A * 算法精讲 （A star算法）
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卡码网：126. 骑士的攻击
题目描述
在象棋中，马和象的移动规则分别是"马走日"和"象走田"。现给定骑士的起始坐标和目标坐标，要求根据骑士的移动规则，计算从起点到达目标点所需的最短步数。
棋盘大小 1000 x 1000（棋盘的 x 和 y 坐标均在 [1, 1000] 区间内，包含边界）
输入描述
第一行包含一个整数 n，表示测试用例的数量。
接下来的 n 行，每行包含四个整数 a1, a2, b1, b2，分别表示骑士的起始位置 (a1, a2) 和目标位置 (b1, b2)。
输出描述
输出共 n 行，每行输出一个整数，表示骑士从起点到目标点的最短路径长度。
输入示例
6
5 2 5 4
1 1 2 2
1 1 8 8
1 1 8 7
2 1 3 3
4 6 4 6
输出示例
2
4
6
5
1
0
思路
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我们看到这道题目的第一个想法就是广搜，这也是最经典的广搜类型题目。
这里我直接给出广搜的C++代码：
code c++ 超时
cpp
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#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
void bfs(int a1,int a2, int b1, int b2)
{
queue<int> q;
q.push(a1);
q.push(a2);
while(!q.empty())
{
int m=q.front(); q.pop();
int n=q.front(); q.pop();
if(m == b1 && n == b2)
break;
for(int i=0;i<8;i++)
{
int mm=m + dir[i][0];
int nn=n + dir[i][1];
if(mm < 1 || mm > 1000 || nn < 1 || nn > 1000)
continue;
if(!moves[mm][nn])
{
moves[mm][nn]=moves[m][n]+1;
q.push(mm);
q.push(nn);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2, b1, b2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
bfs(a1, a2, b1, b2);
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}
code python 1
py
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from collections import deque
def bfs(points):
start = points[:2]
end = points[-2:]
if start == end:return 0
grid = [[0 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
visited = [[False for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
que = deque([start])
visited[start[0]][start[1]] = True
dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
counts = 0
while que:
counts += 1
lens = len(que)
for _ in range(lens):
point = que.popleft()
# print('\n', point)
for i in range(len(dir)):
nextx = point[0] + dir[i][0]
nexty = point[1] + dir[i][1]
if visited[nextx][nexty] or nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000:continue
else:
visited[nextx][nexty] = True
grid[nextx][nexty] = counts
# print(nextx, nexty, counts)
if nextx == end[0] and nexty == end[1]:
return counts
else:
que.append([nextx, nexty])
from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
res = bfs(points)
print(points, res)
code python 2
py
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from collections import deque
def bfs(points):
start = points[:2]
end = points[-2:]
if start == end:return 0
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
que = deque([start])
grid[start[0]][start[1]] = 0
dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
counts = 0
while que:
counts += 1
lens = len(que)
for _ in range(lens):
point = que.popleft()
# print('\n', point)
for i in range(len(dir)):
nextx = point[0] + dir[i][0]
nexty = point[1] + dir[i][1]
if grid[nextx][nexty]!=-1 or nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000:continue
else:
grid[nextx][nexty] = counts
# print(nextx, nexty, counts)
if nextx == end[0] and nexty == end[1]:
return counts
else:
que.append([nextx, nexty])
from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
res = bfs(points)
print(points, res)
code python 3
py
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## 20240717 code
from collections import deque
def bfs(points, grid):
start = points[:2]
end = points[-2:]
# grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
grid[start[0]][start[1]] = 0
offsets = [[-2, -1], [-2, 1], [2, -1], [2, 1], [1, -2], [1, 2], [-1, -2], [-1, 2]] # 8个可以移动的offset
## 初始化， 进入队列
que = deque([start])
counts = 0 # 统计走了几步到达目标点
while que:
node = que.popleft() # 取出元素
counts += 1
if node[0] == end[0] and node[1] == end[1]:
print(f'counts"{counts}')
break # 找到终点了 因为是先赋值， 后判断
for i in range(8): # 8个可以移动的offset
nextx = node[0] + offsets[i][0]
nexty = node[1] + offsets[i][1]
# 索引的合法性进行判断
if nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000: continue
# 如果grid没有被访问过
if grid[nextx][nexty] == -1:
# 数值在node 的 基础上 + 1
grid[nextx][nexty] = grid[node[0]][node[1]] + 1
# 该位置放入 que 广度搜索
que.append([nextx, nexty])
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
bfs(points, grid)
print(points, grid[points[-2]][points[-1]]) # 终点的值
# 但是这个代码的计算量很大，
"""
counts"12
[5, 2, 5, 4] 2
counts"35
[1, 1, 2, 2] 4
counts"93
[1, 1, 8, 8] 6
counts"78
[1, 1, 8, 7] 5
counts"3
[2, 1, 3, 3] 1
counts"1
[4, 6, 4, 6] 0
"""
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提交后，大家会发现，超时了。
因为本题地图足够大，且 n 也有可能很大，导致有非常多的查询。
我们来看一下广搜的搜索过程，如图，红色是起点，绿色是终点，黄色是要遍历的点，最后从 起点 找到 达到终点的最短路径是棕色。
可以看出 广搜中，做了很多无用的遍历， 黄色的格子是广搜遍历到的点。
这里我们能不能让遍历方向，向这终点的方向去遍历呢？
这样我们就可以避免很多无用遍历。
Astar
cpp
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Astar 是一种 广搜的改良版。 有的是 Astar 是 dijkstra 的改良版。
其实只是场景不同而已 我们在搜索最短路的时候， 如果是无权图（边的权值都是1） 那就用广搜，代码简洁，时间效率和 dijkstra 差不多 （具体要取决于图的稠密）
如果是有权图（边有不同的权值），优先考虑 dijkstra。
而 Astar 关键在于 启发式函数， 也就是 影响 广搜或者 dijkstra 从 容器（队列）里取元素的优先顺序。
以下，我用BFS版本的A * 来进行讲解。
在BFS中，我们想搜索，从起点到终点的最短路径，要一层一层去遍历。
如果使用 A* 的话，其搜索过程是这样的，如图，图中着色的都是我们要遍历的点。
（上面两图中 最短路长度都是8，只是走的方式不同而已）
大家可以发现 BFS 是没有目的性的 一圈一圈去搜索， 而 A * 是有方向性的去搜索。
看出 A * 可以节省很多没有必要的遍历步骤。
为了让大家可以明显看到区别，我将 BFS 和 A * 制作成可视化动图，大家可以自己看看动图，效果更好。
地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html
那么 A * 为什么可以有方向性的去搜索，它是如何知道方向呢？
其关键在于 启发式函数。
那么 启发式函数 落实到代码处，如果指引搜索的方向？
在本篇开篇中给出了BFS代码，指引 搜索的方向的关键代码在这里：
int m=q.front();q.pop();
int n=q.front();q.pop();
从队列里取出什么元素，接下来就是从哪里开始搜索。
所以 启发式函数 要影响的就是队列里元素的排序！
这是影响BFS搜索方向的关键。
对队列里节点进行排序，就需要给每一个节点权值，如何计算权值呢？
每个节点的权值为F，给出公式为：F = G + H
G：起点达到目前遍历节点的距离
F：目前遍历的节点到达终点的距离
起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离 就是起点到达终点的距离。
本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：
曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)
欧氏距离（欧拉距离） ，计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))
x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标 ，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号，
选择哪一种距离计算方式 也会导致 A * 算法的结果不同。
本题，采用欧拉距离才能最大程度体现 点与点之间的距离。
所以 使用欧拉距离计算 和 广搜搜出来的最短路的节点数是一样的。 （路径可能不同，但路径上的节点数是相同的）
我在制作动画演示的过程中，分别给出了曼哈顿、欧拉以及契比雪夫 三种计算方式下，A * 算法的寻路过程，大家可以自己看看看其区别。
动画地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html
计算出来 F 之后，按照 F 的 大小，来选去出队列的节点。
可以使用 优先级队列 帮我们排好序，每次出队列，就是F最小的节点。
实现代码如下：（启发式函数 采用 欧拉距离计算方式）
code c++
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#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗
struct Knight{
int x,y;
int g,h,f;
bool operator < (const Knight & k) const{ // 重载运算符， 从小到大排序
return k.f < f;
}
};
priority_queue<Knight> que;
int Heuristic(const Knight& k) { // 欧拉距离
return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2); // 统一不开根号，这样可以提高精度
}
void astar(const Knight& k)
{
Knight cur, next;
que.push(k);
while(!que.empty())
{
cur=que.top(); que.pop();
if(cur.x == b1 && cur.y == b2)
break;
for(int i = 0; i < 8; i++)
{
next.x = cur.x + dir[i][0];
next.y = cur.y + dir[i][1];
if(next.x < 1 || next.x > 1000 || next.y < 1 || next.y > 1000)
continue;
if(!moves[next.x][next.y])
{
moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;
// 开始计算F
next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1 * 1 + 2 * 2 = 5
next.h = Heuristic(next);
next.f = next.g + next.h;
que.push(next);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
Knight start;
start.x = a1;
start.y = a2;
start.g = 0;
start.h = Heuristic(start);
start.f = start.g + start.h;
astar(start);
while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}
复杂度分析
cpp
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A * 算法的时间复杂度 其实是不好去量化的，因为他取决于 启发式函数怎么写。
最坏情况下，A * 退化成广搜，算法的时间复杂度 是 O(n * 2)，n 为节点数量。
最佳情况，是从起点直接到终点，时间复杂度为 O(dlogd)，d 为起点到终点的深度。
因为在搜索的过程中也需要堆排序，所以是 O(dlogd)。
实际上 A * 的时间复杂度是介于 最优 和最坏 情况之间， 可以 非常粗略的认为 A * 算法的时间复杂度是 O(nlogn) ，n 为节点数量。
A * 算法的空间复杂度 O(b ^ d) ,d 为起点到终点的深度，b 是 图中节点间的连接数量，本题因为是无权网格图，所以 节点间连接数量为 4。
拓展
cpp
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如果本题大家使用 曼哈顿距离 或者 切比雪夫距离 计算的话，可以提交试一试，有的最短路结果是并不是最短的。
原因也是 曼哈顿 和 切比雪夫这两种计算方式在 本题的网格地图中，都没有体现出点到点的真正距离！
可能有些录友找到类似的题目，例如 poj 2243 (opens new window)，使用 曼哈顿距离 提交也过了， 那是因为题目中的地图太小了，仅仅是一张 8 * 8的地图，根本看不出来 不同启发式函数写法的区别。
A * 算法 并不是一个明确的最短路算法，A * 算法搜的路径如何，完全取决于 启发式函数怎么写。
A * 算法并不能保证一定是最短路，因为在设计 启发式函数的时候，要考虑 时间效率与准确度之间的一个权衡。
虽然本题中，A * 算法得到是最短路，也是因为本题 启发式函数 和 地图结构都是最简单的。
例如在游戏中，在地图很大、不同路径权值不同、有障碍 且多个游戏单位在地图中寻路的情况，如果要计算准确最短路，耗时很大，会给玩家一种卡顿的感觉。
而真实玩家在玩游戏的时候，并不要求一定是最短路，次短路也是可以的 （玩家不一定能感受出来，及时感受出来也不是很在意），只要奔着目标走过去 大体就可以接受。
所以 在游戏开发设计中，保证运行效率的情况下，A * 算法中的启发式函数 设计往往不是最短路，而是接近最短路的 次短路设计。
大家如果玩 LOL，或者 王者荣耀 可以回忆一下：如果 从很远的地方点击 让英雄直接跑过去 是 跑的路径是不靠谱的，所以玩家们才会在 距离英雄尽可能近的位置去点击 让英雄跑过去。
A * 的缺点
cpp
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大家看上述 A * 代码的时候，可以看到 我们想 队列里添加了很多节点，但真正从队列里取出来的 仅仅是 靠启发式函数判断 距离终点最近的节点。
相对了 普通BFS，A * 算法只从 队列里取出 距离终点最近的节点。
那么问题来了，A * 在一次路径搜索中，大量不需要访问的节点都在队列里，会造成空间的过度消耗。
IDA * 算法 对这一空间增长问题进行了优化，关于 IDA * 算法，本篇不再做讲解，感兴趣的录友可以自行找资料学习。
另外还有一种场景 是 A * 解决不了的。
如果题目中，给出 多个可能的目标，然后在这多个目标中 选择最近的目标，这种 A * 就不擅长了， A * 只擅长给出明确的目标 然后找到最短路径。
如果是多个目标找最近目标（特别是潜在目标数量很多的时候），可以考虑 Dijkstra ，BFS 或者 Floyd。
python 双端队列 例子1
py
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class Knight:
def __init__(self,k, point):
self.k = k
self.point = point
def __lt__(self, other):
return self.k < other.k
from queue import PriorityQueue
c1 = Knight(5, (2,4))
c2 = Knight(10, (3,7))
c3 = Knight(2, (2,1))
que = PriorityQueue()
que.put(c1)
que.put(c2)
que.put(c3)
while que:
c = que.get()
print(c.k, c.point)
python 双端队列 例子2
py
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## 20240716
class Knight:
def __init__(self,point, k):
self.k = k
self.point = point
def __lt__(self, other):
return self.k < other.k
from queue import PriorityQueue
c1 = Knight(5, (2,4))
c2 = Knight(10, (3,7))
c3 = Knight(2, (2,1))
que = PriorityQueue()
que.put(c1)
que.put(c2)
que.put(c3)
while que:
c = que.get()
print(c.k, c.point)
# 两个例子一样的效果
python 双端队列 例子2
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## 20240717
from queue import PriorityQueue
class Knight:
def __init__(self, x, y, g, h, f):
self.x = x
self.y = y
self.g = g
self.h = h
self.f = f
def __lt__(self, other):
return self.f < other.f # 重载运算符， 从小到大排序
def Heuristic(mid, end): # 欧拉距离
k = Knight(mid[0], mid[1], 0,0,0)
b1, b2 = end
return (k.x - b1) * (k.x-b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2) # 统一不开根号，这样可以提高精度
c1 = Knight(1, 2, 3, 4, 5)
c2 = Knight(6, 7, 83, 2, 30)
c3 = Knight(4, 2, 3, 5, 20)
c4 = Knight(5, 2, 3, 6, 5)
c5 = Knight(6, 2, 3, 7, 10)
c6 = Knight(7, 2, 3, 8, 8)
que = PriorityQueue()
for v in [f'c{i}' for i in range(1,7)]:
# print(eval(v).f)
que.put(eval(v))
while not que.empty():
node = que.get()
print(node.x, node.y, node.g, node.h, node.f)
mid = [node.x, node.y]
end = [7, 7]
print('欧式距离',Heuristic(mid, end))
Python code 优先级队列
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## 20240717
from queue import PriorityQueue
que = PriorityQueue()
class Knight:
def __init__(self, x=0, y=0, g=0, h=0, f=0):
self.x = x
self.y = y
self.g = g
self.h = h
self.f = f
def __lt__(self, other):
return self.f < other.f # 重载运算符， 从小到大排序
def Heuristic(k, end): # 欧拉距离 这个公式是计算 mid 到达终点的距离， 不适合 起点 到达 mid.
return (k.x - end.x) * (k.x - end.x) + (k.y - end.y) * (k.y - end.y) # 统一不开根号，这样可以提高精度
def Astartbfs(grid, start, end):
"""
point: Knight的结构
grid: 统计走过的点需要的步数
"""
offsets = [[-2, -1], [-2, 1], [2, -1], [2, 1], [1, -2], [1, 2], [-1, -2], [-1, 2]] # 8个可以移动的offset
que.put(start)
counts = 0
while not que.empty():
counts += 1
cur = que.get()
# print(cur.x, cur.y, cur.g, cur.h, cur.f, grid[cur.x][cur.y], 'cur=========------------------------------------========')
if cur.x == end.x and cur.y == end.y: # 找到了终点位置
print(f'到达终点， counts: {counts}')
break
for i in range(8):
next = Knight()
next.x = cur.x + offsets[i][0]
next.y = cur.y + offsets[i][1]
# 边界
if next.x < 1 or next.x > 1000 or next.y < 1 or next.y > 1000: continue
if grid[next.x][next.y] == -1:
grid[next.x][next.y] = grid[cur.x][cur.y] + 1
# 计算距离
next.g = cur.g + 5 # 每走一步的距离一定与上一步 + 5, 而不是和原点 保证一个距离在同一个水平， 走一步之后都是在5的基础上 + （next, end）的距离
# print(start.x,start.y, next.x,next.y,'----------------------------------------')
next.h = Heuristic(next, end)
next.f = next.g + next.h
# print(next.x, next.y, next.g, next.h, next.f, grid[next.x][next.y], 'next=================')
que.put(next)
def main():
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets[:]:
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
grid[points[0]][points[1]] = 0 # 起点的初始化
start = Knight(points[0], points[1]) # 初始化, x, y, g, h, f
end = Knight(points[-2], points[-1])
start.g = 0
start.h = Heuristic(start, end)
start.f = start.g + start.h
Astartbfs(grid, start, end)
print('输出的结果', grid[points[-2]][points[-1]])
print('\n')
while not que.empty():
que.get() # 如果优先级队列非空， 则清空该队列
main()
code 的步数统计
py
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到达终点， counts: 6
输出的结果 2
到达终点， counts: 18
输出的结果 4
到达终点， counts: 16
输出的结果 6
到达终点， counts: 10
输出的结果 5
到达终点， counts: 2
输出的结果 1
到达终点， counts: 1
输出的结果 0
明显小于未优化之前的步数
python code3
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# 把昨天写的小垃圾修正一下
昨天主要的错误是：
k1 = grid[nextx][nexty] * 5
k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))
昨天写成了
k1 = Heuristic(start, [nextx, nexty]) + 5
k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))
没有理解 k1 的作用，k1 最大的作用是 走了 1步则k1=0+5, 走了2步， k1 = 0 + 5 + 5, 每多走一步， 一定是在上一步的k1的基础上递增。而不是计算start和当前步的欧式距离
，欧式距离只适用于： 当前步到达终点位置的计算。
py
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from queue import PriorityQueue
class Knight:
def __init__(self,k, point):
self.k = k
self.point = point
def __lt__(self, other):
return self.k < other.k
def Heuristic(point1, point2):
return (point1[0] - point2[0]) * (point1[0] - point2[0]) + (point1[1] - point2[1]) * (point1[1] - point2[1])
def bfs(points):
start = points[:2]
end = points[-2:]
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
que = PriorityQueue()
k1 = Heuristic(start, start) + 5
k2 = Heuristic(start, end)
que.put(Knight(k1 + k2, start))
grid[start[0]][start[1]] = 0
dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
while not que.empty():
point = que.get().point
# print('\n', point)
if point[0] == end[0] and point[1] == end[1]:return grid[point[0]][point[1]]
for i in range(8):
nextx = point[0] + dir[i][0]
nexty = point[1] + dir[i][1]
if nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000:continue
if grid[nextx][nexty] == -1:
grid[nextx][nexty] = grid[point[0]][point[1]] + 1
# print(nextx, nexty, counts)
k1 = grid[nextx][nexty] * 5
k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))
from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
res = bfs(points)
print(points, res)