差分进化(Differential Evolution)算法

一、差分进化(Differential Evolution)算法的起源

差分进化算法(DE)是一种基于群体的进化算法,由Rainer Storn和Kenneth Price在1995年提出。它是一种全局优化算法,适用于处理多种优化问题,包括非线性、多峰值和高维问题。与其他进化算法相比,差分进化算法具有实现简单、参数少、收敛速度快等优点。其主要思想是通过变异、交叉和选择操作,在搜索空间中逐步找到最优解。

二、差分进化算法的原理

(一)初始化参数

差分进化算法的第一步是初始化参数,包括:

  • 种群大小(popsize): 种群中个体的数量。
  • 维度(dimensions): 问题的维度,即优化变量的数量。
  • 突变因子(mut): 控制变异幅度的因子。
  • 交叉概率(crossp): 决定变异和当前个体信息融合的概率。
  • 迭代次数(its): 算法的迭代次数。

(二)初始种群

在初始化阶段,生成一个随机的种群。每个个体的基因在问题的边界范围内随机生成。种群大小和维度决定了初始化种群的规模和形状。

python 复制代码
pop = np.random.rand(popsize, dimensions)

(三)种群变异

在每一代中,对种群中的每个个体进行变异操作。变异操作通过选取种群中三个不同的个体,并计算其差异,再加上一个随机个体的变异量,生成一个突变个体。突变因子(mut)控制变异幅度。

python 复制代码
mutant = np.clip(a + mut * (b - c), 0, 1)

(四)种群的交叉

交叉操作通过将突变个体和当前个体的信息结合生成试验个体。交叉概率(crossp)决定了哪些基因来自突变个体,哪些基因来自当前个体。如果交叉概率低,试验个体更倾向于保留当前个体的信息。

python 复制代码
cross_points = np.random.rand(dimensions) < crossp
trial = np.where(cross_points, mutant, pop[j])

(五)最优种群的选择

通过评估试验个体的适应度值,选择更优的个体替换当前个体。如果试验个体的适应度值优于当前个体,则用试验个体替换当前个体。同时更新当前最优解。

python 复制代码
if f < fitness[j]:
    fitness[j] = f
    pop[j] = trial
    if f < fitness[best_idx]:
        best_idx = j
        best = trial_denorm

三、代码实现

以下是使用差分进化算法优化Rosenbrock函数的Python代码示例:

python 复制代码
import numpy as np

# 定义目标函数,这里以Rosenbrock函数为例
def objective_function(x):
    # 计算Rosenbrock函数值
    return np.sum(100.0 * (x[1:] - x[:-1]**2)**2 + (1 - x[:-1])**2)

# 差分进化算法
def differential_evolution(objective, bounds, mut=0.8, crossp=0.7, popsize=20, its=1000):
    """
    差分进化算法实现

    参数:
    objective -- 目标函数
    bounds -- 变量的边界(每个维度的最小值和最大值)
    mut -- 突变因子(默认值0.8)
    crossp -- 交叉概率(默认值0.7)
    popsize -- 种群大小(默认值20)
    its -- 迭代次数(默认值1000)
    """
    
    dimensions = len(bounds)  # 问题的维度
    # 初始化种群,每个个体的取值范围在[0, 1]之间
    pop = np.random.rand(popsize, dimensions)
    # 计算实际边界的差值
    min_b, max_b = np.asarray(bounds).T
    diff = np.fabs(min_b - max_b)
    # 对种群进行缩放到实际边界范围内
    pop_denorm = min_b + pop * diff
    # 计算初始种群的适应度值
    fitness = np.asarray([objective(ind) for ind in pop_denorm])
    # 找到适应度值最小的个体(即最优解)
    best_idx = np.argmin(fitness)
    best = pop_denorm[best_idx]
    
    for i in range(its):
        for j in range(popsize):
            # 随机选择三个不同的个体
            idxs = [idx for idx in range(popsize) if idx != j]
            a, b, c = pop[np.random.choice(idxs, 3, replace=False)]
            # 生成突变个体
            mutant = np.clip(a + mut * (b - c), 0, 1)
            # 生成交叉点
            cross_points = np.random.rand(dimensions) < crossp
            # 如果没有变异的,就随机选一个
            if not np.any(cross_points):
                cross_points[np.random.randint(0, dimensions)] = True
            # 生成试验个体
            trial = np.where(cross_points, mutant, pop[j])
            # 将试验个体缩放到实际边界范围内
            trial_denorm = min_b + trial * diff
            # 计算试验个体的适应度值
            f = objective(trial_denorm)
            # 如果试验个体的适应度值优于当前个体,则替换当前个体
            if f < fitness[j]:
                fitness[j] = f
                pop[j] = trial
                # 如果试验个体的适应度值优于最优个体,则更新最优个体
                if f < fitness[best_idx]:
                    best_idx = j
                    best = trial_denorm
        # 迭代过程中的最优解及其适应度值
        yield best, fitness[best_idx]

# 定义边界,每个维度的最小值和最大值
bounds = [(-5, 5), (-5, 5), (-5, 5), (-5, 5), (-5, 5), (-5, 5), (-5, 5), (-5, 5)]

# 运行差分进化算法
result = list(differential_evolution(objective_function, bounds, its=1000))
# 获取最优解和对应的适应度值
best_solution, best_fitness = result[-1]

print("Best Solution: ", best_solution)
print("Best Fitness: ", best_fitness)
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