哈夫曼树(Huffman Tree)

​​1. 基本概念

哈夫曼树(Huffman Tree),又称最优二叉树 ,是一种带权路径长度(WPL, Weighted Path Length)最短的二叉树。它主要用于数据压缩编码优化,通过为不同权值的节点分配不同长度的编码,使得高频数据占用更短的编码,从而减少整体存储空间。


2. 关键术语

  • 路径(Path)​:从树的一个节点到另一个节点的分支序列。
  • 路径长度(Path Length)​:路径上的分支数量。
  • 带权路径长度(WPL, Weighted Path Length)​:所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度之和
  • 其中,wi 是第 i 个叶子节点的权值,li 是其到根节点的路径长度。
  • 最优二叉树:具有最小 WPL 的二叉树。

3. 构造哈夫曼树的步骤

假设有 n 个权值 {w1​,w2​,...,wn​},构造哈夫曼树的算法如下:

  1. 初始化:将每个权值 wi 看作一棵只有根节点的二叉树,构成一个森林 F={T1,T2,...,Tn}。
  2. 合并最小权值树
    • 在森林 F 中选取两棵根节点权值最小的树 Ti 和 Tj。
    • 合并它们为一棵新树,新树的根节点权值为 wi+wj,左子树为 Ti,右子树为 Tj。
    • 将新树加入森林 F,并删除 Ti 和 Tj。
  3. 重复合并:重复步骤 2,直到森林 F 中只剩下一棵树,即为哈夫曼树。

示例 ​:

给定权值集合 {5,9,12,13,16,45},构造哈夫曼树的过程如下:

  1. 初始森林:{5,9,12,13,16,45}
  2. 合并最小的 5 和 9 → 新树权值 14
    森林:{12,13,14,16,45}
  3. 合并最小的 12 和 13 → 新树权值 25
    森林:{14,16,25,45}
  4. 合并最小的 14 和 16 → 新树权值 30
    森林:{25,30,45}
  5. 合并最小的 25 和 30 → 新树权值 55
    森林:{45,55}
  6. 合并 45 和 55 → 最终哈夫曼树
    根节点权值 100

最终哈夫曼树结构​:

复制代码
        [100]
       /     \
    [45]     [55]
             /    \
          [25]    [30]
         /  \     /  \
      [12][13] [14][16]
               /  \
              [5] [9]

4. 哈夫曼编码

哈夫曼编码是一种前缀编码​(Prefix Code),即没有任何一个编码是另一个编码的前缀,从而避免解码时的歧义。

编码规则​:

  • 左分支 :赋值为 0
  • 右分支 :赋值为 1
  • 从根节点到叶子节点的路径即为该字符的编码。

示例编码​(基于上述哈夫曼树):

给定权值集合 {5,9,12,13,16,45}

字符 权值 编码
A 5 0000
B 9 0001
C 12 001
D 13 010
E 16 011
F 45 1

计算 WPL ​(带权路径长度)

WPL=5×4+9×4+12×3+13×3+16×3+45×1=224


5. 哈夫曼树的性质

  1. 唯一性 :给定权值集合,哈夫曼树的形态可能不唯一(合并顺序不同),但 WPL 相同。
  2. 最优性:哈夫曼树的 WPL 是最小的。
  3. 叶子节点数 = 权值个数:哈夫曼树中没有度为 1 的节点(即没有单分支节点)。

6. 应用场景

  1. 数据压缩(如 ZIP、JPEG、MP3 等格式)。
  2. 文件存储优化(减少冗余数据)。
  3. 网络传输(降低带宽占用)。
  4. 机器学习(决策树、特征选择等)。

7. 总结

  • 哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树,用于优化数据编码。
  • 构造方法:贪心算法,每次合并最小的两个权值。
  • 编码方式 :左 01,保证前缀无歧义。
  • 应用广泛:数据压缩、存储优化等。
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