图论解法：哈密顿通路问题 Leetcode 2741. 特别的排列

描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 n 个互不相同的正整数。如果 nums 的一个排列满足以下条件，我们称它是一个特别的排列：

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对于 0 <= i < n - 1 的下标 i ，要么 nums[i] % nums[i+1] == 0 ，要么 nums[i+1] % nums[i] == 0 。

请你返回特别排列的总数目，由于答案可能很大，请将它对 10^9 + 7 取余后返回。

示例 1：

输入：nums = $2,3,6$

输出：2

解释： $3,6,2$ 和 $2,6,3$ 是 nums 两个特别的排列。

示例 2：

输入：nums = $1,4,3$

输出：2

解释： $3,1,4$ 和 $4,1,3$ 是 nums 两个特别的排列。

提示：

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2 <= nums.length <= 14
1 <= nums[i] <= 10^9

思路

可以用图中的边表示两个数（结点）能满足题目描述的排列关系。因此问题转化为求出无向图中不重复经过所有节点的路径。

这个问题其实就是哈密顿通路问题。

一开始本人建图后，用dfs搜，超时了。然后改成了记忆化搜索。

进一步可改进地，可以用一个mask来表示搜索的状态（表示visited_map）（题目的2 <= nums.length <= 14其实就有暗示，结点数量有限）

代码

本人写的记忆化搜索

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class Solution:
    def specialPerm(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        self.adj_map = {}
        for i,num1 in enumerate(nums):
            for j in range(i+1,n):
                num2 = nums[j]
                if(num1 % num2 != 0 and num2 % num1 != 0): continue
                if(num1 not in self.adj_map): self.adj_map[num1] = set()
                if(num2 not in self.adj_map): self.adj_map[num2] = set()
                self.adj_map[num1].add(num2)
                self.adj_map[num2].add(num1)
        
        if(len(self.adj_map) != n): return 0
        head_nodes = []

        self.remain_nodes_set = set(nums)
        ret = 0
        self.memory_map = {}
        for node in nums:
            ret += self.dfs(node)
        return ret % 1000000007
    
    def dfs(self,head_node):
        status = (head_node,tuple(sorted(list(self.remain_nodes_set))))
        if(status in self.memory_map):
            return self.memory_map[status]
        if(len(self.remain_nodes_set) == 1):
            self.memory_map[status] = 1
            return 1
        ret = 0
        self.remain_nodes_set.remove(head_node)
        for n in self.adj_map[head_node]:
            if(n not in self.remain_nodes_set): continue
            ret += self.dfs(n)
        self.remain_nodes_set.add(head_node)
        self.memory_map[status] = ret
        return ret

这里给出评论区一位大佬写的，也是图的思路

python 复制代码

class Solution:
    def specialPerm(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        es = [[] for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            for j in range(i+1,n):
                if nums[i]%nums[j]==0 or nums[j]%nums[i]==0:
                    es[i].append(j)
                    es[j].append(i)
        @cache
        def dfs(state, last):
            return sum([dfs(1<<last^state,pre) for pre in es[last] if 1<<pre&state]) if 1<<last^state else 1
        return sum(dfs((1<<n)-1,i) for i in range(n))%int(1e9+7)