2741. 特别的排列 Medium

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 n 个 互不相同 的正整数。如果 nums 的一个排列满足以下条件，我们称它是一个特别的排列：

·对于 0 <= i < n - 1 的下标 i ，要么 nums[i] % nums[i+1] == 0 ，要么 nums[i+1] % nums[i] == 0 。

请你返回特别排列的总数目，由于答案可能很大，请将它对109 + 7 取余后返回。

示例 1：

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输入：nums = [2,3,6]
输出：2
解释：[3,6,2] 和 [2,6,3] 是 nums 两个特别的排列。

示例 2：

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输入：nums = [1,4,3]
输出：2
解释：[3,1,4] 和 [4,1,3] 是 nums 两个特别的排列。

提示：

·2 <= nums.length <= 14

·1 <= nums[i] <= 109

题目大意：在只有可整除的数字能相邻的情况下计算所有合法排列的数量。

分析：

（1）由于可整除的数字可以相邻，因此可整除的两个数之间可以视为有一条无向边，用图的思想处理本题，将每个数字视为一个结点。分别从数组中的每个结点开始进行一次深度优先遍历，计算可以连接所有结点的路径的个数sum，得到的sum即为所求的合法排列的数量；

（2）由于长度为N的数组有N!种排列，用枚举的方式搜索会超时，因此采用记忆化搜索加速计算。设当前遍历的结点为i，当前的状态为flag，状态flag表示已遍历的结点和未遍历的结点，如flag=0b011001时表示第2、3、6个结点已被遍历，而第1、4、5个结点还没有遍历。因为在相同状态（flag）下遍历i结点，返回的合法排列数量是相同的，所以建立二维数组dp，其中dp[i][flag]表示在状态flag的情况下遍历i结点可获得的合法排列数量，以此记录已遍历过的情况，加速深度优先搜索。

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class Solution {
public:
    int specialPerm(vector<int>& nums) {
        int N=nums.size(),flag=(1<<N)-1,ans=0;
        vector<vector<int>> dp(N,vector<int>(1<<N,-1));
        function<int(int)> dfs=[&](int root){
            if(dp[root][flag]!=-1) return dp[root][flag];
            int sum=0;
            for(int i=0,f=1;i<N;++i,f<<=1){
                if(root!=i&&(flag&f)&&!(nums[i]%nums[root]&&nums[root]%nums[i])){
                    flag^=f;
                    sum=(sum+dfs(i))%1000000007;
                    flag^=f;
                }
            }
            return dp[root][flag]=sum;
        };
        for(int i=0;i<N;++i) dp[i][0]=1;
        for(int i=0,f=1;i<N;++i,f<<=1){
            flag^=f;
            ans=(ans+dfs(i))%1000000007;
            flag^=f;
        }
        return ans;
    }
};