抽象代数精解【3】

文章目录

• 群
• • 难点与例子
• 子群
• • 概述
  • • 一、定义
    • 二、性质
    • 三、判别条件
    • 四、举例
    • 五、应用
  • 复数的运算
  • • [1. 加法](#1. 加法)
    • [2. 减法](#2. 减法)
    • [3. 乘法](#3. 乘法)
    • [4. 除法](#4. 除法)
    • 复数运算的注意事项
  • 难点与例子
• 参考文献

群

难点与例子

• 证： 行列式为 1 的 n 阶整数矩阵组成的集合 S L n ( Z ) ，关于矩阵的乘法构成群。 行列式为1的n阶整数矩阵组成的集合SL_n(Z)，关于矩阵的乘法构成群。 行列式为1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z)，关于矩阵的乘法构成群。
  1. ∀ A , B ∈ S L n ( Z ) , ∣ A B ∣ = 1 , A B ∈ S L n ( Z ) 2. 矩阵乘法满足结合律 3. A E = E A = A ，单位元为 E 4. A ∗ 伴随矩阵 , ∣ A ∗ ∣ = 1 , A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E = E 1.\forall A,B \in SL_n(Z) ,|AB|=1,AB \in SL_n(Z) \\2. 矩阵乘法满足结合律 \\3.AE=EA=A，单位元为E \\4.A^*伴随矩阵,|A^*|=1,AA^*=A^*A=|A|E=E 1.∀A,B∈SLn(Z),∣AB∣=1,AB∈SLn(Z)2.矩阵乘法满足结合律3.AE=EA=A，单位元为E4.A∗伴随矩阵,∣A∗∣=1,AA∗=A∗A=∣A∣E=Ebbbb
• 证：所有形如 2 m 3 n ( m , n ∈ Z ) 2^m3^n(m,n \in Z) 2m3n(m,n∈Z)的有理数的集合关于数的乘法构成群。
  1. 2 m 1 3 n 1 2 m 2 3 m 2 = 2 m 1 + m 2 3 n 1 + n 2 ( m 1 , m 2 , n 1 , n 2 ∈ Z ) 2. ( 2 m 1 3 n 1 2 m 2 3 m 2 ) 2 m 3 3 n 3 = 2 m 1 3 n 1 ( 2 m 2 3 m 2 2 m 3 3 n 3 ) 3. 2 m 3 n ∗ 1 = 1 ∗ 2 m 3 n = 2 m 3 n 4. ( 2 m 3 n ) ∗ ( 2 − m 3 − n ) = ( 2 − m 3 − n ) ∗ ( 2 m 3 n ) = 1 1. 2^{m_1}3^{n_1}2^{m2}3^{m2}=2^{m1+m2}3^{n1+n2}(m1,m2,n1,n2 \in Z) \\2.( 2^{m_1}3^{n_1}2^{m_2}3^{m_2}) 2^{m_3}3^{n_3}=2^{m_1}3^{n_1}(2^{m_2}3^{m_2} 2^{m_3}3^{n_3}) \\3.2^m3^n*1=1*2^m3^n=2^m3^n \\4.(2^m3^n)*(2^{-m}3^{-n})=(2^{-m}3^{-n})*(2^m3^n)=1 1.2m13n12m23m2=2m1+m23n1+n2(m1,m2,n1,n2∈Z)2.(2m13n12m23m2)2m33n3=2m13n1(2m23m22m33n3)3.2m3n∗1=1∗2m3n=2m3n4.(2m3n)∗(2−m3−n)=(2−m3−n)∗(2m3n)=1
• G是群， ∀ x ∈ G , x 2 = e \forall x \in G,x^2=e ∀x∈G,x2=e则G是一个交换群。
  证明： ∀ x , y , a ∈ G x y = a , y = x a , y x = x a x , a y x = a x a x , a y x = e , y x = a x y = y x = a 证明：\forall x,y,a \in G \\xy=a,y=xa,yx=xax,ayx=axax,ayx=e,yx=a \\xy=yx=a 证明：∀x,y,a∈Gxy=a,y=xa,yx=xax,ayx=axax,ayx=e,yx=axy=yx=a
• G是群,G是交换群的充要条件是： ∀ a , b ∈ G , ( a b ) 2 = a 2 b 2 \forall a,b \in G,(ab)^2=a^2b^2 ∀a,b∈G,(ab)2=a2b2
  1. 充分性 a b = b a a b a b = a a b b = a 2 b 2 2. 必然性 a b a b = a a b b b a b = a b b , a b = b a 1.充分性 \\ab=ba \\abab=aabb=a^2b^2 \\2.必然性 \\abab=aabb \\bab=abb,ab=ba 1.充分性ab=baabab=aabb=a2b22.必然性abab=aabbbab=abb,ab=ba
• G为有限群，证明：G中使 x 3 = e x^3=e x3=e的元素x的个数是奇数。
  1. e 3 = e 2. x ≠ e , x 3 = e , ( x − 1 ) 3 = e , x ≠ x − 1 = > x 出现的次数 = x − 1 出现的次数 , x 和 x − 1 成对出现 3. 再加上 e ，所以个数为奇数 1. e^3=e \\2.x \ne e,x^3=e,(x^{-1})^3=e,x \ne x^{-1}=>x出现的次数=x^{-1}出现的次数,x和x^{-1}成对出现 \\3.再加上e，所以个数为奇数 1.e3=e2.x=e,x3=e,(x−1)3=e,x=x−1=>x出现的次数=x−1出现的次数,x和x−1成对出现3.再加上e，所以个数为奇数

子群

概述

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子群是群论中的一个基本概念，它指的是群的一个特殊的非空子集，该子集在群的运算下也构成一个群。以下是关于子群的详细解释：

一、定义

设G是一个群，H是G的一个非空子集。如果H对于G的乘法运算满足以下两个条件：

1. 封闭性：对于任意h, k ∈ H，都有hk ∈ H（即H中的任意两个元素的乘积仍在H中）。
2. 群性质：H在乘法运算下满足结合律，且存在单位元（即G的单位元，因为子群的单位元也是群的单位元）和逆元（即H中任意元素的逆元也在H中）。

那么，H就称为G的子群，记作H ≤ G（或简记为H < G）。

二、性质

1. 单位元：子群的单位元就是群的单位元。
2. 逆元：子群中任意元素的逆元也在子群中。
3. 封闭性：子群在群的运算下是封闭的。
4. 传递性：如果H是G的子群，K是H的子群，那么K也是G的子群。
5. 交集：两个子群的交集仍然是子群。但并集不一定是子群，除非其中一个子群包含另一个子群。

三、判别条件

判断一个群G的非空子集H是否为G的子群，通常需要验证以下两个条件：

1. 封闭性：对于任意h, k ∈ H，都有hk ∈ H。
2. 逆元存在性：对于任意h ∈ H，都存在h的逆元 h − 1 h^{-1} h−1 ∈ H。

如果H满足这两个条件，则H就是G的子群。

四、举例

1. 平凡子群：任何群G都有两个平凡子群，即只包含单位元的子集{e}和群G本身。
2. 整数模n加法群：设n是正整数，(Z/nZ, +)是一个群，其中Z/nZ表示所有模n同余的整数集合，+表示模n加法。那么，对于任意正整数d整除n，(dZ/nZ, +)就是(Z/nZ, +)的一个子群。
3. 矩阵群：设GL(n, F)是定义在域F上的n阶可逆矩阵群，那么SL(n, F)（即行列式为1的n阶矩阵组成的群）就是GL(n, F)的一个子群。

五、应用

子群在群论中扮演着重要的角色，它们是研究群结构的重要工具。通过子群，我们可以更好地理解群的性质、分类以及构造新的群。此外，子群还在数学的其他分支（如代数几何、数论等）以及物理学、化学等领域中有广泛的应用。

复数的运算

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复数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。复数的一般形式为 a + b i a + bi a+bi，其中 a a a 是实部， b b b 是虚部， i i i 是虚数单位，满足 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1。以下是对复数运算的详细解释：

1. 加法

定义：将两个复数相加得到一个新的复数。

规则：实部相加，虚部相加。

公式 ：若 z 1 = a + b i z_1 = a + bi z1=a+bi 且 z 2 = c + d i z_2 = c + di z2=c+di，则 z 1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d ) i z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i z1+z2=(a+c)+(b+d)i。

示例 ： ( 3 + 2 i ) + ( 1 + 4 i ) = 4 + 6 i (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i (3+2i)+(1+4i)=4+6i。

2. 减法

定义：将一个复数减去另一个复数得到一个新的复数。

规则：实部相减，虚部相减。

公式 ：若 z 1 = a + b i z_1 = a + bi z1=a+bi 且 z 2 = c + d i z_2 = c + di z2=c+di，则 z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i z1−z2=(a−c)+(b−d)i。

示例 ： ( 3 + 2 i ) − ( 1 + 4 i ) = 2 − 2 i (3 + 2i) - (1 + 4i) = 2 - 2i (3+2i)−(1+4i)=2−2i。

3. 乘法

定义：将两个复数相乘得到一个新的复数。

规则 ：使用分配律进行乘法运算，并注意 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1。

公式 ：若 z 1 = a + b i z_1 = a + bi z1=a+bi 且 z 2 = c + d i z_2 = c + di z2=c+di，则 z 1 × z 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z_1 \times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i z1×z2=(ac−bd)+(ad+bc)i。

示例 ： ( 3 + 2 i ) × ( 1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i − 8 = − 5 + 14 i (3 + 2i) \times (1 + 4i) = 3 + 12i + 2i - 8 = -5 + 14i (3+2i)×(1+4i)=3+12i+2i−8=−5+14i（注意，这里的示例与参考文章2中的示例有所不同，但原理相同）。

4. 除法

定义：将一个复数除以另一个复数得到一个新的复数。

规则：将除数和被除数都乘以除数的共轭复数，然后进行乘法运算。

公式 ：若 z 1 = a + b i z_1 = a + bi z1=a+bi 且 z 2 = c + d i z_2 = c + di z2=c+di（其中 c ≠ 0 c \neq 0 c=0 且 d ≠ 0 d \neq 0 d=0），则 z 1 / z 2 = a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i z_1 / z_2 = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i z1/z2=c+dia+bi=(c+di)(c−di)(a+bi)(c−di)=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi。

示例 ： ( 3 + 2 i ) / ( 1 + 4 i ) = ( 3 + 2 i ) ( 1 − 4 i ) ( 1 + 4 i ) ( 1 − 4 i ) = 3 − 12 i + 2 i − 8 i 2 1 − 4 i + 4 i − 16 i 2 = 3 + 8 + ( − 12 + 2 ) i 1 + 16 = 11 25 + 2 25 i (3 + 2i) / (1 + 4i) = \frac{(3 + 2i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{3 - 12i + 2i - 8i^2}{1 - 4i + 4i - 16i^2} = \frac{3 + 8 + (-12 + 2)i}{1 + 16} = \frac{11}{25} + \frac{2}{25}i (3+2i)/(1+4i)=(1+4i)(1−4i)(3+2i)(1−4i)=1−4i+4i−16i23−12i+2i−8i2=1+163+8+(−12+2)i=2511+252i。

复数运算的注意事项

1. 共轭复数 ：在复数除法中，共轭复数的概念非常重要。一个复数 a + b i a + bi a+bi 的共轭复数是 a − b i a - bi a−bi。
2. 运算顺序：在进行复数运算时，通常遵循先乘除后加减的原则，并注意使用括号改变运算顺序。
3. 复数的几何表示：复数也可以在复平面上用几何形式表示，这为复数运算提供了直观的几何解释。

综上所述，复数运算包括加法、减法、乘法和除法，每种运算都有其特定的规则和公式。在进行复数运算时，需要遵循这些规则和公式，并注意共轭复数的概念以及运算顺序。

难点与例子

• H = { a + b i ∣ a , b ∈ R , a 2 + b 2 = 1 , i 2 = − 1 } H=\{a+bi|a,b \in R,a^2+b^2=1,i^2=-1\} H={a+bi∣a,b∈R,a2+b2=1,i2=−1}，证明：H关于数的乘法构成 C ∗ C^* C∗的子群。
  1. x = a 1 + b 1 i , y = a 2 + b 2 i 2. x y = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 a 2 i − b 1 b 2 = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) 2 + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 2 = 1 , i 2 = 1 = > ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i ∈ H 3. x = a + b i , x − 1 = 1 a + b i = a − b i a 2 + ( − b ) 2 = 1 , i 2 = 1 = > a − b i ∈ H 1.x=a_1+b_1i,y=a_2+b_2i \\2.xy=a_1a_2+a_1b_2i+b_1a_2i-b_1b_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i\ \\(a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2)^2=1,i^2=1 \\=>(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i \in H \\3.x=a+bi,x^{-1}=\frac {1} {a+bi}=a-bi \\a^2+(-b)^2=1,i^2=1 \\=>a-bi \in H 1.x=a1+b1i,y=a2+b2i2.xy=a1a2+a1b2i+b1a2i−b1b2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i (a1a2−b1b2)2+(a1b2+b1a2)2=1,i2=1=>(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i∈H3.x=a+bi,x−1=a+bi1=a−bia2+(−b)2=1,i2=1=>a−bi∈H

参考文献

《近世代数（第三版）》