算法复杂度＜数据结构 C版＞

什么是算法复杂度？

简单来说算法复杂度是用来衡量一个算法的优劣的，一个程序在运行时，对运行时间和运行空间有要求，即时间复杂度和空间复杂度。

什么是算法复杂度？

大O的渐近表达式

时间复杂度示例

空间复杂度示例

常见复杂度对比：

大O的渐近表达式

时间复杂度，我们常常使用大O的渐近表示法

推导大O阶的规则：

●时间复杂度函数式T(N)中，只保留高阶项，去掉那些低阶项。

（因为当N不断变大时，低阶项对结果的影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了）

●如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项目的常数系数。

（因为当N不断变大，这个系数对结果的影响不断变小，当N无穷大时，其就可以忽略不计了）

●T(N)如果没有N相关的项目，只有常数项，那么就用常数1替代所有加法。

时间复杂度示例

cpp 复制代码

// 计算Func2的时间复杂度？ 
void Func2(int N) 
{ 
     int count = 0; //1次
     for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) 
     { 
         ++count; //2*N次
     } 
     int M = 10; 
     while (M--) 
     { 
         ++count; //10次
     } 
     printf("%d\n", count); 
}

得：T(N)=1+2*N+10

由第一条和第二条规则得到时间复杂度O(N).

cpp 复制代码

// 计算Func3的时间复杂度？ 
void Func3(int N, int M) 
{ 
     int count = 0; 
     for (int k = 0; k < M; ++ k) //M次
     { 
         ++count; 
     } 
     for (int k = 0; k < N ; ++ k) //N次
     { 
         ++count; 
     } 
 printf("%d\n", count); 
}

得：T(N)=M+N

由第一条规则或第二条规则得到时间复杂度O(N).

（因为使用N代表其中增长速度快的哪一项，则忽略掉增长速度慢的那一项，当M和N增长速度一样时为2N，则忽略系数）

cpp 复制代码

// 计算Func4的时间复杂度？ 
void Func4(int N) 
{ 
     int count = 0; 
     for (int k = 0; k < 100; ++ k) //100次
     { 
         ++count; 
     } 
     printf("%d\n", count); 
}

得：T(N)=100

由第三条规则得到时间复杂度O(1).

cpp 复制代码

// 计算strchr的时间复杂度？ 
const char * strchr ( const char * str, int character)
{
     const char* p_begin = s;
     while (*p_begin != character)
     {
         if (*p_begin == '\0')
             return NULL;
         p_begin++;
     }
     return p_begin;
}

①最好情况

str的第一个字符就等于character，得：T(N)=1，则时间复杂度为O(1).

②平均情况

要查找的字符在str的中间，得：T(N)=N/2，则时间复杂度为O(N).

③最差情况

要查找字符在str的末尾，得：T(N)=N，则时间复杂度为O(N).

一般的我们取最差情况来表示算法的时间复杂度

★某些算法存在分情况的时间复杂度

●最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）.

●平均情况：任意输入规模的平均次数.

●最好情况：任意输入规模的最小次数（下界）.

cpp 复制代码

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ 
void BubbleSort(int* a, int n) 
{ 
     assert(a); 
     for (size_t end = n; end > 0; --end) 
     { 
         int exchange = 0; 
     for (size_t i = 1; i < end; ++i) 
     { 
         if (a[i-1] > a[i]) 
         { 
             Swap(&a[i-1], &a[i]); 
             exchange = 1; 
         } 
     } 
     if (exchange == 0) 
         break; 
 } 
}

通过上面的分析，我们可尝试求出三种情况：

最坏情况：倒序，O(N^2)

平均情况：平均情况，O(N^2）

最好情况：有序，O(N)

cpp 复制代码

void func5(int n)
{
     int cnt = 1;
     while (cnt < n)
     {
         cnt *= 2;
     }
}

分析得T(N)=log2n,即O(logn).

cpp 复制代码

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？ 
long long Fac(size_t N) 
{ 
     if(0 == N)
        return 1; 
 return Fac(N-1)*N; 
}

时间复杂度：O(N).

空间复杂度示例

空间复杂度的表示也使用大O表达式。

cpp 复制代码

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ 
void BubbleSort(int* a, int n) 
{ 
     assert(a); //1次
     for (size_t end = n; end > 0; --end) //一次
     { 
         int exchange = 0; //一次
     for (size_t i = 1; i < end; ++i) //一次
     { 
         if (a[i-1] > a[i]) 
         { 
             Swap(&a[i-1], &a[i]); 
             exchange = 1; 
         } 
     } 
     if (exchange == 0) 
         break; 
     } 
}

空间复杂度：O(1).

cpp 复制代码

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？ 
long long Fac(size_t N) 
{ 
 if(N == 0) 
     return 1; 
 
 return Fac(N-1)*N; 
}

开辟了N个函数栈帧，空间复杂度为O(N)