假设你正在经营一家水果摊，每天记录着卖出的各种水果的数量。前缀和和差分就像是管理这些数据的两个超级助手。
前缀和
前缀和就像是一个记账本，帮助你快速查看到目前为止卖出了多少水果。比如，如果第一天卖了3个苹果，第二天卖了5个，那么前两天总共卖出的苹果数就是一个前缀和，简单计算就是3+5=8。这样，任何时候你想知道截止到某天一共卖了多少水果，只要翻开这个记账本的那一页，一眼就能看到答案，非常快捷。
举个栗子
假设你经营一家小超市，每天记录销售的冰淇淋数量，以此来理解前缀和的概念。
在一周内，你的超市每天卖出的冰淇淋数量如下：
- 星期一：5根
- 星期二：3根
- 星期三：7根
- 星期四：2根
- 星期五：6根
要计算每天结束时从周一到当天为止总共卖出的冰淇淋数量，我们就需要用到前缀和的概念。
- 星期一结束时，总共卖出5根，所以前缀和数组的第一个元素是5。
- 星期二结束时，累计卖出5（周一）+ 3（周二）= 8根，前缀和数组的第二个元素是8。
- 星期三结束时，累计卖出5（周一）+ 3（周二）+ 7（周三）= 15根，前缀和数组的第三个元素是15。
- 星期四结束时，累计卖出5（周一）+ 3（周二）+ 7（周三）+ 2（周四）= 17根，前缀和数组的第四个元素是17。
- 星期五结束时，累计卖出5（周一）+ 3（周二）+ 7（周三）+ 2（周四）+ 6（周五）= 23根，前缀和数组的第五个元素是23。
因此，前缀和数组就是：[ [5, 8, 15, 17, 23] ]
有了这个前缀和数组，如果想知道比如从星期一到星期三总共卖出了多少冰淇淋，直接看前缀和数组的第三个元素即可，即15根，无需重新计算。这就是前缀和在实际问题中应用的一个直观例子，它极大地简化了区间求和的操作。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define endl '\n'
int n;
int a[100];
int sum[100];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];//前缀和 当前的和为前一个和加上当前的数
}
return 0;
}差分
差分则是这个故事中的变形金刚，它能让你轻松调整计划或者回顾某段时间内的变化。比如，原本你预计第三天也会卖出和第二天一样多的苹果，也就是5个，但实际只卖了2个。这时候，差分就大显身手了，它告诉你相比预期，实际上少了多少，也就是5-2=3。通过记录每天与前一天相比多卖或少卖了多少水果，差分让你能够灵活应对库存和预测的调整，而且如果想知道某几天内的总变化，只需把这些差值加起来就可以了。
举个栗子
继续以经营小超市为例，这次我们关注的不是每天卖出的冰淇淋总数，而是每天与前一天相比冰淇淋销量的变化情况。这正是差分的应用场景。
假设这一周内每天冰淇淋销量的变化如下：
- 星期一到星期二：销量减少了2根（因为星期二比星期一少卖了2根）
- 星期二到星期三：销量增加了4根（星期三比星期二多卖了4根）
- 星期三到星期四：销量减少了5根（星期四比星期三少卖了5根）
- 星期四到星期五：销量增加了4根（星期五比星期四多卖了4根）
根据这些信息，我们可以构建出销量变化的差分序列：
- 从星期一到星期二的差分是 -2（表示减少）
- 从星期二到星期三的差分是 +4（表示增加）
- 从星期三到星期四的差分是 -5（表示减少）
- 从星期四到星期五的差分是 +4（表示增加）
因此，差分序列就是：[ [-2, +4, -5, +4] ]
差分的好处在于，如果你想知道任何连续几天内总的变化量，可以直接将这些天的差分数相加。比如，想知道从星期一到星期五总的销量变化趋势，就将上述差分数相加：-2 + 4 - 5 + 4 = 1。这意味着从星期一到星期五，总体上冰淇淋的销量比星期一多了1根。
差分技术不仅简洁地记录了个别日子间的变化，还便于快速计算特定时段的累计变化效果，非常适合处理动态规划、区间更新查询等问题。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define endl '\n'
int n;
int a[100];
int sum[100];
int diff[100];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];//前缀和 当前的和为前一个和加上当前的数
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
diff[i]=a[i]-a[i-1];//差分 每个为差值
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cout<<sum[i]<<" "<<diff[i]<<endl;
}
return 0;
}练习题
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百看不如一练，只有实践才是进步最快的方式，更要独立思考，如果想不出来了就看题解，会有眼前一亮的感觉。好啦，今天就到这里吧。下一期再见，记得给专栏点个关注，明天接着来哦~