【数据结构】08.堆及堆的应用

卡戎-caryon2024-07-06 10:44

一、堆的概念及结构

堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树 的数组 对象。 堆是非线性数据结构 ，相当于一维数组，有两个直接后继。

如果有一个关键码的集合K = { k₀，k₁，k₂ ，k₃ ，...，kₙ₋₁ }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：Kᵢ <= K₂ *ᵢ₊₁ 且 Kᵢ <= K₂ *ᵢ₊₂ (Kᵢ >= K₂ *ᵢ₊ ₁ 且 Kᵢ >= K₂ *ᵢ₊₂ ) i = 0，1，2...，则称为小堆 (或大堆 )。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树 。

二、堆的实现

2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法 可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

c 复制代码 
//向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//找到两个孩子中小的那个
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child])
		{
			child++;
		}
		//父子结点交换
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2.2 堆的向上调整算法

c 复制代码 
//向上调整算法
void AdjustUp(HeapDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child>0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2.3 堆的创建

2.3.1 向下调整建堆的时间复杂度分析

2.3.2 向上调整建堆的时间复杂度分析

2.3.3 结论

通过上面的分析我们可以知道向下调整建堆的时间复杂度较小，因此通常情况下来说我们采用向下调整算法建堆。

2.4 堆的插入

先插入一个元素到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

c 复制代码 
//插入与删除数据
void HeapPush(pHeap ph, HeapDataType x)
{
	assert(ph);
	
	ph->a[ph->size++] = x;
	AdjustUp(ph, ph->size - 1);
}

2.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

c 复制代码 
void HeapPop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	assert(ph->size > 0);

	swap(&ph->a[0],& ph->a[ph->size - 1]);
	ph->size--;
	AdjustDown(ph->a, ph->size, 0);
}

2.6 堆的其他操作

c 复制代码 
//判空
bool HeapEmpty(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size == 0;
}
c 复制代码 
//取堆顶元素
HeapDataType HeapTop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->a[0];
}
c 复制代码 
//堆的元素个数
size_t HeapSize(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size;
}

2.7 堆的代码实现

c 复制代码 
//heap.h
#pragma once


#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
//结点的行为
typedef int HeapDataType;
typedef struct Heap
{
	HeapDataType* a;
	size_t size;
	size_t capacity;
}Heap,* pHeap;

//交换
void swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y);
//向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType* arr, int n, int parent);
//向上调整算法
void AdjustUp(pHeap ph, int child);

//初始化与销毁
void HeapInit(pHeap ph);
void HeapInitByArray(pHeap ph, HeapDataType* arr, int n);
void HeapDestory(pHeap ph);

//插入与删除数据
void HeapPush(pHeap ph, HeapDataType x);
void HeapPop(pHeap ph);

//判空
bool HeapEmpty(pHeap ph);

//取堆顶元素
HeapDataType HeapTop(pHeap ph);
//堆的元素个数
size_t HeapSize(pHeap ph);
c 复制代码 
//heap.c
//小堆

#include"heap.h"
//交换
void swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y)
{
	HeapDataType temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//找到两个孩子中小的那个
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child])
		{
			child++;
		}
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//向上调整算法
void AdjustUp(HeapDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child>0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//初始化与销毁
void HeapInit(pHeap ph)
{
	assert(ph);

	ph->a = NULL;
	ph->capacity = ph->size = 0;
}

void HeapInitByArray(pHeap ph, HeapDataType* arr, int n)
{
	assert(ph);
	ph->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);
	if (ph->a == NULL)
	{
		perror("HeapInitByArray");
		exit (EXIT_FAILURE);
	}
	memcpy(ph->a, arr, sizeof(HeapDataType) * n);
	ph->capacity = ph->size = n;

	//向上调整建堆:
	//for (int i = 1; i < ph->size; i++)
	//{
	//	  AdjustUp(ph->a, i);
	//}
	
	//向下调整建堆:O（N）
	for (int i = (ph->size - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(ph->a, ph->size, i);
	}
}

void HeapDestory(pHeap ph)
{
	assert(ph);

	free(ph->a);
	ph->a = NULL;
	ph->capacity = ph->size = 0;
}

//插入与删除数据
void HeapPush(pHeap ph, HeapDataType x)
{
	assert(ph);
	
	ph->a[ph->size++] = x;
	AdjustUp(ph, ph->size - 1);
}
void HeapPop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	assert(ph->size > 0);

	swap(&ph->a[0],& ph->a[ph->size - 1]);
	ph->size--;
	AdjustDown(ph->a, ph->size, 0);
}

//判空
bool HeapEmpty(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size == 0;
}
//取堆顶元素
HeapDataType HeapTop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->a[0];
}
//堆的元素个数
size_t HeapSize(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size;
}

三、堆的应用

3.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

  1. 建堆
    升序：建大堆
    降序：建小堆
  2. 利用堆删除思想来进行排序
    建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
c 复制代码 
void HeapSort(int* arr, int n)
{
	//建小堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}

	//降序
	int end = n - 1;
	while (end)
	{
		swap(&arr[end], &arr[0]);
		end--;
		AdjustDown(arr, end, 0);
	}

}

3.2 TOP K 问题

TOP-K问题 ：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素 ，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素，则建小堆
    前k个最小的元素，则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素，将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
c 复制代码 
void CreateDate()
{
	// 造数据
	int n = 100000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}

	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x = rand() % 1000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}
	fclose(fin);
}

void topk()
{
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);

	const char* file = "data.txt";
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}

	int val = 0;
	int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minheap == NULL)
	{
		perror("malloc error");
		return;
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
	}

	// 建k个数据的小堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(minheap, k, i);
	}

	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
		// 读取剩余数据，比堆顶的值大，就替换他进堆
		if (x > minheap[0])
		{
			minheap[0] = x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", minheap[i]);
	}

	fclose(fout);

}
int main()
{
	CreateDate();
	topk();
	return 0;
}
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