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abstract
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在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间 ,或者被积函数为无界函数的积分 ,它们已经不属于定积分了.
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因此,我们对定积分作如下两种推广,借助极限定义反常积分的概念.
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反常积分包括无穷限反常积分 和无界函数的反常积分 (瑕积分)
无穷限反常积分
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设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infin) [a,+∞)上连续,任取 t > a t>a t>a,作定积分 ∫ a t f ( x ) d x \int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x ∫atf(x)dx,再求变上限定积分 极限: A = lim t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x A=\lim\limits_{t\to{+\infin}}\int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x A=t→+∞lim∫atf(x)dx
(1),式(1)称为函数 f ( x ) f(x) f(x)在无穷区间 [ a , + ∞ ) [a,+\infin) [a,+∞)上的反常积分 记为 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx= lim t → ∞ ∫ a t f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{\infin}}\int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x t→∞lim∫atf(x)dx(2) -
类似的,设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − ∞ , b ] [-\infin,b] [−∞,b]上连续,任取 t < b t<b t<b,算式 lim t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{-\infin}}{\int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x} t→−∞lim∫tbf(x)dx
(1-1)称为 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − ∞ , b ] (-\infin,b] (−∞,b]上的反常积分,记为 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infin}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞bf(x)dx= lim t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{-\infin}}{\int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x} t→−∞lim∫tbf(x)dx -
综合前两种情形,设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (−∞,+∞)上来连续,反常积分 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infin}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞bf(x)dx和 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫0+∞f(x)dx之和称为 f ( x ) f(x) f(x)在无穷区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (−∞,+∞)上的反常积分,记为 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞+∞f(x)dx
敛散性
- 若式极限(1)存在,则称(2)收敛 ,并称此极限值 A A A为(2)的反常积分值
- 否则,(2)发散
- 类似的,有另一侧和双侧无穷限反常积分的敛散性和反常积分值定义
无穷限反常积分运用微积分基本公式
- 设 F ( x ) F(x) F(x)为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ] [a,+\infin] [a,+∞]上的一个原函数
- 若 R = lim x → + ∞ F ( x ) R=\lim\limits_{x\to{+\infin}}F(x) R=x→+∞limF(x)存在,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx= R − F ( a ) R-F(a) R−F(a)= lim x → + ∞ F ( x ) − F ( a ) \lim\limits_{x\to{+\infin}}F(x)-F(a) x→+∞limF(x)−F(a)
(3) - 若 R R R不存在,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx发散
- 若 R = lim x → + ∞ F ( x ) R=\lim\limits_{x\to{+\infin}}F(x) R=x→+∞limF(x)存在,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx= R − F ( a ) R-F(a) R−F(a)= lim x → + ∞ F ( x ) − F ( a ) \lim\limits_{x\to{+\infin}}F(x)-F(a) x→+∞limF(x)−F(a)
- 若记 F ( + ∞ ) F(+\infin) F(+∞)= lim x → + ∞ F ( x ) \lim\limits_{x\to{+\infin}}F(x) x→+∞limF(x), [ F ( x ) ] a + ∞ [F(x)]_{a}^{+\infin} [F(x)]a+∞= F ( + ∞ ) − F ( a ) F(+\infin)-F(a) F(+∞)−F(a),
(3-0)- 当 F ( + ∞ ) F(+\infin) F(+∞)存在时,式(3)可以作 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx= [ F ( x ) ] a + ∞ [F(x)]_{a}^{+\infin} [F(x)]a+∞
(3-1) - 当 F ( + ∞ ) F(+\infin) F(+∞)不存在时,反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx发散
- 当 F ( + ∞ ) F(+\infin) F(+∞)存在时,式(3)可以作 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx= [ F ( x ) ] a + ∞ [F(x)]_{a}^{+\infin} [F(x)]a+∞
- 类似的,另外两种情形的反常积分有相仿的表示方法
- ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infin}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞bf(x)dx= [ F ( x ) ] − ∞ b [F(x)]_{-\infin}^{b} [F(x)]−∞b
- ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞+∞f(x)dx= [ F ( x ) ] − ∞ + ∞ [F(x)]_{-\infin}^{+\infin} [F(x)]−∞+∞
- Note: F ( x ) = ∫ f ( x ) d x F(x)=\int{f(x)}\mathrm{d}x F(x)=∫f(x)dx
例
- ∫ − ∞ + ∞ 1 x 2 + 1 d x \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x} ∫−∞+∞x2+11dx= [ arctan x ] − ∞ + ∞ [\arctan{x}]{-\infin}^{+\infin} [arctanx]−∞+∞= lim x → + ∞ arctan x \lim\limits{x\to{+\infin}}\arctan{x} x→+∞limarctanx- lim x → − ∞ arctan x \lim\limits_{x\to{-\infin}}\arctan{x} x→−∞limarctanx= π 2 − ( − π 2 ) \frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2}) 2π−(−2π)= π \pi π
- 这个反常积分的几何意义表明,虽然曲线 1 x 2 + 1 \frac{1}{x^2+1} x2+11与 x x x轴围成的区域是无限延申的,但它的面积却不是无限大的,而是有一个极限值 π \pi π
- 这类情况在概率统计的连续型随机变量的密度函数求概率问题中经常遇到
例
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∫ 0 + ∞ t e − p t d t \int_{0}^{+\infin}te^{-pt}\mathrm{d}t ∫0+∞te−ptdt,其中 p p p为常数, p > 0 p>0 p>0
- ∫ 0 + ∞ t e − p t d t \int_{0}^{+\infin}te^{-pt}\mathrm{d}t ∫0+∞te−ptdt= [ ∫ t e − p t d t ] 0 + ∞ [\int te^{-pt}\mathrm{d}t]_{0}^{+\infin} [∫te−ptdt]0+∞
- = [ − 1 p ∫ t d ( e − p t ) ] 0 + ∞ [-\frac{1}{p}\int t\mathrm{d}(e^{-pt})]_{0}^{+\infin} [−p1∫td(e−pt)]0+∞ 分部积分法
- = − 1 p [ t e − p t − ∫ e − p t d t ] 0 + ∞ -\frac{1}{p}[te^{-pt}-\int{e^{-pt}\mathrm{d}t}]_{0}^{+\infin} −p1[te−pt−∫e−ptdt]0+∞
- = − 1 p [ t e − p t ∣ 0 + ∞ + 1 p e − p t ∣ 0 + ∞ ] -\frac{1}{p}[te^{-pt}|{0}^{+\infin}+\frac{1}{p}e^{-pt}|{0}^{+\infin}] −p1[te−pt∣0+∞+p1e−pt∣0+∞]
- = − 1 p ( lim t → + ∞ t e − p t − 0 ) -\frac{1}{p}(\lim\limits_{t\to{+\infin}}te^{-pt}-0) −p1(t→+∞limte−pt−0)- 1 p 2 ( 0 − 1 ) \frac{1}{p^2}(0-1) p21(0−1)= 0 − ( − 1 p ) 0-(-\frac{1}{p}) 0−(−p1)=0
- 其中 lim t → + ∞ t e − p t \lim\limits_{t\to{+\infin}}te^{-pt} t→+∞limte−pt是 ∞ ⋅ 0 \infin\cdot{0} ∞⋅0型未定式 lim t → + ∞ t e − p t \lim\limits_{t\to{+\infin}}te^{-pt} t→+∞limte−pt= lim t → + ∞ t / e p t \lim\limits_{t\to{+\infin}}t/e^{pt} t→+∞limt/ept= lim t → + ∞ 1 p e p t \lim\limits_{t\to{+\infin}}\frac{1}{pe^{pt}} t→+∞limpept1=0
- ∫ 0 + ∞ t e − p t d t \int_{0}^{+\infin}te^{-pt}\mathrm{d}t ∫0+∞te−ptdt= [ ∫ t e − p t d t ] 0 + ∞ [\int te^{-pt}\mathrm{d}t]_{0}^{+\infin} [∫te−ptdt]0+∞
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证明 ∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infin}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x ∫a+∞xp1dx, ( a > 0 ) (a>0) (a>0)当 p > 1 p>1 p>1时收敛,当 p ⩽ 1 p\leqslant{1} p⩽1时发散
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当 p = 1 p=1 p=1时, ∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infin}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x ∫a+∞xp1dx= ∫ a + ∞ 1 x d x \int_{a}^{+\infin}\frac{1}{x}\mathrm{d}x ∫a+∞x1dx= [ ln ∣ x ∣ ] a + ∞ [\ln{|x|}]{a}^{+\infin} [ln∣x∣]a+∞= [ ln x ] a + ∞ [\ln{x}]{a}^{+\infin} [lnx]a+∞= + ∞ +\infin +∞,发散
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当 p ≠ 1 p\neq{1} p=1
- ∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infin}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x ∫a+∞xp1dx= 1 1 − p x 1 − p ∣ a + ∞ \frac{1}{1-p}x^{1-p}|_{a}^{+\infin} 1−p1x1−p∣a+∞
- = + ∞ +\infin +∞, ( p < 1 ) (p<1) (p<1),发散
- = 1 1 − p ( 0 − a 1 − p ) \frac{1}{1-p}(0-a^{1-p}) 1−p1(0−a1−p)= a 1 − p p − 1 \frac{a^{1-p}}{p-1} p−1a1−p, ( p > 1 ) (p>1) (p>1),收敛
- ∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infin}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x ∫a+∞xp1dx= 1 1 − p x 1 − p ∣ a + ∞ \frac{1}{1-p}x^{1-p}|_{a}^{+\infin} 1−p1x1−p∣a+∞
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综上,欲证命题成立
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无界函数的反常积分
- 若函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 a a a的任意一邻域 内都无界 ,则点 a a a称为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点(无界间断点)
- 无界函数的反常积分又称为瑕积分
- 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ] (a,b] (a,b]上连续 ,点 a a a为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点,
- 任取 t > a t>a t>a,作定积分 ∫ t b f ( x ) d x \int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫tbf(x)dx
(0),求其极限 lim t → a + ∫ t b f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{a^{+}}}{\int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x} t→a+lim∫tbf(x)dx(1) - 这个对变下限的定积分求极限的算式(1)称为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ] (a,b] (a,b]上的反常积分,仍然记为 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx
(3),即 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= lim t → a + ∫ t b f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{a^{+}}}{\int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x} t→a+lim∫tbf(x)dx(3-1)
- 任取 t > a t>a t>a,作定积分 ∫ t b f ( x ) d x \int_{t}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫tbf(x)dx
- 类似地, f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ) [a,b) [a,b)上连续,点 b b b为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点,任取 t < b t<b t<b,可以定义: lim t → b − ∫ a t f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{b^{-}}}\int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x t→b−lim∫atf(x)dx为函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ) [a,b) [a,b)上的反常积分 ,仍然记为: ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx,即 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= lim t → b − ∫ a t f ( x ) d x \lim\limits_{t\to{b^{-}}}\int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x t→b−lim∫atf(x)dx
(3-2) - 综合上述两种情形, f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上的反常积分为 [ a , c ) [a,c) [a,c)和 ( c , b ] (c,b] (c,b]上的反常积分之和
- ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= ∫ a c f ( x ) d x \int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x ∫acf(x)dx+ ∫ c b f ( x ) d x \int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫cbf(x)dx
敛散性
- 对于情形 ( a , b ] (a,b] (a,b]若极限(1)存在,则(3)收敛,并称该极限为(3)的反常积分值
- 否则(3)发散
- 情形 [ a , b ) [a,b) [a,b)类似
- 情形 ( a , b ) (a,b) (a,b)要求两端反常积分都收敛,才收敛,否则发散
瑕积分应用微积分基本公式
- 设 x = a x=a x=a为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点, ( a , b ] (a,b] (a,b]上 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x),若极限 lim x → a + F ( x ) \lim\limits_{x\to{a^{+}}}F(x) x→a+limF(x)存在,则 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= F ( b ) − lim x → a + F ( x ) F(b)-\lim\limits_{x\to{a^{+}}}F(x) F(b)−x→a+limF(x)= F ( b ) − F ( a + ) F(b)-F(a^{+}) F(b)−F(a+)
(4) - 仍然用记号 [ F ( x ) ] a b [F(x)]{a}^{b} [F(x)]ab来表示 F ( b ) − F ( a + ) F(b)-F(a^{+}) F(b)−F(a+),从而形式上仍然有 ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= [ F ( x ) ] a + b [F(x)]_{a^{+}}^{b} [F(x)]a+b
(4-1) - 其余情形有类似的公式:
- ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= [ F ( x ) ] a b − [F(x)]_{a}^{b^{-}} [F(x)]ab−;
(4-2) - ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= [ F ( x ) ] a + b − [F(x)]_{a^+}^{b^{-}} [F(x)]a+b−
(4-3)
- ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= [ F ( x ) ] a b − [F(x)]_{a}^{b^{-}} [F(x)]ab−;
例
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∫ 0 a 1 a 2 − x 2 d x \int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x ∫0aa2−x2 1dx, ( a > 0 ) (a>0) (a>0)
- 判断瑕点(根据积分限或定义域,试探( 0 + , a − 0^{+},a^{-} 0+,a−)即可):由于 1 a 2 − x 2 → + ∞ ( x → a − ) \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\to{+\infin}(x\to{a^{-}}) a2−x2 1→+∞(x→a−), 1 a 2 − x 2 → ( 1 a ) \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\to{(\frac{1}{a})} a2−x2 1→(a1);所以 a a a是瑕点
- ∫ 0 a 1 a 2 − x 2 d x \int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x ∫0aa2−x2 1dx= [ arcsin x a ] 0 a [\arcsin{\frac{x}{a}}]{0}^{a} [arcsinax]0a= lim x → a − 1 arcsin x a \lim\limits{x\to{a^{-1}}}{\arcsin{\frac{x}{a}}} x→a−1limarcsinax= π 2 − 0 \frac{\pi}{2}-0 2π−0= π 2 \frac{\pi}{2} 2π
- 该积分的几何意义是,位于曲线 y = 1 a 2 − x 2 y=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} y=a2−x2 1下,以及直线 x = 0 x=0 x=0与 x = a x=a x=a之间的图形区域的面积虽然不封闭,但是面积不会无限增大,而有极限值 π 2 \frac{\pi}{2} 2π(面积无限接近但不超过也不等于 π 2 \frac{\pi}{2} 2π)
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∫ 0 + ∞ 1 x ( x + 1 ) 3 d x \int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{x{(x+1)^3}}}\mathrm{d}x ∫0+∞x(x+1)3 1dx
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1 x ( x + 1 ) 3 \frac{1}{\sqrt{x{(x+1)^3}}} x(x+1)3 1= 1 ( x + 1 ) x ( x + 1 ) \frac{1}{(x+1)\sqrt{x(x+1)}} (x+1)x(x+1) 1= 1 ( x + 1 ) ( x + 1 2 ) 2 − ( 1 2 ) 2 \frac{1}{(x+1)\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2}} (x+1)(x+21)2−(21)2 1
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利用 sec 2 t − 1 = tan 2 t \sec^2{t}-1=\tan^2{t} sec2t−1=tan2t,即 ( 1 2 ) 2 sec 2 t − ( 1 2 ) 2 = ( 1 2 ) 2 tan 2 t (\frac{1}{2})^{2}\sec^2{t}-(\frac{1}{2})^{2}=(\frac{1}{2})^{2}\tan^2{t} (21)2sec2t−(21)2=(21)2tan2t来消去根号,令 x + 1 2 = 1 2 sec t x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sec{t} x+21=21sect, x = 1 2 sec t − 1 2 x=\frac{1}{2}\sec{t}-\frac{1}{2} x=21sect−21
- d x \mathrm{d}x dx= 1 2 sec t tan t d t \frac{1}{2}\sec{t}\tan{t}\mathrm{d}t 21secttantdt;
- 当 x = 0 x=0 x=0时, t = 0 t=0 t=0;当 x → + ∞ x\to{+\infin} x→+∞, t → π 2 t\to{\frac{\pi}{2}} t→2π,则 tan t > 0 \tan{t}>0 tant>0
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∫ a + ∞ 1 x ( x + 1 ) 3 d x \int_{a}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{x{(x+1)^3}}}\mathrm{d}x ∫a+∞x(x+1)3 1dx
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= ∫ 0 π 2 1 ( 1 2 sec t + 1 2 ) 1 2 ∣ tan t ∣ 1 2 sec t tan t d t \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{(\frac{1}{2}\sec{t}+\frac{1}{2})\frac{1}{2}|\tan{t}|}{\frac{1}{2}\sec{t}\tan{t}\mathrm{d}t} ∫02π(21sect+21)21∣tant∣121secttantdt
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= 2 ∫ 0 π 2 1 1 + cos t d t 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\cos{t}}\mathrm{d}t 2∫02π1+cost1dt= 2 ∫ 0 π 2 1 2 cos 2 t 2 d t 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2\cos^2{\frac{t}{2}}}\mathrm{d}t 2∫02π2cos22t1dt
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= 2 ∫ 0 π 2 1 cos 2 t 2 d ( 1 2 t ) 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2{\frac{t}{2}}}\mathrm{d}(\frac{1}{2}t) 2∫02πcos22t1d(21t)
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= 2 tan 1 2 t ∣ 0 π 2 2\tan{\frac{1}{2}t}|_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2tan21t∣02π= 2 2 2
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隐含瑕积分
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瑕积分问题不总是直接体现在积分区间的端点上,还可能在积分区间内部出现瑕点
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即:某些积分看似和定积分形式相当,但是由于积分区间内函数不连续 ,特别是出现了瑕点 (无界间断点),需要分段积分,例如 1 x 2 \frac{1}{x^2} x21在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]内的积分,需要分成两个瑕积分分别计算
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若某个区间上的积分每拆成多段积分,并且已经算得其中任何一个区间上的积分是发散的,则原来的整个积分区间内的积分是发散的
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∫ − 1 1 1 x 2 d x \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x ∫−11x21dx
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分析 f ( x ) = 1 x 2 f(x)=\frac{1}{x^2} f(x)=x21的定义域可知, f ( x ) f(x) f(x)在处点 x = 0 x=0 x=0处以外连续,结合积分区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1],可以将实际积分区间分为两部分: [ − 1 , 0 ) [-1,0) [−1,0), ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]
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lim x → 0 f ( x ) = ∞ \lim\limits_{x\to{0}}f(x)=\infin x→0limf(x)=∞,因此该积分为瑕积分:
- F ( x ) = − 1 x F(x)=-\frac{1}{x} F(x)=−x1是 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数
- 在区间 [ − 1 , 0 ) [-1,0) [−1,0)上, ∫ − 1 0 f ( x ) d x \int_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x ∫−10f(x)dx= [ − 1 x ] − 1 0 − [-\frac{1}{x}]{-1}^{0^{-}} [−x1]−10−= lim x → 0 − − 1 x − 1 \lim\limits{x\to{0^{-}}}-\frac{1}{x}-1 x→0−lim−x1−1= + ∞ +\infin +∞,该积分发散,
- F ( x ) = − 1 x F(x)=-\frac{1}{x} F(x)=−x1是 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数
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因此 ∫ − 1 1 1 x 2 d x \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x ∫−11x21dx发散
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