DFS，BFS最短路，树与图的深度/广度优先遍历，拓扑排序

DFS

例题：排列数字

在排列组合问题中，每个位置需要尝试多个不同的数字组合，需要回溯以尝试不同的可能性。因此，需要显式地恢复现场（撤销标记），以确保每个可能的路径都被探索。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10;
int path[N];
bool st[N];
int n;

void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", path[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            path[u] = i;
            st[i] = true;
            dfs(u + 1);
            st[i] = false; //还原
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    dfs(0);
    return 0;
}

例题：n-皇后问题

按位置枚举，复杂度较高：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2];
int n;

void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (y == n)
    {
        y = 0;
        x++;
    }
    if (x == n)
    {
        if (s == n)
        {
            for (int i = 0; i < n; i++) printf("%s\n", g[i]);
            puts("");
        }
        return; //记得return
    }
    
    //不放
    dfs(x, y + 1, s);
    
    //放
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++) g[i][j] = '.';
    }
    dfs(0, 0, 0);
    return 0;
}

BFS

当所有路权值为1时，求最短路用bfs。

例题：走迷宫

以下是加上打印路径后的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;
typedef pair<int, int> PII;
int g[N][N], d[N][N];
vector<PII> path;
PII pre[N][N];
int n, m;
int dx[4] = {0, 0, 1, -1}, dy[4] = {-1, 1, 0, 0};

int bfs(int x, int y)
{
    queue<PII> q;
    q.push({x, y});
    memset(d, -1, sizeof d);
    memset(pre, -1, sizeof pre);
    d[x][y] = 0;
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int tx = t.first + dx[i], ty = t.second + dy[i];
            if (tx < 0 || ty < 0 || tx >= n || ty >= m) continue;
            if (g[tx][ty] == 1 || d[tx][ty] != -1) continue;
            d[tx][ty] = d[t.first][t.second] + 1;
            pre[tx][ty] = {t.first, t.second};
            q.push({tx, ty});
        }
    }
    return d[n - 1][m - 1];
}

void getpath()
{
    if (d[n - 1][m - 1] == -1) return;
    for (PII at = {n - 1, m - 1}; at != make_pair(-1, -1); at = pre[at.first][at.second])
    {
        path.push_back(at);
    }
    reverse(path.begin(), path.end());
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < m; j++)  cin >> g[i][j];
    }
    printf("The shortest path length: %d\n", bfs(0, 0));
    getpath();
    if (path.empty()) printf("No path found.");
    else
    {
        printf("path: ");
        for (auto p: path)
        {
            printf("(%d, %d) ", p.first, p.second);
        }
    }
}

例题：八数码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char c;
string start;

int bfs(string start)
{
    string end = "12345678x";
    queue<string> q;
    unordered_map<string, int> d; //距离
    q.push(start);
    d[start] = 0;
    
    //转移方式，可以从上下左右转移到x
    int dx[4] = {-1, 1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, -1, 1};
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        int distance = d[t];
        if (t == end) return distance;
        
        //查询x在字符串中的下标，转换成二维坐标
        int k = t.find('x');
        int x = k / 3, y = k % 3;
        
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int tx = x + dx[i], ty = y + dy[i];
            if (tx >= 0 && tx < 3 && ty >= 0 && ty < 3)
            {
                //转移x
                swap(t[k], t[tx * 3 + ty]);
                
                //如果之前没有遍历过这种状态
                //count方法可以用来检查某个键是否存在，返回键在unordered_map中出现的次数
                //（对于unordered_map来说，这个值要么是0，要么是1，因为键是唯一的）。
                if (!d.count(t))
                {
                    d[t] = distance + 1;
                    q.push(t);
                }
                
                //还原状态
                swap(t[k], t[tx * 3 + ty]);
                //假设我们在某个状态"12345678x"，x的位置在右下角。
                //第一次交换x和左边的数字生成状态"1234567x8"。
                //如果不还原状态，结果就是基于状态"1234567x8"而不是"12345678x"进行的，这显然是错误的。
            }
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    for (int i = 0; i < 9; i++)
    {
        //过滤空格并存储到字符串中
        cin >> c;
        start += c;
    }
    printf("%d", bfs(start));
    return 0;
}

树与图的深度优先遍历

树与图的深度优先遍历每个节点只遍历一次，用dfs不用恢复现场。

用邻接表 存储。这题是无向图。
例题：树的重心

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = N * 2;
int n;
//h存储每个节点的头指针，e存储边的终点，ne存储下一条边的索引，idx为当前边的索引
//由于每条无向边需要存储两次，因此如果有 m 条边，需要分配 2 * m 的空间给 e[] 和 ne[] 数组
int h[N], e[M], ne[M], idx; //树或图邻接表中的idx用作每条边的唯一索引
int ans = N; //用于存储当前重心的最大子树大小的最小值
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b; //记录边的终点
    ne[idx] = h[a]; //将当前边的索引插入到邻接表头部。
    h[a] = idx; //更新邻接表头指针，使其指向新插入的边。
    idx++;
}

int dfs(int u)
{
    st[u] = true;
    //size用于存储以u为根节点的树的子树（即连通图，不包含u）的最大大小，sum用于存储以u为根节点的树的节点总和
    int size = 0, sum = 1;
    // 遍历节点u的所有邻接边
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (st[j]) continue;
        int s = dfs(j); // 递归计算子树的大小
        size = max(size, s);
        sum += s;
    }
    
    //st数组标记是否被遍历，又因为main函数里dfs（1）这个1是随意的，
    //如果从1开始，我们知道4是树的重心，而这时候遍历4的时候，因为1已经被遍历过了，
    //所以size在for循环里不能往上走（不能往1那边走），n - sum表示另一边已经被遍历过的连通块节点数，
    //那res = max(res, n - sum);就能够计算将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
    size = max(size, n - sum);
    ans = min(size, ans); //遍历过的假设重心中，最小的 最大联通子图的节点数
    return sum;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化头指针数组为-1，表示没有边
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) // 读取n-1条边（树有n个节点，n-1条边）
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    dfs(1);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

树的广度优先遍历

例题：图中点的层次

这题是有向图。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

int bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof d);
    queue<int> q;
    d[1] = 0;
    q.push(1);
    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i]; //节点编号
            if (d[j] == -1)
            {
                q.push(j);
                d[j] = d[t] + 1;
            }
        }
    }
    return d[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }
    printf("%d", bfs());
    return 0;
}

拓扑排序

有向图 才有拓扑序列。存在环一定没有拓扑序列。

有向无环图一定存在拓扑序列，一定至少存在一个入度为0的点，也被称为拓扑图。
例题：有向图的拓扑排序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N]; //每个点的入度
int n, m;

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
    d[b]++; //b的入度加1
}

void topsort()
{
    queue<int> q;
    vector<int> ans;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (d[i] == 0) q.push(i); //入度为0节点的入列，可以作为拓扑序列的第一个
    }
    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        ans.push_back(t); // 用于保存拓扑排序结果
        q.pop();
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i]; //节点的编号
            d[j]--; //删除出队的结点指向这个点的边，这个点的入度-1
            if (d[j] == 0)
            {
                q.push(j);
            }
        }
    }
    if (ans.size() == n) // 如果队列中的点的个数与图中点的个数相同，则可以进行拓扑排序
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", ans[i]);
    }
    else
    {
        printf("-1");
    }
}



int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m--)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }
    topsort();
    return 0;
}