给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums
,它包含 n
个 互不相同 的正整数。如果 nums
的一个排列满足以下条件,我们称它是一个特别的排列:
·
对于 0 <= i < n - 1
的下标 i
,要么 nums[i] % nums[i+1] == 0
,要么 nums[i+1] % nums[i] == 0
。
请你返回特别排列的总数目,由于答案可能很大,请将它对109 + 7
取余 后返回。
示例 1:
输入:nums = [2,3,6]
输出:2
解释:[3,6,2] 和 [2,6,3] 是 nums 两个特别的排列。
示例 2:
输入:nums = [1,4,3]
输出:2
解释:[3,1,4] 和 [4,1,3] 是 nums 两个特别的排列。
提示:
·2 <= nums.length <= 14
·1 <= nums[i] <= 109
题目大意:在只有可整除的数字能相邻的情况下计算所有合法排列的数量。
分析:
(1)由于可整除的数字可以相邻,因此可整除的两个数之间可以视为有一条无向边,用图的思想处理本题,将每个数字视为一个结点。分别从数组中的每个结点开始进行一次深度优先遍历,计算可以连接所有结点的路径的个数sum,得到的sum即为所求的合法排列的数量;
(2)由于长度为N的数组有N!种排列,用枚举的方式搜索会超时,因此采用记忆化搜索加速计算。设当前遍历的结点为i,当前的状态为flag,状态flag表示已遍历的结点和未遍历的结点,如flag=0b011001时表示第2、3、6个结点已被遍历,而第1、4、5个结点还没有遍历。因为在相同状态(flag)下遍历i结点,返回的合法排列数量是相同的,所以建立二维数组dp,其中dp[i][flag]表示在状态flag的情况下遍历i结点可获得的合法排列数量,以此记录已遍历过的情况,加速深度优先搜索。
cpp
class Solution {
public:
int specialPerm(vector<int>& nums) {
int N=nums.size(),flag=(1<<N)-1,ans=0;
vector<vector<int>> dp(N,vector<int>(1<<N,-1));
function<int(int)> dfs=[&](int root){
if(dp[root][flag]!=-1) return dp[root][flag];
int sum=0;
for(int i=0,f=1;i<N;++i,f<<=1){
if(root!=i&&(flag&f)&&!(nums[i]%nums[root]&&nums[root]%nums[i])){
flag^=f;
sum=(sum+dfs(i))%1000000007;
flag^=f;
}
}
return dp[root][flag]=sum;
};
for(int i=0;i<N;++i) dp[i][0]=1;
for(int i=0,f=1;i<N;++i,f<<=1){
flag^=f;
ans=(ans+dfs(i))%1000000007;
flag^=f;
}
return ans;
}
};