LeetCode 算法：课程表 c++

原题链接🔗 ：课程表
难度：中等⭐️⭐️

题目

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则必须先学习课程 bi。

例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程0，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回true；否则，返回false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]

输出：true

解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]

输出：false

解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i] 中的所有课程对互不相同

拓扑排序

拓扑排序是图论中的一个概念，它对有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）中的顶点进行线性排序，使得对于任何一条有向边 U -> V，顶点 U 都在顶点 V 的前面。这种排序不是唯一的。拓扑排序常用于任务调度、课程规划等场景。

以下是拓扑排序的一般步骤：

计算所有顶点的入度：入度是指有多少条边指向该顶点。对于图中的每个顶点，初始化一个计数器来记录入度。

将所有入度为0的顶点加入队列 ：入度为0的顶点表示没有依赖，可以首先进行排序。

处理队列中的顶点：

从队列中移除一个顶点，并将其加入到拓扑排序的结果列表中。

遍历该顶点的所有邻接点，将每个邻接点的入度减1（因为它们的一个依赖已经完成）。

如果某个邻接点的入度变为0,将其加入队列。

重复步骤3，直到队列为空。

检查环：如果拓扑排序的结果列表中的顶点数量等于原始图中的顶点数量，则图中没有环；否则，存在环，无法完成拓扑排序。

拓扑排序的算法可以用多种方式实现，包括Kahn算法和DFS（深度优先搜索）。

拓扑排序的时间复杂度通常是 O(V+E)，其中 V 是顶点数，E 是边数。空间复杂度为 O(V)，用于存储访问状态和排序结果。

题解

解题思路：

LeetCode 上的 "课程表" 问题（问题编号207）是一个典型的图论问题，主要考察了图的深度优先搜索（DFS）和拓扑排序的应用。

以下是这个问题的解题思路：

理解问题：首先，明确题目要求我们判断是否能够完成所有课程的学习。这等价于判断图中是否存在环，因为如果存在环，则表示有课程无法满足其所有先修条件。

构建图：根据给定的先修关系列表 prerequisites 构建一个有向图。可以使用邻接表来表示这个图，其中每个节点代表一门课程，边表示先修关系。

检测环：使用深度优先搜索（DFS）来检测图中是否存在环。在DFS过程中，使用两个集合来记录访问状态：

visited：记录已经访问过的节点。

recStack（递归栈）：记录当前递归路径上的节点，用于检测环。

DFS逻辑：

对于每个未访问的节点，执行DFS。

如果当前节点已经在 recStack 中，表示找到了一个环，返回 false。

如果当前节点已经访问过，并且不在 recStack 中，可以跳过。

将当前节点加入 visited 和 recStack。

对当前节点的所有邻接节点递归执行DFS。

递归返回后，将当前节点从 recStack 中移除。

拓扑排序：如果所有节点都可以通过DFS访问且没有检测到环，那么图是可拓扑排序的，即可以完成所有课程的学习。

c++ demo：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        vector<int> indegrees(numCourses, 0);
        vector<vector<int>> graph(numCourses);

        // 构建图并计算入度
        for (auto& pre : prerequisites) {
            graph[pre.first].push_back(pre.second);
            indegrees[pre.second]++;
        }

        // 拓扑排序
        vector<int> topsort;
        queue<int> q;
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (indegrees[i] == 0) {
                q.push(i);
            }
        }

        while (!q.empty()) {
            int course = q.front();
            q.pop();
            topsort.push_back(course);
            for (int pre : graph[course]) {
                indegrees[pre]--;
                if (indegrees[pre] == 0) {
                    q.push(pre);
                }
            }
        }

        // 如果所有课程都被排序了，图中没有环
        return topsort.size() == numCourses;
    }
};

int main() {
    Solution solution;
    // 测试用例
    vector<pair<int, int>> prerequisites = { {1, 0}, {0, 1} };
    int numCourses = 4;
    bool result = solution.canFinish(numCourses, prerequisites);

    if (result) {
        cout << "It is possible to finish all courses." << endl;
    }
    else {
        cout << "It is not possible to finish all courses." << endl;
    }

    return 0;
}

输出结果：

It is not possible to finish all courses.

代码仓库地址 ：canFinish