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前言
MATLAB作为数学软件计算软件,对于数学运算的性能十分优越,本文作为MATLAB记录关于在MATLAB中关于矩阵的知识。如有错误,还望指正。
概念
在数学上矩阵的定义:由m*n个a~ij~(i=1,2...... ,m;j=1,2......,n)排成的m行n列的数据表。
A = [ a 11 a 12 ⋯ ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ ⋯ a m n ] A=\begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots \cdots a_{2n} \\ \vdots \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ \ddots\ \ \ \ \ \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots \cdots a_{mn} \\ \end{bmatrix} A= a11a12⋯⋯a1na21a22⋯⋯a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1am2⋯⋯amn
只有一行的矩阵称为行向量,只有一列的矩阵称为列向量。
矩阵最初来自方程组的系数与常数构成的方阵。在MATLAB中矩阵以数组的形式存在。一维常数数组等同于向量,二维常数数组等同于矩阵。
注:数组按元素属性分为数值数组、字符数组、结构体数组、元胞数组。矩阵的表示相当于数值数组。是数组大概念的子集。
矩阵 ∈ 数组 矩阵 \in 数组 矩阵∈数组
矩阵构造
MATLAB中矩阵构造可以直接赋值,也提供了特殊矩阵的构造函数。
在此记录特殊函数集合
函数名称 | 函数功能 |
---|---|
ones(n) | 构造n*n的1矩阵(矩阵元素全为1) |
ones(m,n,···,p) | 构建m*n···*p的1矩阵 |
ones(size(A)) | 构建与A同样大小的1矩阵(行列相同) |
zeros(n) | 构造n*n的0矩阵(矩阵元素全为0) |
zeros(m,n,···,p) | 构建m*n···*p的0矩阵 |
zeros(size(A)) | 构建与A同样大小的0矩阵(行列相同) |
eye(n) | 构建n*n的单位矩阵 |
eye(m*n) | 构建m*n的单位矩阵 |
eye(size(A)) | 构建与A同样大小的单位矩阵 |
magic(n) | 构建n*n的每行每列元素和都相等的矩阵 |
rand(n) | 构建n*n的矩阵,其中元素为0~1均匀分布 |
rand(m,n,···,p) | 构建m*n···*p的矩阵,其中元素为0~1均匀分布 |
randn(n) | 构建n*n的矩阵,其中元素为零均值、单位方差正态分布的随机数 |
randn(m,n,···,p) | 构建m*n···*p的矩阵,其中元素为零均值、单位方差正态分布的随机数 |
diag(x) | 构建主对角线元素为x对角矩阵。x=1时即单位矩阵 |
diag(A,y) | 构建由矩阵N的第y条对角线元素组成的列向量 |
diag(x,y) | 构建n+|k|维的矩阵,其中第k条对角线元素取自向量x,其余元素为0 |
triu(A) | 构建和A大小相同的上三角矩阵,主对角线元素为A中对应的元素,其余元素为0 |
triu(A,k) | 构建和A大小相同的上三角矩阵,矩阵的第k条对角线及其以上的元素为A中对应元素,其余为0 |
tril(A) | 构建和A大小相同的下三角矩阵,主对角线元素为A中对应的元素,其余元素为0 |
tril(A,k) | 构建和A大小相同的下三角矩阵,矩阵的第k条对角线及其以下的元素为A中对应元素,其余为0 |
注:
①:单位矩阵:矩阵元素从左上角到右下角元素全部为1,其余元素全部为0;
A = [ 1 0 ⋯ ⋯ 0 0 1 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ⋯ 1 ] A=\begin{bmatrix} 1\ 0\cdots \cdots 0 \\ 0\ 1 \cdots \cdots 0 \\ \vdots\ \ \vdots \ \ \ \ddots\ \ \ \vdots \\ 0\ 0\ \cdots \cdots1\\ \end{bmatrix} A= 1 0⋯⋯00 1⋯⋯0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯⋯1
②:rand(n)可以用来生成pn码
③上三角矩阵:
A = [ 1 1 ⋯ ⋯ 1 0 1 ⋯ ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ⋯ 1 ] A=\begin{bmatrix} 1\ 1\cdots \cdots 1 \\ 0\ 1 \cdots \cdots 1 \\ \vdots\ \ \vdots \ \ \ \ddots\ \ \ \vdots \\ 0\ 0\ \cdots \cdots1\\ \end{bmatrix} A= 1 1⋯⋯10 1⋯⋯1⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯⋯1
④下三角矩阵:
A = [ 1 0 ⋯ ⋯ 0 1 1 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ ⋯ 1 ] A=\begin{bmatrix} 1\ 0\cdots \cdots 0 \\ 1\ 1 \cdots \cdots 0 \\ \vdots\ \ \vdots \ \ \ \ddots\ \ \ \vdots \\ 1\ 1\ \cdots \cdots1\\ \end{bmatrix} A= 1 0⋯⋯01 1⋯⋯0⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 1 ⋯⋯1
⑤矩阵的对角线概念:
主对角线:从矩阵左上角到右下角直线上的元素所在的对角线
次对角线:从矩阵左下角到右上角直线上的元素所在的对角线