根据H在有限域GF(2^m)上求解生成矩阵G

原理

有时间再补充。

注1:使用高斯消去法。如果Py不为单位阵,则说明进行了列置换,此时G不是系统形式。

注2:校验矩阵H必须是行满秩才存在对应的生成矩阵G,且生成矩阵G通常不唯一。

matlab实现:只做列置换,不做行置换

Matlab 复制代码
function [G, Px, Py] = Gaussian_Elimination_in_GFq(H, q)
    
    % initial
    [m, n] = size(H);
    H_stair = mod(H,q);
    Px = eye(m); 
    Py = eye(n);
    
    for i=1:m
        for j=i:n
            if gcd(H_stair(i,j), q) == 1
                break;
            else
                if j==n
                    error('Gaussian_Elimination_in_GFq: The H is not full rank in GF(%d).',q);
                else
                    continue;
                end
            end
        end

        if j ~= i
            H_stair(:, [i, j]) = H_stair(:, [j, i]);
            Py(:, [i, j]) = Py(:, [j, i]);
        end
    end
    
    for i=1:m
        [~, x, ~] = gcd(H_stair(i,i), q);
        inv_i = mod(x, q);

        H_stair(i, :) = mod(inv_i * H_stair(i, :), q);
        Px(i, :) = mod(inv_i * Px(i, :), q);

        for j=1:m
            if j~=i && H_stair(j,i)~=0
                factor=H_stair(j, i);
                H_stair(j, :) = mod(H_stair(j, :) - factor * H_stair(i, :), q);
                Px(j, :) = mod(Px(j, :) - factor * Px(i, :), q);
            end
        end
    end

    parity_matrix = mod((q-1).*H_stair(:,m+1:n),q);
    G_fixed=[parity_matrix',eye(n-m)];
    G=G_fixed*Py';
end

matlab实现:先做行置换,若无逆元,再做列置换

Matlab 复制代码
function [G, Px, Py] = Gaussian_Elimination_in_GFq(H, q)
    
    [m, n] = size(H);
    H_stair = mod(H,q);
    Px = eye(m); 
    Py = eye(n);
    
    %% column find
    for j=1:m
        for i=j:m
            if gcd(H_stair(i,j), q) == 1
                break;
            else
                if i==m
                    %% row find
                    for k=j+1:n
                        if gcd(H_stair(j,k), q) == 1
                            break;
                        else
                            if k==n
                                error('Gaussian_Elimination_in_GFq: The H is not full rank in GF(%d).',q);
                            else
                                continue;
                            end
                        end
                    end
                    %% column exchange
                    H_stair(:,[j,k]) = H_stair(:,[k,j]);
                    Py(:,[j,k]) = Py(:,[k,j]);
                    i=j;
                    break;
                else
                    continue;
                end
            end
        end
        %% row exchange
        if i ~= j
            H_stair([j, i],:) = H_stair([i, j],:);
            Px([j, i],:) = Px([i, j],:);
        end
    end

    for i=1:m
        [~, x, ~] = gcd(H_stair(i,i), q);
        inv_i = mod(x, q);

        H_stair(i, :) = mod(inv_i * H_stair(i, :), q);
        Px(i, :) = mod(inv_i * Px(i, :), q);

        for j=1:m
            if j~=i && H_stair(j,i)~=0
                factor=H_stair(j, i);
                H_stair(j, :) = mod(H_stair(j, :) - factor * H_stair(i, :), q);
                Px(j, :) = mod(Px(j, :) - factor * Px(i, :), q);
            end
        end
    end

    parity_matrix = mod((q-1).*H_stair(:,m+1:n),q);
    G_fixed=[parity_matrix',eye(n-m)];
    G=G_fixed*Py';
    
end
相关推荐
Wendy14417 小时前
【线性回归(最小二乘法MSE)】——机器学习
算法·机器学习·线性回归
拾光拾趣录7 小时前
括号生成算法
前端·算法
渣呵8 小时前
求不重叠区间总和最大值
算法
拾光拾趣录9 小时前
链表合并:双指针与递归
前端·javascript·算法
好易学·数据结构9 小时前
可视化图解算法56:岛屿数量
数据结构·算法·leetcode·力扣·回溯·牛客网
香蕉可乐荷包蛋10 小时前
AI算法之图像识别与分类
人工智能·学习·算法
chuxinweihui10 小时前
stack,queue,priority_queue的模拟实现及常用接口
算法
tomato0910 小时前
河南萌新联赛2025第(一)场:河南工业大学(补题)
c++·算法
墨染点香10 小时前
LeetCode Hot100【5. 最长回文子串】
算法·leetcode·职场和发展
甄卷12 小时前
李沐动手学深度学习Pytorch-v2笔记【08线性回归+基础优化算法】2
pytorch·深度学习·算法