单元就需要停下来等待，计算单元不能被喂饱。
为此，需要进行数据的prefetch来尽可能地掩盖这种latency。需要多开一个buffer，进行读写分离。示意图如下。当block进行第二轮迭代时，需要对A2和B2进行计算，再计算单元进行计算的同时，我们将A3和B3提前放置到shared memory。而后，在进行第3轮迭代时，就可以直接对shared memory中的A3和B3进行计算，而不需要等待从global memory 搬运到shared memory的时间。寄存器上的prefetch也是同理。
