牛顿插值法是一种构建插值多项式的方法，它利用一系列已知的数据点来估算区间内任意点的函数值。这种方法的特点是通过计算差商（divided differences）来逐步构建插值多项式，具有较好的计算效率和承袭性，即在添加或删除数据点时，可以基于已有计算结果进行调整，无需完全重新计算。
基本步骤如下：
- 定义差商
f ( x 0 , x 1 , . . . . , x n ) = f ( x 1 , x 2 , . . . . . , x n ) − f ( x 0 , x 1 , . . . . . , x n − 1 x n − x 0 f(x_0,x_1,....,x_n)=\frac{f(x_1,x_2,.....,x_n)-f(x_0,x_1,.....,x_{n-1}}{x_n-x_0} f(x0,x1,....,xn)=xn−x0f(x1,x2,.....,xn)−f(x0,x1,.....,xn−1 - 构造插值多项式
P n ( x ) = f ( x 0 ) + ∑ i = 1 n f ( x 0 , x 1 , . . . , x i ) ∏ k = 0 i − 1 ( x − x k ) P_n(x)=f(x_0)+\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_0,x_1,...,x_i) \prod\limits_{k=0}^{i-1}(x-x_k) Pn(x)=f(x0)+i=1∑nf(x0,x1,...,xi)k=0∏i−1(x−xk) - 插值过程
- 从最低阶差商开始计算，逐步向上计算更高阶的差商。
- 根据计算出的差商构造最终的插值多项式。
- 计算 x x x的估计函数值 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)。
以下是牛顿插值法的 Python 实现：
python
import numpy as np
def newton_interpolation(x_points, y_points, target_x):
n = len(x_points)
# 初始化差商表
divided_diff = np.zeros((n, n))
if len(y_points) != n:
raise ValueError('x_points and y_points must have the same length')
# 第 0 列初始化为 y_points
divided_diff[:, 0] = y_points
# 计算 i 阶差商
for i in range(1, n):
for j in range(n - i):
divided_diff[j, i] = (divided_diff[j + 1, i - 1] - divided_diff[j, i - 1]) / (x_points[j + i] - x_points[j])
# 根据差商计算插值
result = y_points[0]
for i in range(1, n):
# 第 i 阶差商
p = divided_diff[0, i]
# 计算 x-x_j,将所有的结果相乘
for j in range(i):
p *= (target_x - x_points[j])
result += p
return result
# 测试验证
x_points = [1, 2, 3, 4]
y_points = [1, 4, 9, 16]
print(newton_interpolation(x_points, y_points, 5))