OpenCV 图像旋转和平移数学和代码原理详解

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在OpenCV中进行图像旋转涉及到一些基本的几何变换和图像处理操作。

数学原理

在图像旋转中，背后的数学原理主要涉及二维欧几里得空间中的几何变换。具体来说，图像旋转可以通过二维旋转矩阵来实现。

旋转矩阵

对于一个二维平面上的点 (x, y)，绕原点逆时针旋转角度 θ 后的新坐标 (x', y') 可以通过以下旋转矩阵计算得到：

平移和旋转

在实际应用中，图像通常不会绕原点旋转，而是绕图像的某个中心点 (cx, cy) 进行旋转。要实现绕任意点旋转，我们需要先将该点平移到原点，进行旋转，然后再平移回原来的位置。

具体步骤如下：

平移中心点到原点 ：将中心点 (cx, cy) 平移到原点 (0, 0)。
旋转：在原点进行旋转。
平移回原位置 ：将旋转后的点再平移回 (cx, cy)。

合成变换矩阵

综合上述步骤，绕任意点 (cx, cy) 逆时针旋转角度 θ 的变换矩阵可以表示为：

M = T ⋅ R ⋅ T − 1 M = T \cdot R \cdot T^{-1} M=T⋅R⋅T−1

其中：

( T ) 是平移矩阵，用于将中心点平移到原点。
( R ) 是旋转矩阵，用于在原点进行旋转。
( T^{-1} ) 是逆平移矩阵，用于将旋转后的点平移回原位置。

具体形式为：

T = [ 1 0 − c x 0 1 − c y 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -cx \\ 0 & 1 & -cy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T= 100010−cx−cy1

R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R= cosθsinθ0−sinθcosθ0001

T − 1 = [ 1 0 c x 0 1 c y 0 0 1 ] T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & cx \\ 0 & 1 & cy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T−1= 100010cxcy1

所以综合后的旋转矩阵 ( M ) 为：

M = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ c x ( 1 − cos ⁡ θ ) + c y sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ c y ( 1 − cos ⁡ θ ) − c x sin ⁡ θ 0 0 1 ] M = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & cx(1-\cos\theta) + cy\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & cy(1-\cos\theta) - cx\sin\theta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} M= cosθsinθ0−sinθcosθ0cx(1−cosθ)+cysinθcy(1−cosθ)−cxsinθ1

由于图像坐标是二维的，我们只需要前三列中的前两行：

M = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ c x ( 1 − cos ⁡ θ ) + c y sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ c y ( 1 − cos ⁡ θ ) − c x sin ⁡ θ ] M = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & cx(1-\cos\theta) + cy\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & cy(1-\cos\theta) - cx\sin\theta \end{bmatrix} M=[cosθsinθ−sinθcosθcx(1−cosθ)+cysinθcy(1−cosθ)−cxsinθ]

应用在OpenCV中的实现

在OpenCV中，函数 cv::getRotationMatrix2D 就是用来计算这个旋转矩阵的：

cpp 复制代码

cv::Mat cv::getRotationMatrix2D(cv::Point2f center, double angle, double scale);

center 参数表示旋转中心 (cx, cy)，angle 表示旋转角度 θ，scale 表示缩放比例。

然后通过 cv::warpAffine 函数应用这个旋转矩阵来实现图像的旋转：

cpp 复制代码

cv::warpAffine(src, dst, M, cv::Size(width, height));

其中 M 就是通过 getRotationMatrix2D 计算得到的旋转矩阵。

总结一下，图像旋转的数学原理是通过平移和旋转组合的方式，利用二维旋转矩阵实现绕任意点的旋转。OpenCV中提供的函数封装了这些数学计算，使得图像旋转操作变得简单直观。

代码关键点解读

以胖虎为例

C++代码：

void rotate_demo(Mat &image){
    int width = image.cols;
    int height = image.rows;
    //计算旋转中心坐标
    Point2f center(width/2.0,height/2.0);
    double angle =180;
    Mat rotation_matrix = getRotationMatrix2D(center,angle,1.0);
    Mat rotate_image ;
    warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(width,height));
    imshow("Rotate Image",rotate_image);
}

调用上述代码就会发现一个问题： 图像是旋转了,但是旋转后的图像尺寸不对了 ，向右旋转之后，图像宽度不正常。宽度应该是原来的高度，原来的高度应该是宽度才对。

在warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(width,height));中尝试调换一下宽度和高度试试。

warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(height,width));

尝试运行之后，发现虽然窗口尺寸对了但是图像右上角都是黑边，原来的图像现了缺失

出现这个原因是我们一开始是按照中心点进行旋转，并不是从左上角开始旋转的，因此会出现图片缺失问题，因此我们需要把图像再平移回去 。平移回去的第一大问题就是旋转之后的图像宽度和高度发生了变化，我们需要重新计算旋转后的图像尺寸

OpenCV提供了计算旋转后的的图像边界尺寸的工具，bbox就是以某个角度旋转之后的矩阵，为什么需要这个函数?举个栗子，旋转九十度，图像的宽度是原来图像的高度，图像的高度是原来的宽度，但如果是旋转45度？旋转后的图像并不是原来图像的高度，需要重新计算。

 Rect bbox = RotatedRect(Point2f(), image.size(), angle).boundingRect();

旋转矩阵 rotation_matrix 是一个 2x3 的矩阵，其形式为：
[ a b t x c d t y ] \begin{bmatrix} a & b & tx \\ c & d & ty \end{bmatrix} [acbdtxty]

其中 tx 和 ty 是平移部分。

因此我们需要调整tx和ty的值

旋转后的图像尺寸 bbox.size() 的中心点坐标为 (bbox.width / 2.0, bbox.height / 2.0)。
原始旋转中心点为 center，坐标为 (center.x, center.y)。
调整 tx 和 ty 的目的是将旋转中心点平移到新图像中心，使图像内容在旋转后居中。

调整后的 tx 和 ty 计算如下：

tx：将图像沿 x 轴平移 bbox.width / 2.0 - center.x。
ty：将图像沿 y 轴平移 bbox.height / 2.0 - center.y。

对应的代码为：

rotation_matrix.at<double>(0, 2) += bbox.width / 2.0 - center.x;
rotation_matrix.at<double>(1, 2) += bbox.height / 2.0 - center.y;

at<double>(0, 2) 访问矩阵中的 tx 值，at<double>(1, 2) 访问矩阵中的 ty 值。

再来运行一下代码，可以看到此时图像就正常了。

试试45度旋转，修改angle的值为45，效果如下，注意图像的尺寸已经发生了改变，重新计算尺寸后不会造成像素丢失的问题

完整代码

C++代码：

void rotate_demo(Mat &image){
    int width = image.cols;
    int height = image.rows;
    //计算旋转中心坐标
    Point2f center(width/2.0,height/2.0);
    double angle =45;
    Mat rotation_matrix = getRotationMatrix2D(center,angle,1.0);
    //因为涉及到旋转，图像的高度和宽度其实发生了变化
    // 计算旋转后的图像边界尺寸
    Rect bbox = RotatedRect(Point2f(), image.size(), angle).boundingRect();
    rotation_matrix.at<double>(0, 2) += bbox.width / 2.0 - center.x;
    rotation_matrix.at<double>(1, 2) += bbox.height / 2.0 - center.y;

    Mat rotate_image ;
    warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,bbox.size());
    imshow("Rotate Image",rotate_image);
}

Python代码：

import cv2
import numpy as np

def rotate_demo(image_path, angle=45):
    # 读取图像
    image = cv2.imread(image_path)
    if image is None:
        print("Could not read the image.")
        return

    height, width = image.shape[:2]

    # 计算旋转中心坐标
    center = (width / 2.0, height / 2.0)

    # 计算旋转矩阵
    rotation_matrix = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, 1.0)

    # 计算旋转后的图像边界尺寸
    corners = np.array([
        [0, 0],
        [width, 0],
        [width, height],
        [0, height]
    ])

    corners = np.hstack((corners, np.ones((4, 1))))
    rotated_corners = rotation_matrix.dot(corners.T).T

    x_coords = rotated_corners[:, 0]
    y_coords = rotated_corners[:, 1]

    bbox_width = int(np.ceil(x_coords.max() - x_coords.min()))
    bbox_height = int(np.ceil(y_coords.max() - y_coords.min()))

    # 调整旋转矩阵的平移部分
    rotation_matrix[0, 2] += bbox_width / 2.0 - center[0]
    rotation_matrix[1, 2] += bbox_height / 2.0 - center[1]

    # 执行旋转操作
    rotate_image = cv2.warpAffine(image, rotation_matrix, (bbox_width, bbox_height))

    # 显示旋转后的图像
    cv2.imshow("Rotate Image", rotate_image)
    cv2.waitKey(0)
    cv2.destroyAllWindows()

# 调用旋转函数
rotate_demo("path_to_your_image.jpg", 45)

OpenCV 图像旋转和平移 数学和代码原理详解

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数学原理

旋转矩阵

平移和旋转

合成变换矩阵

应用在OpenCV中的实现

代码关键点解读

完整代码

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