模型预测控制：线性MPC

模型预测控制：线性MPC

模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是一种广泛应用于工业过程控制和自动驾驶等领域的先进控制技术。MPC通过在线解决优化问题来计算控制输入，从而实现系统的最优控制。本文将介绍线性MPC的系统模型、优化问题、LMPC算法，以及单输入系统和多输入系统的具体应用。

系统模型（离散时间线性时不变 (LTI) 系统）

在线性MPC中，系统模型通常假设为离散时间线性时不变（LTI）系统。LTI系统的状态空间模型可以表示为：

x k + 1 = A x k + B u k x_{k+1} = Ax_k + Bu_k xk+1=Axk+Buk

其中：

• x k x_k xk是时间步 k k k的系统状态向量
• u k u_k uk是时间步 k k k的控制输入向量
• A A A 是状态转移矩阵
• B B B 是输入矩阵

输出方程通常为：

y k = C x k + D u k y_k = Cx_k + Du_k yk=Cxk+Duk

其中：

• y k y_k yk 是时间步 k k k的输出向量
• C C C 是输出矩阵
• D D D 是直接传输矩阵

优化问题

在MPC中，控制输入是通过解决一个在线优化问题来确定的。优化问题的目标是最小化一个代价函数（通常是一个二次型函数），并满足系统的约束条件。典型的代价函数包括以下两部分：

1. 状态跟踪误差：衡量实际状态与目标状态之间的差距。
2. 控制输入：控制输入的大小，避免过大的控制动作。

代价函数通常可以表示为：

J = ∑ i = 0 N − 1 ( x k + i ∣ k T Q x k + i ∣ k + u k + i ∣ k T R u k + i ∣ k ) + x k + N ∣ k T P x k + N ∣ k J = \sum_{i=0}^{N-1} \left( x_{k+i|k}^T Q x_{k+i|k} + u_{k+i|k}^T R u_{k+i|k} \right) + x_{k+N|k}^T P x_{k+N|k} J=i=0∑N−1(xk+i∣kTQxk+i∣k+uk+i∣kTRuk+i∣k)+xk+N∣kTPxk+N∣k

其中：

• N N N是预测时域长度
• Q Q Q 是状态误差权重矩阵
• R R R 是控制输入权重矩阵
• P P P 是终端状态权重矩阵

优化问题需要满足系统的动态方程和控制输入的约束：

x k + i + 1 ∣ k = A x k + i ∣ k + B u k + i ∣ k ∀ i = 0 , ... , N − 1 x m i n ≤ x k + i ∣ k ≤ x m a x ∀ i = 1 , ... , N u m i n ≤ u k + i ∣ k ≤ u m a x ∀ i = 0 , ... , N − 1 \begin{align*} x_{k+i+1|k} &= A x_{k+i|k} + B u_{k+i|k} \quad \forall i = 0, \ldots, N-1 \\ x_{min} &\leq x_{k+i|k} \leq x_{max} \quad \forall i = 1, \ldots, N \\ u_{min} &\leq u_{k+i|k} \leq u_{max} \quad \forall i = 0, \ldots, N-1 \end{align*} xk+i+1∣kxminumin=Axk+i∣k+Buk+i∣k∀i=0,...,N−1≤xk+i∣k≤xmax∀i=1,...,N≤uk+i∣k≤umax∀i=0,...,N−1

LMPC算法

线性模型预测控制（LMPC）算法的步骤如下：

1. 状态估计 ：获取当前状态 x k x_k xk。
2. 优化求解 ：解决当前时刻的优化问题，得到预测时域内的最优控制输入序列 { u k ∣ k , u k + 1 ∣ k , ... , u k + N − 1 ∣ k } \{u_{k|k}, u_{k+1|k}, \ldots, u_{k+N-1|k}\} {uk∣k,uk+1∣k,...,uk+N−1∣k}。
3. 应用控制 ：应用当前时刻的控制输入 u k = u k ∣ k u_k = u_{k|k} uk=uk∣k。
4. 滚动优化：将预测时域向前推进一个时间步长，重复以上步骤。

单输入系统

对于单输入单输出（SISO）系统，模型和控制输入的表示会更加简单。假设系统状态向量 x k x_k xk为一维向量，控制输入 u k u_k uk也是一维标量。系统模型可以表示为：

x k + 1 = a x k + b u k x_{k+1} = ax_k + bu_k xk+1=axk+buk

输出方程为：

y k = c x k + d u k y_k = cx_k + du_k yk=cxk+duk

优化问题与多输入系统相同，只是矩阵 A A A、 B B B、 C C C、 D D D变成了标量。

多输入系统

对于多输入多输出（MIMO）系统，状态向量 x k x_k xk、控制输入向量 u k u_k uk和输出向量 y k y_k yk均为多维向量。系统模型可以表示为：

x k + 1 = A x k + B u k x_{k+1} = A x_k + B u_k xk+1=Axk+Buk

输出方程为：

y k = C x k + D u k y_k = C x_k + D u_k yk=Cxk+Duk

MIMO系统的优化问题和单输入系统类似，只是需要处理更高维度的矩阵。

代码示例

以下是一个简单的Python代码示例，展示如何实现单输入单输出系统的线性MPC：

import numpy as np
from scipy.linalg import solve_discrete_are
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义系统模型
A = np.array([[1.0]])  # 状态转移矩阵
B = np.array([[1.0]])  # 控制输入矩阵
C = np.array([[1.0]])  # 输出矩阵
D = np.array([[0.0]])  # 直通项矩阵

# 定义MPC参数
Q = np.array([[1.0]])  # 状态权重矩阵
R = np.array([[1.0]])  # 控制权重矩阵
N = 10  # 预测时域长度

# 离散时间代数Riccati方程求解P矩阵
P = solve_discrete_are(A, B, Q, R)

# 计算K矩阵
K = np.linalg.inv(B.T @ P @ B + R) @ (B.T @ P @ A)

# 目标设置
x_target = np.array([[5]])  # 目标状态
u_target = 0  # 目标控制输入

# 初始化状态
x = np.array([[0.0]])  # 初始状态

# 仿真时间
T = 50
x_trajectory = []
u_trajectory = []

for t in range(T):
    # 计算控制输入
    u = -K @ (x - x_target) + u_target
    
    # 应用控制输入并更新状态
    x = A @ x + B @ u
    
    # 记录状态和控制输入
    x_trajectory.append(x.item())
    u_trajectory.append(u.item())

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x_trajectory, label='State x')
plt.axhline(y=x_target.item(), color='r', linestyle='--', label='Target x')
plt.title('State Trajectory')
plt.xlabel('Time step')
plt.ylabel('State')
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(u_trajectory, label='Control Input u')
plt.axhline(y=u_target, color='r', linestyle='--', label='Target u')
plt.title('Control Input Trajectory')
plt.xlabel('Time step')
plt.ylabel('Control Input')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

代码说明：

1. 系统模型定义：

   • A、B、C、D 分别为状态转移矩阵、控制输入矩阵、输出矩阵和直通项矩阵。
   • 对于SISO系统，所有矩阵都是1x1的。

2. MPC参数：

   • Q 和 R 是权重矩阵，用于调整状态和控制输入在优化中的重要性。
   • N 是预测时域的长度，决定了MPC预测未来多少步。

3. 离散时间代数Riccati方程求解：

   • 使用scipy.linalg.solve_discrete_are函数求解P矩阵。
   • 计算反馈增益矩阵K。

4. 目标设置：

   • x_target 是目标状态。
   • u_target 是目标控制输入。

5. 初始化状态：

   • x 是初始状态。

6. 仿真循环：

   • 在每个时间步t，计算控制输入u，更新状态x，并记录状态和控制输入的轨迹。

7. 结果绘制：

   • 使用matplotlib库绘制状态和控制输入的轨迹。

该代码实现了一个简单的MPC控制器，能根据给定的线性系统模型和MPC参数在预测时域内优化控制输入，以使系统状态逼近目标状态。

该代码定义了一个简单的SISO系统，并实现了线性MPC算法，最终绘制了系统状态随时间变化的图。

结论

线性MPC是一种强大的控制技术，能够处理复杂的控制问题，尤其是在存在约束和不确定性的情况下。通过在线解决优化问题，MPC可以实现系统状态的最优控制。本文介绍了线性MPC的基本概念、系统模型、优化问题、算法步骤，以及单输入和多输入系统的具体应用，并提供了一个简单的Python代码示例。