有一个圆锥 C C C，以及一个不过圆锥顶点的平面 Q Q Q。用解析几何证明：当平面平行于圆锥的轴时，交线是双曲线；当平面平行于圆锥的母线时，交线是抛物线；其它情况下，交线为椭圆（包括圆）。
解：在空间中建立右手直角坐标系 O − x y z O-xyz O−xyz. 取直线 γ : x 0 = y α = z 1 \gamma: \frac{x}{0}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z}{1} γ:0x=αy=1z作为母线，直线 ℓ : x 0 = y m = z 1 \ell: \frac{x}{0}=\frac{y}{m}=\frac{z}{1} ℓ:0x=my=1z作为轴。轴的方向向量是 ( 0 , m , 1 ) (0, m, 1) (0,m,1)
任取圆锥上的一个点 P ( x , y , z ) P(x, y, z) P(x,y,z), 假设它是由母线上一个点 P ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) P'(x', y', z') P′(x′,y′,z′)旋转而来。那么 P ′ P → ⊥ ( 0 , m , 1 ) \overrightarrow{P'P} \perp (0, m, 1) P′P ⊥(0,m,1). 而点 P , P ′ P, P' P,P′到轴上任意一点的距离相等。特别，原点在轴上，所以 ∣ P O → ∣ = ∣ P ′ O → ∣ |\overrightarrow{PO} |=|\overrightarrow{P'O} | ∣PO ∣=∣P′O ∣. 由此得到方程组 { m ( y − α z ′ ) + ( z − z ′ ) = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = α 2 z ′ 2 + z ′ 2 . \begin{cases} m(y-\alpha z')+(z-z') &=0, \\ x^2+y^2+z^2 &= \alpha^2 z'^2 +z'^2.\end{cases} {m(y−αz′)+(z−z′)x2+y2+z2=0,=α2z′2+z′2. 消去 z ′ z' z′，得到
x 2 + y 2 + z 2 = α 2 + 1 ( m α + 1 ) 2 ( m y + z ) 2 . x^2+y^2+z^2=\frac{\alpha^2+1}{(m\alpha+1)^2}(my+z)^2. x2+y2+z2=(mα+1)2α2+1(my+z)2.
再把 C C C的顶点平移到 ( 0 , b , 0 ) (0, b, 0) (0,b,0), 其中 b ≠ 0 b \neq 0 b=0为常数。则 C C C的方程变为
x 2 + ( y − b ) 2 + z 2 = α 2 + 1 ( m α + 1 ) 2 ( m y − m b + z ) 2 . x^2+(y-b)^2+z^2=\frac{\alpha^2+1}{(m\alpha+1)^2}(my-mb+z)^2. x2+(y−b)2+z2=(mα+1)2α2+1(my−mb+z)2.
取 Q Q Q为 x z xz xz-平面（平面方程为 y = 0 y=0 y=0). Q Q Q与 C C C相交得到曲线 K : { x 2 + b 2 + z 2 = α 2 + 1 ( m α + 1 ) 2 ( z − m b ) 2 , y = 0. K: \begin{cases} x^2+b^2+z^2 &=\frac{\alpha^2+1}{(m\alpha+1)^2}(z-mb)^2, \\ y &=0. \end{cases} K:{x2+b2+z2y=(mα+1)2α2+1(z−mb)2,=0.
如果 Q Q Q平行于轴直线 ℓ \ell ℓ, 则 m = 0 m=0 m=0, 此时 K K K是 x z xz xz-平面上的双曲线 x 2 + b 2 = α 2 z 2 x^2+b^2=\alpha^2 z^2 x2+b2=α2z2. 注意，如果 b = 0 b=0 b=0，即 Q Q Q包含 C C C的轴，那么交线是 x = ± α z x=\pm \alpha z x=±αz, 是两条相交直线。它们恰好是双曲线 x 2 + b 2 = α 2 z 2 x^2+b^2=\alpha^2 z^2 x2+b2=α2z2的两条渐近线。
如果 Q Q Q平行于母线 γ \gamma γ, 则 α = 0 \alpha=0 α=0, 此时 K K K是 x z xz xz-平面上的抛物线 x 2 + 2 m b z = ( m 2 − 1 ) b 2 x^2+2mbz=(m^2-1)b^2 x2+2mbz=(m2−1)b2. 特别，当 m = ± 1 m=\pm 1 m=±1时，抛物线过原点. (注意此时圆锥的顶点不在原点）
其它情况下， Q Q Q与 γ , ℓ \gamma, \ell γ,ℓ都不平行，即 α m ≠ 0 \alpha m \neq 0 αm=0. 此时 K K K为 x z xz xz-平面上的椭圆。特别，当平面 Q Q Q与轴垂直时，交线是圆。但由于此处取定 Q Q Q为平面 y = 0 y=0 y=0，不可能与轴 ℓ \ell ℓ垂直，即 α 2 + 1 ≠ 0 \alpha^2+1 \neq 0 α2+1=0.