例1：找出S3中所有不能和(123)交换的元。
解：因为 (123)(1) = (1)(123) = (123)，(123)(132) = (132)(123) = (1)，所以(1)、(132)和(123)均可以交换；
而(12)(123) = (23)，(123)(12) = (13)，故 (12)(123) ≠ (123)(12)，因此(12)和(123)不可交换；
同理，(13),(23)也与(123)不可交换。
因此，S3中所有不能和(123)交换的元有(12),(13),(23)。
定理9：Sn中每一个元都可以写为(12),(13),...,(1n)这n-1个2-循环置换中若干个的乘积。
【++证明补充：定理6(见上一篇文章)：两个不相交的循环置换的乘积可交换。++】
证：设A = {1,2,...,n}，Sn是n次对称群。
σ = (r1r2...rn)，r = (t1t2...tl)是Sn中不相交的循环置换，即：
{r1,r2,...,rk} ∩ {t1,t2,...,tl} = ∅，将σ和r视为映射，证σr = rσ------
对任意i∈A，
①若i∈{r1,r2,...,rk}，则i∉{t1,t2,...,tl}，
σ(i) = rm，则rm∉{t1,t2,...,tl}，从而：
(σ o r)(i) = σ(r(i)) = σ(i) = rm，(r o σ)(i) = r(σ(i)) = r(rm) = rm，
因此 (σ o r)(i) = (r o σ)(i) = rm，即σr = rσ；
②若i∈{t1,t2,...,tl}，即i∉{r1,r2,...,rk}，
令 r(i) = tn∉{r1,r2,...,rk}，从而：
(σ o r)(i) = σ(r(i)) = σ(tn) = tn，(r o σ)(i) = r(σ(i)) = r(i) = tn，
因此(σ o r)(i) = (r o σ)(i) = tn，即σr = rσ；
③若i∉{t1,t2,...,tl,r1,r2,...,rk}，则σ(i) = i = r(i)，从而：
(σ o r)(i) = σ(r(i)) = σ(i) = i，(r o σ)(i) = r(σ(i)) = r(i) = i，
因此(σ o r)(i) = (r o σ)(i) = i，即σr = rσ。
综上所述，不管是哪种情况，都有σr = rσ，由此得证两个不相交的循环置换的乘积可交换。
例2：证明，一个k-循环置换的阶为k。
证：设σ = (i1i2...ik)是Sn上的一个k-循环，因为：
σ(i1) = i2，σ(i2) = σ(σ(i1)) = σ(i1)^2 = i3，σ(i3) = σ(σ(i2)) = σ(i1)^3 = i4，......，σ(i1)^(k-1) = ik，σ(i1)^k = σ(ik) = i1，
因此σ(i1)^k = i1，但σ(i1)^l ≠ i1(0＜l＜k)，
类似地，对于任意j∈{2,3,k-1,k}，都有σ(ij)^k = ij，且σ(ij)^l ≠ ij(l＜k)，
由此得σ^k = (1)，也就是|σ| = k。
例3：证明，Sn中每一个元都可写为(12),(13),......,(1n)中若干个的乘积。
证：设σ是Sn中任一k-循环，
（1）若1在σ中出现，则：
σ = (1 i1 i2 ...... ik-1) = (1 ik-1)(1 ik-2)......(1 i1)；
（2）若1没在σ中出现，则：
σ = (i1 i2 ...... ik) = (1 i1)(1 i1 i2 ...... ik) = (1 i1)(1 ik)(1 ik-1)......(1 i1)
综上，Sn中每一个元都可写为(12),(13),......,(1n)中若干个的乘积，命题得证。
（待续......）