最长上升子序列(LIS)

最长上升子序列(LIS)

朴素dp(O( n 2 n^2 n2))

• 状态表示：
  • 集合dp：所有满足上升条件的元素集
  • 属性：cnt，dp[i]表示以i结尾的上升子序列长度，init(dp)=1
• 状态计算：
  • i为当前工作区间尾指针,j为当前工作区间工作指针
  • 不选i:a[j]>a[i]，无法满足最优解，不选
  • 选i:a[j]<a[i],满足上升条件,可选
    • dp[i]的结果转移自dp[j]，因此转移方程为 d p [ i ] = m a x ( d p [ i ] , d p [ j ] + 1 ) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)，当 d p [ i ] = d p [ j ] + 1 dp[i]=dp[j]+1 dp[i]=dp[j]+1时，说明a[i]已选，否则证明a[j]包含在之前已选的子集中

extern vector<int>v(n),dp(n,1);
int dp(){
	for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(v[j]<v[i])//选v[i]
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    return *max_element(dp.begin(),dp.end());
}

LCS求解LIS(O( n 2 n^2 n2))

思路：将序列排序，两序列的LCS即为原序列的LIS

贪心+二分(O( n log ⁡ n n\log n nlogn))