「图论」Bron-kerbosch算法

7.21晚上加赛 T2.七负我,做这题找到了性质发现需要求最大团,不会,爆搜,打假了,赛后改,对了,但时间复杂度大爆炸,看下发题解,有这么一句话:于是学习了一下。

Bron-kerbosch算法-求图的最大团,极大团

概念:

  • :每个顶点都两两相连(又叫完全子图)
  • 极大团:没有被包含在其他团中的团
  • 最大团:顶点数最多的极大团

算法过程:

过程:

我们维护三个集合 \(R,P,X\),\(R\) 表示当前正在找的极大团里的点,\(P\) 表示有可能加入当前在找的极大团里的点,\(X\) 表示已经找到的极大团中的点(用来判重),进行以下过程:

  1. 初始化 \(R, X\) 为空集,\(P\) 为包含所有点的集合;

  2. 将 \(P\) 中顶部元素 \(u\) 点取出,(设 \(Q(u)\) 为所有与 \(u\) 相邻的点)递归集合 \(R ∪{u},P ∩ {Q(u)},X ∩ {Q(u)}\);

    • 在递归的过程中如果集合 \(P 和 X\) 都为空,则集合 \(R\) 中的点构成一个极大团。
  3. 将 \(u\) 点从集合 \(P\) 中删去,添加到集合 \(X\) 中;

  4. 不断重复 2~3 操作,直至 \(P\) 为空。

只看算法过程可能不好理解,那么下面是伪代码及分析。

伪代码(伪代码出处CSDN已改进):

void dfs(R, P, X){
	if(P 和 X 均为空) 输出 R 集合为一个极大团 
	for 从 P 中选取一个点 a,与 a 相连的点集为 Q(a) {
		dfs(R 并上 a,P 和 Q(a) 的交集,X 和 Q(a) 的交集)
		从 P 中移除 a 点
		把 a 点加入 X 集合
	}
}

分析:

  • 算法主要思路:很简单,我们每次枚举合法的点加入极大团中,合法即为保证该点加入团中,该团仍然是团,接着更新合法点集合(即可能属于在找的团的点集 \(P\) ),不断递归直到该团极大即可。

  • 我们用 \(P\) 集合维护可能包含于目前所在找的极大团的点集,分析 \(P\) 集合是如何更进的:
    \(R\) 是当前在找的极大团,由于 \(R\) 集合是每次任意从 \(P\) 中取一个点,我们知道团的定义为任意两个点都有边相连,所以若我把当前新选择的点 \(a\) 加入团中,那么 \(R\) 加入 \(a\) 之后,要想保证新 \(P\) 集合中的点可能包含于新 \(R\) 中团,那么需要满足 \(P\) 中的点都与 \(R\) 中任意一点相连。我们已经可以保证原 \(R\) (加入 \(a\) 之前)集合里所有点都与原 \(P\) 中的点相连,所以现在只需添加条件使得新 \(P\) 中的点与 \(a\) 点相连,于是 \(P∩{Q(a)}\) 是新 \(P\) 集合。

  • 找到一个极大团时需要满足 \(P,X\) 集合都为空:
    \(P\) 为空即再没有点可以加到 \(R\) 集合中,保证在找的团极大;\(X\) 为空保证之前没有找过此团,用来判重。

算法实现:

带详细注释code:

注:建议先看本篇博客的算法过程部分以方便看懂代码的注释

cpp 复制代码
int to[N][N], mnt; //to[i][j]用来判断 i 到 j 之间是否连边,mnt为最大团中点的个数
int had[N][N], may[N][N], vis[N][N]; //had,may,vis分别表示 当前在找的团中已有的点、可能加入当前在找的团中的点、已经搜过的点(分别对应算法过程的集合 R,P,X)
//had,may,vis的第一维i都表示处于搜索的第i层,第二维j表示相应的点的个数

//d表示当前搜索处于第几层,R、P、X分别表示had,may,vis在该层搜索中点的个数
void Bron_Kerbosch(int d, int R, int P, int X){
	if(!P and !X){ mnt = max(mnt, R); return;} //找到一个极大团
	for(int i=1; i<=P; i++){
		int u = may[d][i]; //从 P 中取点

		for(int j=1; j<=R; j++){
			had[d+1][j] = had[d][j];
		} had[d+1][R+1] = u; //即 R' = R + {u} 的操作

		int newP = 0, newX = 0; 
		for(int j=1; j<=P; j++) // P' = P ∩ Q(u)
			if(to[u][may[d][j]]) may[d+1][++newP] = may[d][j];

		for(int j=1; j<=X; j++) // X' = X ∩ Q(u)
			if(to[u][vis[d][j]]) vis[d+1][++newX] = vis[d][j];

		Bron_Kerbosch(d+1, R+1, newP, newX); //递归搜索

		may[d][i] = 0, vis[d][++X] = u; //将 u 点从 P 中删去,加入 X 中
	}
}

到这里,就已经可以 A 掉那晚加赛的 T2.七负我 了。
AC 代码

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 50;

int n, m, x, hnt;
int to[N][N];
int had[N][N], may[N][N], vis[N][N];

void Bron_Kerbosch(int d, int R, int P, int X){
	if(!P and !X){ hnt = max(hnt, R); return; }
	for(int i=1; i<=P; i++){
		int u = may[d][i];

		for(int j=1; j<=R; j++){
			had[d+1][j] = had[d][j];
		} had[d+1][R+1] = u;

		int newP = 0, newX = 0;
		for(int j=1; j<=P; j++)
			if(to[u][may[d][j]]) may[d+1][++newP] = may[d][j];

		for(int j=1; j<=X; j++)
			if(to[u][vis[d][j]]) vis[d+1][++newX] = vis[d][j];

		Bron_Kerbosch(d+1, R+1, newP, newX);

		may[d][i] = 0, vis[d][++X] = u;
	}
}

signed main(){
	// freopen("in.in", "r", stdin); freopen("out.out", "w", stdout);

	scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
	for(int i=1; i<=m; i++){
		int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
		to[a][b] = to[b][a] = 1;
	}

	int num = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		may[1][++num] = i;

	Bron_Kerbosch(1, 0, num, 0);

	double ans = x * 1.0 / hnt;
	ans *= ans;
	ans *= ((hnt - 1) * hnt / 2);
	printf("%.6lf", ans);

	return 0;
}

但是,这个算法还可以通过设定关键点(pivot vertex)\(v\) 进行优化。主要优化原理见 oi-wiki

优化代码(纯享版):

cpp 复制代码
int to[N][N], hnt;
int had[N][N], may[N][N], vis[N][N];

void Bron_kerbosch(int d, int R, int P, int X){
    if(!P and !X) { hnt = max(hnt, R); return;}
    int u = may[d][1];

    for(int i=1; i<=P; i++){
        int v = may[d][i];
        if(to[u][v]) continue;

        for(int j=1; j<=R; j++){
            had[d+1][j] = had[d][j];
        } had[d+1][R+1] = v;

        int newP = 0, newX = 0;
        for(int j=1; j<=P; j++)
            if(to[v][may[d][j]]) may[d+1][++newP] = may[d][j];
        for(int j=1; j<=X; j++)
            if(to[v][vis[d][j]]) vis[d+1][++newX] = vis[d][j];
        
        Bron_kerbosch(d+1, R+1, newP, newX);

        may[d][i] = 0, vis[d][++X] = v;

    }
}
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