day38-39| 509. 斐波那契数 70. 爬楼梯 746. 使用最小花费爬楼梯 62.不同路径 343. 整数拆分 96.不同的二叉搜索树

文章目录

前言
动态规划理论基础
[509. 斐波那契数](#509. 斐波那契数)
- 思路
- [方法一完整动态规划](#方法一完整动态规划)
- [方法二 dp简化版](#方法二 dp简化版)
- [方法三使用递归](#方法三使用递归)
[70. 爬楼梯](#70. 爬楼梯)
- 思路
- [方法一动态规划](#方法一动态规划)
- [方法一2 教程里面的简化方法](#方法一2 教程里面的简化方法)
- [方法二拓展](#方法二拓展)
[746. 使用最小花费爬楼梯](#746. 使用最小花费爬楼梯)
- 思路
- 方法一
- [方法二拓展](#方法二拓展)
62.不同路径
- [思路动态规划](#思路动态规划)
- 方法一
- [方法二递归](#方法二递归)
[63. 不同路径 II](#63. 不同路径 II)
- 思路
- [方法一动态规划](#方法一动态规划)
- [方法一2 优化教程](#方法一2 优化教程)
[343. 整数拆分](#343. 整数拆分)
96.不同的二叉搜索树
总结

前言

70题拓展和最后两道题没做

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的 ，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的
动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

此外，需要学会打印中间过程，知道是哪里有问题了；

509. 斐波那契数

本题中for的range应该到n+1，n不是下标，因为f也是从0开始的；

思路

这个是动规的入门题目，因为初始化和递推公式都给出了已经
动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
确定递推公式：dp[i] = dp[i-2]+dp[i-1]
dp数组如何初始化：题目中把如何初始化也直接给我们了，dp[0] = 0; dp[1] = 1;
确定遍历顺序：dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

方法一完整动态规划

本题中for的range应该到n+1，n不是下标，因为f也是从0开始的；

下面是自己写的，有点乱七八糟。

python 复制代码

class Solution(object):
    def fib(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 0: return 0
        if n == 1: return 1
        dp = [0] * n
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n):
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]
            # sum_re += dp[i]
        print(dp)
        return dp[-1]+dp[-2]

方法二 dp简化版

因为只需要返回fn，所以不需要维护整个list，只需要维护dp[i-2]和dp[i-1]即可；

python 复制代码

class Solution(object):
    def fib(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<=1: return n 
        dp = [0, 1]
        for i in range(2,n+1):
            sum_ = dp[0] + dp[1]
            dp[0] = dp[1]
            dp[1] = sum_
        
        return dp[1]

方法三使用递归

python 复制代码

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

70. 爬楼梯

由于题目中说了是正整数，所以初始化可以从1开始，不用去想dp[0] 是1还是0

思路

🎈总体思路：（这个我没有想到）

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯和到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
这个题目里面的动态规划其实是n情况不同的时候之间的关系，n-1的情况再迈一步和n-2的情况再迈2步都可以到n；
动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
确定递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
dp数组如何初始化：题目说了n>=1，所以从1开始初始化
确定遍历顺序：从前往后
举例推导dp数组

方法一动态规划

我自己写的如下，但是主要学习教程里面的

python 复制代码

class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [0]*n
        if n <=2: return n 
        dp[0],dp[1] = 1, 2
        for i in range(2,n):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[-1]

方法一2 教程里面的简化方法

不像我用index0当作n==1的时候的种类数，教程里面是一共长n+1，index为0的就让它为0，无视它
简化版本可以只使用3个变量

python 复制代码

class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n <= 2:
            return n
        dp = [0]*(n+1)
        dp[0], dp[1], dp[2] = 0, 1, 2
        for i in range(3, n+1):
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]
        return dp[n]

方法二拓展

link

如果一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，直到 m个台阶，有多少种方法爬到n阶楼顶。

python 复制代码

#只维护三个变量
class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<=2: return n
        pre1, pre2 = 1, 2
        for i in range(3,n+1):
            sum_ = pre1 + pre2
            pre1 = pre2
            pre2 = sum_
        return sum_ 
        
class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<=2: return n
        dp = [1, 2]
        for i in range(3,n+1):
            sum_ = dp[0] + dp[1]
            dp[0] = dp[1]
            dp[1] = sum_
        return sum_

746. 使用最小花费爬楼梯

本题中的花费其实理解成体力

题意很清晰，也就是在0或者1台阶的时候都没有花费，只有往上跳了才会花费；例如直接从1开始，那么1是不花费的，但是如果从0开始要往上跳到1，就是花费了10；
最后是要跳上len(cost)的，也就是index为len(cost)，那么总长度就一定是len(cost)+1

思路

动态规划五部曲 ：
总体思路：dp[i]表示到第i个台阶的最小花费，那么dp[i]就由dp[i-1]跳一步或者dp[i-2]跳两步得到，那么就可以得到递推公式了

💕确定dp数组（dp table）以及下标的含义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
✨确定递推公式：可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

dp数组如何初始化：本题初始化方便了一些，到达第 0 个台阶是不花费的，但从第0 个台阶往上跳的话，需要花费 cost[0]。所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0 ;
确定遍历顺序：从前往后
举例推导dp数组

方法一

自己写的易错点：注意必须要将dp的长度设置为len(cost)+1, 因为其实是到len(cost)的下标

python 复制代码

class Solution(object):
    def minCostClimbingStairs(self, cost):
        """
        :type cost: List[int]
        :rtype: int
        """
        dp = [0] * (len(cost)+1)
        # dp[0], dp[1] = 0, 0
        for i in range(2,len(cost)+1):
            dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
        return dp[-1]
  #简化版本
 class Solution(object):
    def minCostClimbingStairs(self, cost):
        """
        :type cost: List[int]
        :rtype: int
        """
        pre0, pre1 = 0, 0 

        for i in range(2,len(cost)+1):
            dpi = min(pre0+cost[i-2],pre1+cost[i-1])
            pre0 = pre1
            pre1 = dpi
        return dpi

方法二拓展

python 复制代码

62.不同路径

图论的深度优先或者广度优先搜索是不行的，会超时，本题优先使用动态规划

思路动态规划

总体思路：本题我自己想出了和教程一样的思路，也就是第i，j位置的路径数等于它左边格子和上边格子路径数之和
动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
确定递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
dp数组如何初始化🎈 ：最上面一行和最左边一行的一定是1【本题唯一需要注意的地方】
确定遍历顺序：因为是由左边或者上边的路径数推导出来的，所以从左往后，从上到下
举例推导dp数组

方法一

自己写的注意点

✨定义二维数组的方法：dp = [[0] * n for _ in range(m)]
注意区分行和列：m是行数，也是dp[i][j]中的i，n是j

此外，还可以减少空间复杂度：使用滚动一维数组，即，一行一行走dp[i]（当前要求的路径数）=dp[i-1]（左边的路径数）+dp[i]（上边的路径数）

python 复制代码

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        dp[0] = [1] * n
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        print(dp)
        for j in range(1, n):
            for i in range(1, m):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return(dp[-1][-1])
 # 使用滚动数组
 class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 创建一个一维列表用于存储每列的唯一路径数
        dp = [1] * n
        
        # 计算每个单元格的唯一路径数
        for j in range(1, m):
            for i in range(1, n):
                dp[i] += dp[i - 1]
        
        # 返回右下角单元格的唯一路径数
        return dp[n - 1]

方法二递归

会超时==

注意截止条件为m1 or n1，表示第一行或者第一列

python 复制代码

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if m == 1 or n == 1:
            return 1
        return self.uniquePaths(m-1, n) + self.uniquePaths(m, n-1)

63. 不同路径 II

思路

关键思路：本题与上一条差不多，主要区别在于初始化😢🎶❤️ （我一开始思考的时候没有算进来这个），如果障碍物在第一行或者第一列，那么障碍物后面的一定为0
动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：同上一题
确定递推公式：只有当obs里面显示不为1的时候【没有障碍物】，才需要进行递推
dp数组如何初始化 ：因为从*(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1*，dp[0][j]也同理。但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
确定遍历顺序：同上
举例推导dp数组

方法一动态规划

自己写的

python 复制代码

class Solution(object):
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        """
        :type obstacleGrid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        m, n = len(obstacleGrid),len(obstacleGrid[0])#mxn
        dp = [[0]*n for _ in range(m)]#用于记录到ij位置的路径数
        #初始化
        for i in range(m):
            if obstacleGrid[i][0] == 1:
                break
            dp[i][0] = 1
        for j in range(n):
            if obstacleGrid[0][j] == 1:
                break
            dp[0][j] = 1
        print(dp)
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                if obstacleGrid[i][j] != 1:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

方法一2 优化教程

教程里面初始化的方法是，后面一个跟前面一个一样，起点为1，后面不出意外都是跟着为1，出了意外就是以它为起始点都是0；
进一步优化：使用一维数组，和上面一题的优化方法一样，一行一行的做dp[i]（当前要求的路径数）=dp[i-1]（左边的路径数）+dp[i]（上边的路径数）
- 下面这一段代码是教程写的很优秀（版本三）：先dp初始化第一行；第二行列的index从0开始，当前位置没有障碍，就开始递推且注意index=0的时候，不递推（注意if的判断）

python 复制代码

 # 初始化第一行的路径数
 for j in range(len(dp)):
     if obstacleGrid[0][j] == 1:
         dp[j] = 0
     elif j == 0:
         dp[j] = 1
     else:
         dp[j] = dp[j - 1]

 # 计算其他行的路径数
 for i in range(1, len(obstacleGrid)):
     for j in range(len(dp)):
         if obstacleGrid[i][j] == 1:
             dp[j] = 0
         elif j != 0:
             dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]

day38-39| 509. 斐波那契数 70. 爬楼梯 746. 使用最小花费爬楼梯 62.不同路径 343. 整数拆分 96.不同的二叉搜索树

文章目录

前言

动态规划理论基础

509. 斐波那契数

思路

方法一 完整动态规划

方法二 dp简化版

方法三 使用递归

70. 爬楼梯

思路

方法一 动态规划

方法一2 教程里面的简化方法

方法二 拓展

746. 使用最小花费爬楼梯

思路

方法一

方法二 拓展

62.不同路径

思路 动态规划

方法一

方法二 递归

63. 不同路径 II

思路

方法一 动态规划

方法一2 优化教程

343. 整数拆分

96.不同的二叉搜索树

总结

方法一完整动态规划

方法三使用递归

方法一动态规划

方法二拓展

方法二拓展

思路动态规划

方法二递归

方法一动态规划