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多维特征
变量与术语
| 列属性x~j~ | 属性数n | x ⃗ \vec{x} x ^(i)^行向量 | 某个值 x ⃗ j i \vec{x}_j^i x ji上行下列 |
|---|---|---|---|
| 均值μ | 标准化 | 标准差σ | sigma（σ） |
公式
w ⃗ \vec{w} w = [w~1~ w~2~ w~3~ ...]
x ⃗ \vec{x} x = [x~1~ x~2~ x~3~ ...]
f w ⃗ , b ( x ⃗ ) = w ⃗ ∗ x ⃗ + b = w 1 x 1 + w 2 x 2 + ... + w n x n + b f_{\vec{w},b} (\vec{x}) = \vec{w} * \vec{x} + b = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w _nx_n + b fw ,b(x )=w ∗x +b=w1x1+w2x2+...+wnxn+b
多元线性回归
python
import numpy
f = np.dot(w, x) + b注：n很大的时候很快(并行处理)
正规方程法
- 大于1000效率低
- 不能推广到其他算法，如逻辑回归，神经网络或其他算法。
- 没有迭代
w n = w n − α 1 m ∑ i = 1 m f w ⃗ , b ( x ⃗ ( i ) − y ( i ) ) x n ( i ) w_n = w_n - α\dfrac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^mf_{\vec{w},b}(\vec{x}^{(i)}-y^{(i)})x_n^{(i)} wn=wn−αm1i=1∑mfw ,b(x (i)−y(i))xn(i)
b = b − α 1 m ∑ i = 1 m ( f w ⃗ , b ( x ⃗ ( i ) − y ( i ) ) b = b - α{\dfrac{1}{m}}\sum\limits_{i=1}^m(f_{\vec{w},b}(\vec{x}^{(i)}-y^{(i)}) b=b−αm1i=1∑m(fw ,b(x (i)−y(i))
较大范围的自变量对应权重趋于更小，较小范围的自变量对应权重趋于更大。
Mean normalization
除以范围的最大值以求得权重与自变量的[0, 1]
横坐标： x 1 = x 1 − μ 1 2000 − 300 x_1 = \dfrac{x_1-μ_1}{2000-300} x1=2000−300x1−μ1 纵坐标： x 2 = x 2 − μ 2 5 − 0 x_2 = \dfrac{x_2 - μ_2}{5-0} x2=5−0x2−μ2
− 0.18 ≤ x 1 ≤ 0.82 -0.18\le x_1\le0.82 −0.18≤x1≤0.82 − 0.46 ≤ x 2 ≤ 0.54 -0.46\le x_2\le0.54 −0.46≤x2≤0.54
Z-score normalization
300 ≤ x 1 ≤ 2000 300\le x_1\le2000 300≤x1≤2000 0 ≤ x 2 ≤ 5 0\le x_2\le5 0≤x2≤5
x 1 = x 1 − μ 1 σ 1 x1 = \dfrac{x_1-μ_1}{σ_1} x1=σ1x1−μ1 − 0.67 ≤ x 1 ≤ 3.1 -0.67\le x_1\le3.1 −0.67≤x1≤3.1
通过缩放尽量让所有特征的取值在差不多范围，这样它们的变化对预测值的影响都是接近的 接近(-3,3)
如果成本函数J变大，那么说明步长（学习率）不合适，或代码有误
注：迭代次数因机器而异
除了通过绘制曲线判断迭代到什么地步之外还可以采用自动收敛测试
让 ε 等于 1 0 − 3 10^{-3} 10−3，J的减小幅度小于这个很小的数则视作收敛。
设置合适的学习率
- 测试时可以设置一个很小的值, 看J是否减小
- 迭代时学习率不宜过大不宜过小
- 测试时每次 * 3，选择尽可能大的学习率，或是比合理值略小的
Feature engineering
通过变换或组合建立特征工程，给予更多选择
f w ⃗ , b ( x ⃗ ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + b f_{\vec{w},b}(\vec{x}) = w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+b fw ,b(x )=w1x1+w2x2+w3x3+b
注：多项式回归可以用于线性和非线性拟合