《经典图论算法》贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)

数据结构和算法2024-07-20 22:17

摘要：

1，Bellman-Ford 算法的介绍

2，Bellman-Ford 算法为什么可以解决有负权边的图

3，Bellman-Ford 算法为什么不能解决有负权回路的图

4，Bellman-Ford 算法的代码实现和负权回路的判断

5，Bellman-Ford 算法的代码优化

1，Bellman-Ford算法的介绍

贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford algorithm)和迪杰斯特拉算法(Dijkstra)一样也是求单源点最短路径的，但Dijkstra算法不能解决有负权边的图，如果想要解决有负权边的图可以使用 Bellman-Ford 算法。

解题思路就是假设有一条边 $begin,end,value$ ，如果 dis $begin$ + value < dis $end$ ，我们可以更新 dis $end$ 的值为 dis $begin$ + value ，如下图所示，0 到 2 的距离如果经过顶点 1 会更小。

所以我们只需要枚举所有的边即可，代码如下：

go 复制代码

for (int[] edge : edges) {// 遍历边。
    int begin = edge[0];// 边的起点。
    int end = edge[1];// 边的终点。
    int value = edge[2];// 边的权值。
    if (dis[begin] + value < dis[end])// 松弛。
        dis[end] = dis[begin] + value;
}

如果只枚举一遍的话，有可能只会更新和起始点邻接的点(也就是起始点直接指向的点)，与起始点没有邻接的点可能没更新，也可能更新了，这个和边的更新顺序有关，如下图所示。

也就是说如果枚举一遍，至少可以更新从起始点通过一条边到达的点，枚举两遍至少可以更新从起始点通过两条边到达的点 ...... 。在一个含有 n 个顶点的图中，一个点最多只能有 n-1 条边和起始点相连。所以我们最多只需要枚举 n-1 次即可计算从起始点到其他所有点的距离。