二重积分 - 包括计算方法和可视化

二重积分 - 包括计算方法和可视化

flyfish

计算在矩形区域 R = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 2 ] R = [0, 1] \times [0, 2] R=[0,1]×[0,2] 下，函数 z = 8 x + 6 y z = 8x + 6y z=8x+6y 的二重积分。这相当于计算曲面 z = 8 x + 6 y z = 8x + 6y z=8x+6y 与 xy 平面之间的体积。

二重积分的读法

二重积分 ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( 8 x + 6 y )   d x   d y \int_0^2 \int_0^1 (8x + 6y) \, dx \, dy ∫02∫01(8x+6y)dxdy 可以读作：

在区域 y y y 从 0 到 2， x x x 从 0 到 1 的范围内，对函数 8 x + 6 y 8x + 6y 8x+6y 首先关于 x x x 进行积分，然后对结果关于 y y y 进行积分，得到在该区域下的体积。

符号含义

• V V V: 表示体积。

• ∫ \int ∫: 表示积分。

• d x dx dx: 表示关于变量 x x x 的积分。

• d y dy dy: 表示关于变量 y y y 的积分。

• f ( x , y ) f(x, y) f(x,y): 表示函数 8 x + 6 y 8x + 6y 8x+6y。

• [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1]: 表示 x x x 的积分区间。

• [ 0 , 2 ] [0, 2] [0,2]: 表示 y y y 的积分区间。

求解步骤

1. 二重积分表达式 :
   V = ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( 8 x + 6 y )   d x   d y V = \int_0^2 \int_0^1 (8x + 6y) \, dx \, dy V=∫02∫01(8x+6y)dxdy

2. 对 x x x 进行内积分 :
   ∫ 0 1 ( 8 x + 6 y )   d x \int_0^1 (8x + 6y) \, dx ∫01(8x+6y)dx

   首先，将 6 y 6y 6y 视为常数：
   ∫ 0 1 8 x   d x + ∫ 0 1 6 y   d x \int_0^1 8x \, dx + \int_0^1 6y \, dx ∫018xdx+∫016ydx

   计算 8 x 8x 8x 的积分:
   4 x 2 ∣ 0 1 = 4 ( 1 ) 2 − 4 ( 0 ) 2 = 4 4x^2 \bigg|_0^1 = 4(1)^2 - 4(0)^2 = 4 4x2 01=4(1)2−4(0)2=4

   计算 6 y 6y 6y 的积分（这里 y y y 是常数）:
   6 y ∫ 0 1 d x = 6 y [ x ] ∣ 0 1 = 6 y ( 1 − 0 ) = 6 y 6y \int_0^1 dx = 6y [x] \bigg|_0^1 = 6y (1 - 0) = 6y 6y∫01dx=6y[x] 01=6y(1−0)=6y结合上述结果：
   ∫ 0 1 ( 8 x + 6 y )   d x = 4 + 6 y \int_0^1 (8x + 6y) \, dx = 4 + 6y ∫01(8x+6y)dx=4+6y

3. 对 y y y 进行外积分 :
   ∫ 0 2 ( 4 + 6 y )   d y \int_0^2 (4 + 6y) \, dy ∫02(4+6y)dy

   计算 4 4 4 的积分:
   4 y ∣ 0 2 = 4 ( 2 ) − 4 ( 0 ) = 8 4y \bigg|_0^2 = 4(2) - 4(0) = 8 4y 02=4(2)−4(0)=8

   计算 6 y 6y 6y 的积分:
   3 y 2 ∣ 0 2 = 3 ( 2 ) 2 − 3 ( 0 ) 2 = 12 3y^2 \bigg|_0^2 = 3(2)^2 - 3(0)^2 = 12 3y2 02=3(2)2−3(0)2=12结合上述结果：
   ∫ 0 2 ( 4 + 6 y )   d y = 8 + 12 = 20 \int_0^2 (4 + 6y) \, dy = 8 + 12 = 20 ∫02(4+6y)dy=8+12=20

   所以，计算结果 V V V 为 20。

求二重积分 使用scipy.integrate

import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad

# 定义函数 f(x, y)
def f(x, y):
    return 8*x + 6*y

# 定义积分区间
a, b = 0, 1   # x 的积分范围
c, d = 0, 2   # y 的积分范围

# 计算二重积分 V = ∫[c,d]∫[a,b] (8x + 6y) dx dy
result, error = dblquad(f, c, d, lambda y: a, lambda y: b)

print(f'The volume under the plane is approximately: {result}')

求二重积分 不使用库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 定义函数 f(x, y)
def f(x, y):
    return 8*x + 6*y

# 手动计算内积分 ∫[0,1] (8x + 6y) dx
def inner_integral(y):
    return 4 + 6*y

# 手动计算外积分 ∫[0,2] inner_integral(y) dy
def outer_integral():
    result = 0
    result += 4 * (2 - 0)  # ∫[0,2] 4 dy
    result += 3 * (2**2 - 0**2)  # ∫[0,2] 6y dy = 6 * ∫[0,2] y dy = 6 * (1/2) * y^2
    return result

# 计算结果
volume = outer_integral()
print(f'The volume under the plane is: {volume}')

可视化代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 定义函数 z = 8x + 6y
def f(x, y):
    return 8*x + 6*y

# 定义网格
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = np.linspace(0, 2, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)

# 绘制曲面图
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', alpha=0.8)

# 绘制包围体积区域的虚线框
ax.plot([0, 0], [0, 0], [0, f(0, 0)], 'k--')
ax.plot([0, 0], [2, 2], [0, f(0, 2)], 'k--')
ax.plot([1, 1], [0, 0], [0, f(1, 0)], 'k--')
ax.plot([1, 1], [2, 2], [0, f(1, 2)], 'k--')
ax.plot([0, 0], [0, 2], [f(0, 0), f(0, 2)], 'k--')
ax.plot([1, 1], [0, 2], [f(1, 0), f(1, 2)], 'k--')
ax.plot([0, 1], [0, 0], [f(0, 0), f(1, 0)], 'k--')
ax.plot([0, 1], [2, 2], [f(0, 2), f(1, 2)], 'k--')

# 设置标签
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Volume under z = 8x + 6y')

plt.show()

看完例子再来说二重积分

二重积分简介

二重积分是多重积分的一种，涉及两个变量的函数积分。与单变量函数的积分类似，二重积分计算曲面和xy平面之间的体积。

基本定义

设 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是在矩形区域 R = [ a , b ] × [ c , d ] R = [a, b] \times [c, d] R=[a,b]×[c,d] 上定义的连续函数。其二重积分记作： ∬ R f ( x , y )   d A \iint_R f(x, y) \, dA ∬Rf(x,y)dA其中， d A dA dA 是微小的面积元素。

几何解释

对于非负函数 f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) \geq 0 f(x,y)≥0，二重积分 ∬ R f ( x , y )   d A \iint_R f(x, y) \, dA ∬Rf(x,y)dA 表示曲面 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 与xy平面之间的体积。

计算方法

1. 分割区域 ：将区域 R R R 分割成许多小矩形，每个小矩形的面积记为 Δ A \Delta A ΔA。

2. 求和 ：计算每个小矩形上函数值 f ( x i , y j ) f(x_i, y_j) f(xi,yj) 乘以面积 Δ A \Delta A ΔA 的和。

3. 取极限 ：当小矩形的数量趋于无穷时，求和的极限即为二重积分：
   ∬ R f ( x , y )   d A = lim ⁡ Δ A → 0 ∑ i ∑ j f ( x i , y j ) Δ A \iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{\Delta A \to 0} \sum_{i} \sum_{j} f(x_i, y_j) \Delta A ∬Rf(x,y)dA=limΔA→0∑i∑jf(xi,yj)ΔA

迭代积分

二重积分可以通过两个单重积分的迭代来计算：
∬ R f ( x , y )   d A = ∫ c d ( ∫ a b f ( x , y )   d x ) d y = ∫ a b ( ∫ c d f ( x , y )   d y ) d x \iint_R f(x, y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx ∬Rf(x,y)dA=∫cd(∫abf(x,y)dx)dy=∫ab(∫cdf(x,y)dy)dx

例子

求解步骤 我们以 f ( x , y ) = 8 x + 6 y f(x, y) = 8x + 6y f(x,y)=8x+6y 为例，计算在矩形区域 [ 0 , 1 ] × [ 0 , 2 ] [0, 1] \times [0, 2] [0,1]×[0,2] 下的二重积分。

二重积分表达式

V = ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( 8 x + 6 y )   d x   d y V = \int_0^2 \int_0^1 (8x + 6y) \, dx \, dy V=∫02∫01(8x+6y)dxdy

内部积分

先对 x x x 积分： ∫ 0 1 ( 8 x + 6 y )   d x = ∫ 0 1 8 x   d x + ∫ 0 1 6 y   d x \int_0^1 (8x + 6y) \, dx = \int_0^1 8x \, dx + \int_0^1 6y \, dx ∫01(8x+6y)dx=∫018xdx+∫016ydx = 4 x 2 ∣ 0 1 + 6 y [ x ] 0 1 = 4x^2 \bigg|_0^1 + 6y \left[ x \right]_0^1 =4x2 01+6y[x]01 = 4 ( 1 ) 2 − 4 ( 0 ) 2 + 6 y ( 1 − 0 ) = 4(1)^2 - 4(0)^2 + 6y(1 - 0) =4(1)2−4(0)2+6y(1−0) = 4 + 6 y = 4 + 6y =4+6y

外部积分

再对 y y y 积分： ∫ 0 2 ( 4 + 6 y )   d y = ∫ 0 2 4   d y + ∫ 0 2 6 y   d y \int_0^2 (4 + 6y) \, dy = \int_0^2 4 \, dy + \int_0^2 6y \, dy ∫02(4+6y)dy=∫024dy+∫026ydy = 4 y ∣ 0 2 + 3 y 2 ∣ 0 2 = 4y \bigg|_0^2 + 3y^2 \bigg|_0^2 =4y 02+3y2 02 = 4 ( 2 ) − 4 ( 0 ) + 3 ( 2 ) 2 − 3 ( 0 ) 2 = 4(2) - 4(0) + 3(2)^2 - 3(0)^2 =4(2)−4(0)+3(2)2−3(0)2 = 8 + 12 = 20 = 8 + 12 = 20 =8+12=20

二重积分符号中英读法比较

∬ R f ( x , y )   d A \iint_{R} f(x, y) \, dA ∬Rf(x,y)dA

1. 二重积分符号 ∬ \iint ∬ ：

   "double integral"。

   "二重积分"。

2. 积分域 R R R ：

   "over the region R"。

   "在区域 R 上"。

3. 被积函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) ：

   "the function f of x and y"。

   "函数 f 关于 x 和 y"。

4. 微分元 d A dA dA ：

   "differential area element dA"。

   "微分面积元 dA"。

完整的二重积分表达式：

"double integral of f of x and y over the region R with respect to the area element dA."

"函数 f 关于 x 和 y 在区域 R 上的二重积分，对微分面积元 dA 积分。"

如果具体到一个特定的积分表达式，例如：
∬ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 2 ] ( 8 x + 6 y )   d x   d y \iint_{[0,1] \times [0,2]} (8x + 6y) \, dx \, dy ∬[0,1]×[0,2](8x+6y)dxdy

"double integral of 8x plus 6y over the rectangle from 0 to 1 and 0 to 2 with respect to x and y."

"8x 加 6y 在从 0 到 1 和从 0 到 2 的矩形区域上的二重积分，对 x 和 y 积分。"