前言
因为本人天资愚钝，所以总喜欢将抽象化的事务具象化表达。对于各类眼花缭乱的树，只需要认知到它们只是一种数据结构，类似数组，切片，列表，映射等这些耳熟能详的词汇。对于一个数据结构而言，无非就是增删改查而已，既然各类树也是数据结构，它们就不能逃离增删改查的桎梏。
那么，为什么我们需要树这种数据结构呢，直接用数组不行吗，用切片不行吗？当然可以，只不过现实世界是缤纷杂乱的，而又没有一种万能药式的数据结构以应对千变万化的业务需求。所以，才会有各类树，而且一些"高级"数据结构是基于树形数据结构的，例如映射。
二叉树
在中文语境中，节点结点傻傻分不清楚，故后文以 node 代表 "结点"，root node 代表根节点，child node 代表 "子节点"
二叉树是诸多树状结构的始祖，至于为什么不是三叉树，四叉树，或许是因为计算机只能数到二吧，哈哈，开个玩笑。二叉树很简单，每个 node 最多存在两个 child node，第一个节点称之为 root node。
二叉树具备着一些基本的数学性质，不过很简单，定义从 i 从 0 开始：
- 第
i层至多有2^i^ 个 node； - 深度为 i 层二叉树至多有
2^i+1^-1个 node。
二叉树的特殊类型
这里有兴趣的可以了解一下，不影响后文的阅读。二叉树根据 child node 的不同，衍生出了几种特殊类型：在一颗二叉树中，如果每个 node 都有 0 或 2 个 child node，则二叉树是满二叉树 ；定义从 i 从 0 开始，一棵深度为 i，且仅有 2^i+1^−1 个 node 的二叉树，称为完美二叉树 ；若除最后一层外的其余层都是满的，并且最后一层要么是满的，要么在右边缺少连续若干 node，则此二叉树为完全二叉树。
二叉搜索树
二叉搜索树（Binary Search Tree），也叫二叉查找树，有序二叉树，排序二叉树（名字还挺多）。它是一种常用且特殊的二叉树，它具备一个特有的性质，left node（左结点）始终小于 parent node (父结点)，right node 始终大于 parent node。
二叉搜索树的查找
- 二叉搜索树从 root node 开始，如果命中则返回；
- 否则，目标值比 node 小进入 left node；
- 比 node 大进入 right node；
- 如果左右都为空，则未命中。
二叉搜索树的遍历
二叉搜索树有不同的遍历方式，这里介绍常用的中序遍历方式：
- 先遍历左子树；
- 然后查找当前左子树的 parent node；
- 遍历右子树。
二叉搜索树的插入
- 二叉搜索树从 root node 开始，如果命中则不进行操作；
- 否则，目标值比 node 小进入 left node；
- 比 node 大进入 right node；
- 最终将值插入搜索停止的地方。
二叉搜索树的删除
二叉树的删除和查询基本一致，只要在命中时删除即可。
- 二叉搜索树从 root node 开始，如果命中则删除；
- 否则，目标值比 node 小进入 left node；
- 比 node 大进入 right node；
- 删除后使用该 node 左子树最大值或者右子树最小值替代该 node。
自平衡二叉树
从上面的几张动图中我们知晓，二叉搜索树不同于线性结构，它可以大大降低查找，插入的时间复杂度。但在特殊情况下，二叉搜索树可能退化为线性结构，假如我们依次插入1，2，3，4，5：
此时，二叉搜索树退化为线性结构，效率重新变回遍历。于是，便出现了自平衡二叉树，例如 AVL 树，红黑树，替罪羊树等。但它们并不是本文重点，下面我要介绍的是另外一种很常见的自平衡二叉树：B树。
B树
**B树和B-树是同一个概念。**B树相对于二叉树有两点最大的不同：
- 每个 node 可以有不止一个数值
- 每个 node 也可以有不止两个 child node
B树有两种类型 node：
- internal node(内部结点)：不仅仅存储数据，也具备 child node；
- leaf node(叶子结点)：仅存储数据，不具备 child node。
这两种 node 不同于前文所提的 root node 和 child node。root 和 child 是相对于阶层的概念，而 internal 和 leaf 是相对于性质的概念
一个简单的图例如下：
图中的蓝色方块是 internal node，绿色则是 leaf node。
B树有一些需要满足的性质，这里的抽象的逻辑有些烧脑，我会对照前面的图片来解释。设定一颗 m 阶的B树，m = 3：
设 internal node 的 child node 个数为 k：
- 如果 internal node 是 root node，那么
k = [2, m]，比如上图的 8 有两个 child node（3|6, 10/12）； - 如果 internal node 不是 root node，那么
k = [m/2, m]，m/2 向上取整，比如上图的3|6有三个 child node； - 如果 root node 的
k为 0，那么 root node 是 leaf 类型的； - 所有 leaf node 在同一层，上图最后一行的六个 node。
设任意 node 键值个数为 n：
- 对于 internal node，
n = k-1， 升序排序，满足k[i] < k[i+1]，比如上图的三个 internal(8，3|6，10|12) 都满足此规律； - 对于 leaf node，
n = [0, m-1]，同样升序排序，比如上图最后一个的六个 leaf，其键值最多为两个。
上述的概念有些抽象，但是这是理解B树关键的地方所在，后面在B树的插入讲解，会有更多具象的动图来解释这些概念。
B树的查找
B树的查找类似于二叉树：
- 从 root node 开始，如果目标值小于 root node，进入左子树，否则进入右子树；
- 遍历 child node 的多个键值；
- 如果匹配到键值，则返回；
- 如果不匹配，则根据目标值的范围选择对应的子树；
- 重复步骤2、3、4，直到匹配成功返回或者未找到。
假如我们要查找 11：
B树的遍历
B树的遍历方式类似二叉搜索树，不过因为B树一个 node 有多个键值和多个 child node，所以需要遍历每个左右子树和键值：
- 先遍历第一个左子树，也就是 parent node 第一个键值的左边；
- 然后查找当前 parent node 的第一个键值；
- 遍历第二个左子树，也就是 parent node 第二个键值的左边；
- 遍历完搜索的左子树，最后遍历当前 parent 的最右子树，即最后一个键值的右边。
B树的插入
插入前面的过程和查询一致，在插入后可能需要重整 node，以符合B树的性质，例如插入 16：
- 先查找到目标 node，也就是
13|15； - 因为这是一颗 3 阶B树，所以 node 最多只能有两个键值，于是向上传递中间值 15；
- parent node 最多也只能有两个键值，于是继续向上传递中间值 12；
- 此时 root node 是 8|12，需要有三个 child node，于是 10|15 需要拆分，再向下进一步调整，至此，插入 16 完成。
B树的删除
删除是插入的逆操作，但是往往比插入更复杂，因为删除后经常需要重整 node：
- 先查找到目标 node，也就是
16； - 删除 16，此时 15 child node 剩下一个，不符合条件，递归向上调整，一直到根节点；
- 直到所有的条件都满足后，删除 16 完成。
