博弈论(Nim 游戏)

公平组合游戏ICG

若---个游戏满足:

  1. 由两名玩家交替行动;
  2. 在游戏进程的任意时刻,可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关;
  3. 不能行动的玩家判负;
    则称该游戏为一个公平组合游戏。
    NIM博弈属于公平组合游戏,但城建的棋类游戏,比如围棋,就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子,胜负判定也比较复杂,不满足条件 2 2 2 和条件 3 3 3。

可以看出,公平组合游戏不存在平局,而且一定可以结束。

Nim游戏

问题:给定 n n n 堆石子,两位玩家轮流操作,每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子(可以拿完,但不能不拿),最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

结论:如果所有石子数的异或和不等于 0 0 0,则先手必胜,反之先手必败。

正确性证明:

设第 i i i 堆石子的个数为 a i a_i ai 个, ⊕ \oplus ⊕ 为异或符号

  • 如果每堆石子数都为 0 0 0,那么一定是先手必败,此时异或和为 0 0 0。
  • 如果异或和 x x x 不是 0 0 0。设 x x x 在二进制下最高位 1 1 1 为 k k k,那么一定有一个 a i a_i ai 的二进制下第 k k k 位为 1 1 1,那么一定有 0 ≤ a i ⊕ x < a i 0 \le a_i \oplus x < a_i 0≤ai⊕x<ai,那么我们可以从第 a i a_i ai 堆拿走 a i − a i ⊕ x a_i - a_i \oplus x ai−ai⊕x 个石子,那么 a i a_i ai 就变成了 a i − ( a i − a i ⊕ x ) = a i ⊕ x a_i - (a_i - a_i \oplus x) = a_i \oplus x ai−(ai−ai⊕x)=ai⊕x,对于整体的异或和,就相当于又异或了一个 x x x, x ⊕ x = 0 x \oplus x = 0 x⊕x=0,所以我们一定可以一步吧当前 x ≠ 0 x \not= 0 x=0 变为 x = 0 x = 0 x=0,使得对手每次面对的都是 x = 0 x = 0 x=0。
  • 如果 x x x 是 0 0 0。我们拿完石子后一定不能让 x x x 依旧为 0 0 0。反证法:设我们拿完石子后可以让 x x x 为 0 0 0,那么我们从第 a i a_i ai 堆拿 k k k 颗石子,那么新异或和 y y y 就等于 x ⊕ a i ⊕ ( a i − k ) = 0 x \oplus a_i \oplus (a_i - k) = 0 x⊕ai⊕(ai−k)=0,因为 x = 0 x = 0 x=0,所以 y = a i ⊕ ( a i − k ) = 0 y = a_i \oplus (a_i - k) = 0 y=ai⊕(ai−k)=0,所以 a i = a i − k a_i = a_i - k ai=ai−k,所以 k = 0 k = 0 k=0。而 k > 0 k > 0 k>0,所以假设失败,也就是证明了我们拿完石子后不可能让 x x x 依旧为 0 0 0。

总结一下,主要有三条关系:

  • 如果 a i a_i ai 都等于 0 0 0,那么一定先手必败。
  • 我们一定可以一步吧当前 x ≠ 0 x \not= 0 x=0 变为 x = 0 x = 0 x=0。
  • 我们拿完石子后不可能让 x x x 依旧为 0 0 0。
    也就是说我们一定可以让,对手面对的每次都是 x = 0 x = 0 x=0。但他无法改变,到我时 x ≠ 0 x \not = 0 x=0。又因为石子总数是不断减少的,所以他一定会先面临到 a i a_i ai 都等于 0 0 0 的状态,此时无法移动,也就盘他为失败,对于我就是胜利。说明结论成立。

在这里就可以看出,先手必胜态为 x ≠ 0 x \not = 0 x=0;先手必败态为 x = 0 x = 0 x=0。

值得注意的是,这个结论表述不是唯一的,但是和别的结论表述是等价的。

例题

891. Nim游戏 - AcWing题库

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, m;

int main()
{
    cin >> n;
    
    while (n -- )
    {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        m ^= a;
    }
    if (m == 0) cout << "No";
    else cout << "Yes";
    
    return 0;
}

变化不大
892. 台阶-Nim游戏 - AcWing题库

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int n, m;

int main()
{
    cin >> n;
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        if (i & 1) res ^= a;
    }
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
    
}

P1247 取火柴游戏 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

绿色的水题,看懂上面的 Nim 游戏就能做出来。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 500010;

int n, m;
int g[N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        scanf("%d", &g[i]);
        res ^= g[i];
    }
    
    if (res)
    {
        int k = 0;
        for (int i = 31; i >= 0; i -- )
        {
            if (res >> i & 1) 
            {
                k = i;
                break;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
            if (g[i] >> k & 1) 
            {
                cout << g[i] - (g[i] ^ res) << ' ' << i << endl;
                g[i] = g[i] ^ res;
                break;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cout << g[i] << ' ';
        
    }
    else puts("lose");
    
    return 0;
}

P1288 取数游戏 II - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

这题就是简单的不知道怎么做,和博弈有关系,但完全没必要。越想多越复杂

反 Nim 游戏

玩法和 Nim 游戏一样,只不过胜利标准变成了,不可移动为胜利。

结论:先手必胜条件为(下面为先手必胜的两种方式):

  1. 所有 a i = 1 a_i = 1 ai=1,且 a i a_i ai 的数量为偶数,则先手必胜。
  2. 当至少有一个 a i > 1 a_i > 1 ai>1 ,且所有 a i a_i ai 的异或和 x x x 为不等于 0 0 0,即 x ≠ 0 x \not= 0 x=0。

证明:

对于结论 1 1 1,显而易见,略过。

对于结论 2 2 2:

(1)当 a i > 1 a_i > 1 ai>1 只有 1 1 1 个时。因为先手可以操控这堆为 1 1 1 还是为 0 0 0,即可以操控 a i = 1 a_i = 1 ai=1 的数量为奇数还是偶数,因此这是必胜态,且此时 x ≠ 0 x \not= 0 x=0(易得)。

(2)当 a i > 1 a_i > 1 ai>1 至少有两个时。这也有两种状态。

  1. 当 x = 0 x = 0 x=0 时。此时根据 Nim 游戏可知,操作一次后 x x x 必定不等于 0 0 0,即变成下面的 2. ;或者操作一次后 a i > 0 a_i > 0 ai>0 仅剩一个,即回 ( 1 ) (1) (1),即给对方为必胜态。
  2. 当 x ≠ 0 x \not= 0 x=0 时,根据 Nim 游戏可知,此时一定可以 让 x = 0 x = 0 x=0,且 a i > 1 a_i > 1 ai>1 个数一定大于 2 2 2(如果只有一个 a i > 1 a_i > 1 ai>1,那么就和 ( 1 ) (1) (1) 中 x ≠ 0 x \not= 0 x=0 相悖)。即回到 1.。

可以看出 ( 2 ) . 1 (2).1 (2).1 一定是必败态(因为它只能给对方必胜态,或者 ( 2 ) . 2 (2).2 (2).2,而 ( 2 ) . 2 (2).2 (2).2 一定可以回到 ( 2 ) . 1 (2).1 (2).1,即不断循环,直到给对方必胜态),而 ( 2 ) . 2 (2).2 (2).2 就是必胜态。

把 ( 2 ) (2) (2) 和 ( 1 ) (1) (1) 结合起来就得到,结论 2 2 2。证毕

SG函数

基本定义

Mex运算

设 S S S 表示一个非负整数集合。定义 mex ⁡ ( S ) \operatorname {mex}(S) mex(S) 为求出不属于集合 S S S 的最小非负整数的运算,即:
mex ⁡ ( S ) = min ⁡ x \operatorname {mex}(S) = \min{x} mex(S)=minx, x x x属于自然数,且 x x x 不属于 S S S。

有向图游戏

给定一个有向无环图,图中有一个唯一的起点,在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动,每次可以移动一步,无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是,把每个局面看成图中的一个节点,并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

SG函数

在有向图游戏中,对于每个节点 x x x,设从 x x x 出发共有 k k k 条有向边,分别到达节点 y 1 , y 2 ... y k y_1,y_2 \dots y_k y1,y2...yk,定义 SG ⁡ ( x ) \operatorname {SG}(x) SG(x) 为 k k k 的后继节点 y 1 , y 2 ... y k y_1,y_2 \dots y_k y1,y2...yk 的SG函数值构成的集合再执行 mex ⁡ ( S ) \operatorname {mex}(S) mex(S) 运算的结果,即:
SG ⁡ ( x ) = mex ⁡ [ SG ⁡ ( y 1 ) , SG ⁡ ( y 2 ) ... SG ⁡ ( y k ) ] \operatorname {SG}(x) = \operatorname {mex}[\operatorname {SG}(y_1), \operatorname {SG}(y_2) \dots \operatorname {SG}(y_k)] SG(x)=mex[SG(y1),SG(y2)...SG(yk)]

特别地,整个有向图游戏 G 的 SG 函数值被定义为有向图游戏起点 s s s 的 SG 函数值,即 SG ⁡ ( G ) = SG ⁡ ( s ) \operatorname {SG}(G) = \operatorname {SG}(s) SG(G)=SG(s)。

使用方法

一般的博弈论问题都可以转化为 SG 函数求解。

以上为基本定义,现在来说说是干什么的。

一般 SG 函数形式为: SG ⁡ ( 状态 ) \operatorname {SG}(状态) SG(状态)。

首先终止状态的 SG 值为 0,即: SG ⁡ ( 终点状态 ) = 0 \operatorname {SG}(终点状态) = 0 SG(终点状态)=0。按照 SG 函数的运算,可得如图(红色为当前节点的 SG 值):

![[博弈论1.png|269]]

如图可知,每个 SG 值不为 0 0 0 的点,一定可以到一个 SG 值为 0 0 0 的点;同理每个 SG 值为 0 0 0 的点只能到一个 SG 值不为 0 0 0 的点或者无法移动。这就和上面的 Nim 游戏有点像,如果先手(SG 值)不为 0,那么我可以让后手的每一次都为 0,反之同理。可以知道,SG 函数不为 0 那么先手必胜,反之先手必败。

因此对于两个绝顶聪明的人,这类游戏在开始就决定了胜负。

上面是一个图的情况。如果这个图有很多个会怎么样?即一个游戏,既可以在一个图上移动,也可以在其他图上移动。那么一个状态,有很多 SG 值,这时候就把每个图起始的 SG 函数都异或起来,变成一个异或和 x x x 即可,如果 x = 0 x = 0 x=0,则先手必败,反之先手必胜。这个证明和 Nim 游戏的证明思路是一模一样的,这里不赘述。

注意有的题目需要计算 SG 函数,但是有的题可以不用,如最上面两个 Nim 游戏,直接运用结论就很快,当然也可以算 SG 函数,Nim游戏比较特殊,每堆石子数恰好就是它的 SG 函数值。

例题

893. 集合-Nim游戏 - AcWing题库

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n, m;
int g[N], f[N];
int sum;

int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x];
    
    unordered_set<int> s;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (x - g[i] >= 0) 
            s.insert(sg(x - g[i]));
            
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!s.count(i)) return f[x] = i; 
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> g[i];
    cin >> m;
    
    memset(f, -1, sizeof f);
    while (m -- )
    {
        int s;
        cin >> s;
        sum ^= sg(s);
    }
    
    if (sum) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

894. 拆分-Nim游戏 - AcWing题库

这个也简单,但是涉及了 SG 函数的本质。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x];
    
    unordered_set<int> s;
    for (int i = 0; i < x; i ++ )
    {
        int a = sg(i);
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        {
            int b = sg(j);
            s.insert(a ^ b);
        }
    }
    
    for (int i = 0; ; i ++ )
    {
        if (s.count(i) == 0) return f[x] = i;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    memset(f, -1, sizeof f);
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a;
        cin >> a;
        res ^= sg(a);
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

拓展

博弈论的核心:保持自己在可胜态,且让对手无法改变其可败态或者改变我的可胜态。

可胜态,不是必胜态,但只要一直保持自己是可胜态,最后就必胜。同理,可败态不是必败态,但只要能让他一种在可败态,那么就是必败。

阻止对方所有能让我变成非可胜态的举动。(必胜态主导必败态,也就是说除非必胜放水,必败态无法转移到必胜态)。

另一种解释:如果一个状态可以到达一个必败态,那么它就是必胜态;如果一个状态不能到达一个必败态,他就是必败态。

例题

以下的题较难。
1321. 取石子 - AcWing题库

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