PyTorch的自动微分模块【含梯度基本数学原理详解】

逐梦苍穹2024-07-25 1:37

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🍃作者介绍：双非本科大三网络工程专业在读，阿里云专家博主，专注于Java领域学习，擅长web应用开发、数据结构和算法，初步涉猎人工智能和前端开发。

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1、简介

本文目标：掌握梯度计算
先补充一篇我的文章，关于向量的计算方式： https://xzl-tech.blog.csdn.net/article/details/140563909

自动微分（Automatic Differentiation, Autograd）是计算梯度的强大工具，广泛应用于机器学习，特别是深度学习模型的训练过程中。

在PyTorch中，Autograd 模块通过记录张量的操作并自动计算梯度，极大地简化了模型的优化过程。

1.1、基本概念

  1. 张量（Tensor）：
    • PyTorch中的张量是自动微分的基础数据结构 。每个张量都有一个属性 requires_grad，它指示是否需要计算该张量的梯度。
    • 张量的 grad 属性用于存储计算得到的梯度。
  2. 计算图（Computational Graph）：
    • Autograd的核心是动态计算图，每次进行操作时都会动态地构建计算图。计算图的节点表示张量，边表示操作。
    • 在反向传播过程中，Autograd沿着计算图从输出节点到输入节点计算梯度。
  3. 反向传播（Backpropagation）：
    • 反向传播是一种计算梯度的算法，通过链式法则（链式求导法则）逐层计算梯度。

自动微分（Autograd）模块对张量做了进一步的封装，具有自动求导功能。自动微分模块是构成神经网络训练的必要模块，在神经网络的反向传播过程中，Autograd 模块基于正向计算的结果对当前的参数进行微分计算，从而实现网络权重参数的更新。

1.2、基本原理

1.2.1、自动微分

在PyTorch中，自动微分通过记录对张量的所有操作来实现。当调用反向传播函数backward()时，Autograd根据链式法则自动计算所有梯度。
链式法则：

设 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 且 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x) ，根据链式法则，函数 ( y ) ( y ) (y)对 ( x ) ( x ) (x) 的导数为：
[ d y d x = d y d u ⋅ d u d x ] [ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ] [dxdy=dudy⋅dxdu]

在计算图中，Autograd通过遍历所有节点，按此法则计算梯度。

1.2.2、梯度

梯度 (Gradient)

梯度是多变量函数的偏导数向量，它表示函数在各个变量方向上的变化率。

在数学上，给定一个多变量函数 ( f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ) ( f(x_1, x_2, ..., x_n) ) (f(x1,x2,...,xn))，它的梯度是一个向量，

其分量是函数对每个变量的偏导数： [ ∇ f = ( ∂ f ∂ x 1 , ∂ f ∂ x 2 , . . . , ∂ f ∂ x n ) ] [ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) ] [∇f=(∂x1∂f,∂x2∂f,...,∂xn∂f)]

梯度向量指向函数值增长最快的方向，其长度表示函数值增长最快的速率。

1.2.3、梯度求导

梯度求导 (Gradient Calculation)

梯度求导是计算函数在特定点的梯度向量的过程。对于机器学习和深度学习中的目标函数（通常是损失函数），我们通过梯度求导来了解参数变化对目标函数的影响，从而调整参数以最小化目标函数。
一维函数的导数：

对于一维函数 ( f ( x ) ) ( f(x) ) (f(x))，导数 ( f ′ ( x ) ) ( f'(x) ) (f′(x))表示函数在点 ( x ) ( x ) (x)处的变化率。

数学上，导数定义为： [ f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ] [ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} ] [f′(x)=limΔx→0Δxf(x+Δx)−f(x)]
多维函数的梯度：

对于多维函数 ( f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ) ( f(x_1, x_2, ..., x_n) ) (f(x1,x2,...,xn))，梯度是各个方向上的导数组成的向量：
[ ∇ f = ( ∂ f ∂ x 1 , ∂ f ∂ x 2 , . . . , ∂ f ∂ x n ) ] [ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) ] [∇f=(∂x1∂f,∂x2∂f,...,∂xn∂f)]

1.2.4、梯度下降法

梯度下降法 (Gradient Descent)

梯度下降法是一种优化算法，通过逐次调整参数以最小化目标函数。具体步骤如下：

  1. 初始化参数 ( θ ) ( \theta ) (θ)。
  2. 计算当前参数的梯度 ( ∇ f ( θ ) ) ( \nabla f(\theta) ) (∇f(θ))。
  3. 更新参数： ( θ = θ − α ∇ f ( θ ) ) ( \theta = \theta - \alpha \nabla f(\theta) ) (θ=θ−α∇f(θ))，其中 ( α ) ( \alpha ) (α)是学习率。
  4. 重复步骤2和3，直到收敛。

1.2.5、张量梯度举例

标量对张量的梯度：

假设有一个标量函数 ( f ) ( f ) (f)作用于张量 ( T ) ( T ) (T)，梯度 ( ∇ f ) ( \nabla f ) (∇f)是一个与 ( T ) ( T ) (T)具有相同维度的张量，

其元素是 ( f ) ( f ) (f)对 ( T ) ( T ) (T)中每个元素的偏导数： [ ( ∇ f ) i j k . . . = ∂ f ∂ T i j k . . . ] [ (\nabla f){ijk...} = \frac{\partial f}{\partial T{ijk...}} ] [(∇f)ijk...=∂Tijk...∂f]
例子：张量的平方和函数：

考虑一个张量的平方和函数： [ f ( T ) = ∑ i , j , k , . . . T i j k . . . 2 ] [ f(T) = \sum_{i,j,k,...} T_{ijk...}^2 ] [f(T)=∑i,j,k,...Tijk...2]

对张量 ( T ) 的每个元素求导： [ ∂ f ∂ T i j k . . . = 2 T i j k . . . ] [ \frac{\partial f}{\partial T_{ijk...}} = 2T_{ijk...} ] [∂Tijk...∂f=2Tijk...]

所以，梯度是： [ ∇ f = 2 T ] [ \nabla f = 2T ] [∇f=2T]

在实际应用中，通常需要对更复杂的函数计算梯度，如神经网络的损失函数对模型参数的梯度。这时，梯度计算不仅限于简单的平方和函数，而是涉及到复杂的链式求导。
例子：神经网络的反向传播

考虑一个简单的神经网络前向传播： [ y = σ ( W x + b ) ] [ y = \sigma(Wx + b) ] [y=σ(Wx+b)]

其中 ( σ ) ( \sigma ) (σ)是激活函数， ( W ) ( W ) (W) 是权重矩阵， ( x ) ( x ) (x) 是输入， ( b ) ( b ) (b)是偏置。

假设损失函数是均方误差： [ L = 1 2 ( y − y ^ ) 2 ] [ L = \frac{1}{2}(y - \hat{y})^2 ] [L=21(y−y^)2]

我们需要计算损失函数 对权重矩阵 和偏置 的梯度。

1.3、Autograd的高级功能

  1. 梯度累积：
    • 默认情况下，调用 backward() 时，梯度会累积到张量的 grad 属性中。可以通过 x.grad.zero_() 来清零梯度。
  2. 非标量输出的梯度：
    • 当输出不是标量时，可以传递一个和输出形状相同的权重张量作为 backward() 的参数，用于计算加权和的梯度。
  3. 禁用梯度计算：
    • 在不需要梯度计算的情况下，可以使用 torch.no_grad() 或 with torch.no_grad(): 来临时禁用梯度计算，从而提高性能和节省内存。

我们使用 backward 方法、grad 属性来实现梯度的计算和访问.

2、梯度基本计算

2.1、单标量梯度

python 复制代码 
import torch
# 1. 单标量梯度的计算
# y = x**2 + 20
def test01():
    # 定义需要求导的张量
    # 张量的值类型必须是浮点类型
    x = torch.tensor(10, requires_grad=True, dtype=torch.float64)
    print(x)
    # 变量经过中间运算
    f = x ** 2 + 20
    print(f)
    # 自动微分
    f.backward()
    # 打印 x 变量的梯度
    # backward 函数计算的梯度值会存储在张量的 grad 变量中
    print(x.grad)
    print(x)

程序运行结果：

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\1-梯度基本计算.py 
tensor(10., dtype=torch.float64, requires_grad=True)
tensor(120., dtype=torch.float64, grad_fn=<AddBackward0>)
tensor(20., dtype=torch.float64)
tensor(10., dtype=torch.float64, requires_grad=True)

Process finished with exit code 0

解释：

  1. 张量 x 的初始值： tensor(10., dtype=torch.float64, requires_grad=True) 表示 x 的初始值是10，并且它的梯度计算已被启用。
  2. 中间变量 f 的值： tensor(120., dtype=torch.float64, grad_fn=<AddBackward0>) 表示 f 的计算结果是120，即 ( 1 0 2 + 20 ) (10^2 + 20) (102+20)。
  3. 梯度值 x.grad： tensor(20., dtype=torch.float64) 表示 f 对 x 的梯度是20，即 d d x ( x 2 + 20 ) = 2 x = 2 × 10 \frac{d}{dx}(x^2 + 20) = 2x = 2 \times 10 dxd(x2+20)=2x=2×10。
  4. 张量 x 的值保持不变： tensor(10., dtype=torch.float64, requires_grad=True) 再次确认 x 的值保持为10。

2.2、单向量梯度的计算

python 复制代码 
# 2. 单向量梯度的计算
# y = x**2 + 20
def test02():
    # 定义需要求导张量
    x = torch.tensor([10, 20, 30, 40], requires_grad=True, dtype=torch.float64)
    print(x)
    # 变量经过中间计算
    f1 = x ** 2 + 20
    print(f1)
    # 注意:
    # 由于求导的结果必须是标量
    # 而 f 的结果是: tensor([120., 420.])
    # 所以, 不能直接自动微分
    # 需要将结果计算为标量才能进行计算
    print(f1.mean())
    f2 = f1.mean()  # f2 = 1/2 * x
    # 自动微分
    f2.backward()
    # 打印 x 变量的梯度
    print(x.grad)

输出：

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\1-梯度基本计算.py 
tensor([10., 20., 30., 40.], dtype=torch.float64, requires_grad=True)
tensor([ 120.,  420.,  920., 1620.], dtype=torch.float64,
       grad_fn=<AddBackward0>)
tensor(770., dtype=torch.float64, grad_fn=<MeanBackward0>)
tensor([ 5., 10., 15., 20.], dtype=torch.float64)

Process finished with exit code 0

解释：

函数 f1 的定义： [ f 1 i = x i 2 + 20 ] [ f_{1i} = x_i^2 + 20 ] [f1i=xi2+20]
f2 是 f1 的均值： [ f 2 = 1 4 ∑ i = 1 4 f 1 i ] [ f2 = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 f_{1i} ] [f2=41∑i=14f1i]

因此，f2 对 x_i 的偏导数为： [ ∂ f 2 ∂ x i = 1 4 ∂ f 1 i ∂ x i = 1 4 ⋅ 2 x i = 1 2 x i ] [ \frac{\partial f2}{\partial x_i} = \frac{1}{4} \frac{\partial f_{1i}}{\partial x_i} = \frac{1}{4} \cdot 2x_i = \frac{1}{2} x_i ] [∂xi∂f2=41∂xi∂f1i=41⋅2xi=21xi]

所以，f2 对 x 的梯度 x.grad 为每个元素的一半： [ x . g r a d = [ 1 2 ⋅ 10 , 1 2 ⋅ 20 , 1 2 ⋅ 30 , 1 2 ⋅ 40 ] = [ 5 , 10 , 15 , 20 ] ] [ x.grad = \left[ \frac{1}{2} \cdot 10, \frac{1}{2} \cdot 20, \frac{1}{2} \cdot 30, \frac{1}{2} \cdot 40 \right] = [5, 10, 15, 20] ] [x.grad=[21⋅10,21⋅20,21⋅30,21⋅40]=[5,10,15,20]]

2.3、多标量梯度计算

python 复制代码 
# 3. 多标量梯度计算
# y = x1 ** 2 + x2 ** 2 + x1*x2
def test03():
    # 定义需要计算梯度的张量
    x1 = torch.tensor(10, requires_grad=True, dtype=torch.float64)
    x2 = torch.tensor(20, requires_grad=True, dtype=torch.float64)
    print(x1, x2)
    # 经过中间的计算
    y = x1 ** 2 + x2 ** 2 + x1 * x2
    print(y)
    # TODO y已经是标量, 无需转换
    # 自动微分
    y.backward()
    # 打印两个变量的梯度
    print(x1.grad, x2.grad)

输出：

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\1-梯度基本计算.py 
tensor(10., dtype=torch.float64, requires_grad=True) tensor(20., dtype=torch.float64, requires_grad=True)
tensor(700., dtype=torch.float64, grad_fn=<AddBackward0>)
tensor(40., dtype=torch.float64) tensor(50., dtype=torch.float64)

Process finished with exit code 0

解释-梯度计算细节：

  1. 定义函数 ( y ) ( y ) (y)： [ y = x 1 2 + x 2 2 + x 1 ⋅ x 2 ] [ y = x_1^2 + x_2^2 + x1 \cdot x2 ] [y=x12+x22+x1⋅x2]
  2. 计算 ( y ) ( y ) (y)： [ y = 102 + 202 + 10 ⋅ 20 = 100 + 400 + 200 = 700 ] [ y = 102 + 202 + 10 \cdot 20 = 100 + 400 + 200 = 700 ] [y=102+202+10⋅20=100+400+200=700]
  3. 计算梯度 ( ∂ y ∂ x 1 \frac{\partial y}{\partial x1} ∂x1∂y**)** ： [ ∂ y ∂ x 1 = 2 x 1 + x 2 = 2 ⋅ 10 + 20 = 20 + 20 = 40 ] [ \frac{\partial y}{\partial x1} = 2x1 + x2 = 2 \cdot 10 + 20 = 20 + 20 = 40 ] [∂x1∂y=2x1+x2=2⋅10+20=20+20=40]
  4. 计算梯度 ( ∂ y ∂ x 2 \frac{\partial y}{\partial x2} ∂x2∂y**)** ： [ ∂ y ∂ x 2 = 2 x 2 + x 1 = 2 ⋅ 20 + 10 = 40 + 10 = 50 ] [ \frac{\partial y}{\partial x2} = 2x2 + x1 = 2 \cdot 20 + 10 = 40 + 10 = 50 ] [∂x2∂y=2x2+x1=2⋅20+10=40+10=50]

2.4、多向量梯度计算

python 复制代码 
# 4. 多向量梯度计算
def test04():
    # 定义需要计算梯度的张量
    x1 = torch.tensor([10, 20], requires_grad=True, dtype=torch.float64, device='cuda')
    x2 = torch.tensor([30, 40], requires_grad=True, dtype=torch.float64, device='cuda')
    # 经过中间的计算
    y = x1 ** 2 + x2 ** 2 + x1 * x2
    print(y)
    # 将输出结果变为标量
    y = y.mean()
    print(y)
    # 自动微分
    y.backward()
    # 打印两个变量的梯度
    print(x1.grad, x2.grad)

输出：

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\1-梯度基本计算.py 
tensor([1300., 2800.], device='cuda:0', dtype=torch.float64,
       grad_fn=<AddBackward0>)
tensor(2050., device='cuda:0', dtype=torch.float64, grad_fn=<MeanBackward0>)
tensor([25., 40.], device='cuda:0', dtype=torch.float64) tensor([35., 50.], device='cuda:0', dtype=torch.float64)

Process finished with exit code 0

梯度计算细节：

  1. 定义函数 ( y ) ( y ) (y)： [ y = x 1 2 + x 2 2 + x 1 ⋅ x 2 ] [ y = x_1^2 + x_2^2 + x_1 \cdot x_2 ] [y=x12+x22+x1⋅x2]

具体计算每个元素：

  • 第一个元素： ( 1 0 2 + 3 0 2 + 10 ⋅ 30 = 100 + 900 + 300 = 1300 ) ( 10^2 + 30^2 + 10 \cdot 30 = 100 + 900 + 300 = 1300 ) (102+302+10⋅30=100+900+300=1300)
  • 第二个元素： ( 2 0 2 + 4 0 2 + 20 ⋅ 40 = 400 + 1600 + 800 = 2800 ) ( 20^2 + 40^2 + 20 \cdot 40 = 400 + 1600 + 800 = 2800 ) (202+402+20⋅40=400+1600+800=2800)

所以 ( y = [ 1300 , 2800 ] ) ( y = [1300, 2800] ) (y=[1300,2800])

  1. 将结果转换为标量 ： [ y mean = 1 2 ∑ y = 1 2 ( 1300 + 2800 ) = 4100 2 = 2050 ] [ y_{\text{mean}} = \frac{1}{2} \sum y = \frac{1}{2} (1300 + 2800) = \frac{4100}{2} = 2050 ] [ymean=21∑y=21(1300+2800)=24100=2050]
  2. 计算梯度：
  • 对 ( x 1 ) ( x_1 ) (x1) 的梯度 ： [ ∂ y mean ∂ x 1 = 1 2 ( 2 x 1 + x 2 ) ] [ \frac{\partial y_{\text{mean}}}{\partial x_1} = \frac{1}{2} \left( 2x_1 + x_2 \right) ] [∂x1∂ymean=21(2x1+x2)]
  • 对第一个元素： ( 1 2 ( 2 ⋅ 10 + 30 ) = 1 2 ( 20 + 30 ) = 50 2 = 25 ) ( \frac{1}{2} (2 \cdot 10 + 30) = \frac{1}{2} (20 + 30) = \frac{50}{2} = 25 ) (21(2⋅10+30)=21(20+30)=250=25)
  • 对第二个元素： ( 1 2 ( 2 ⋅ 20 + 40 ) = 1 2 ( 40 + 40 ) = 80 2 = 40 ) ( \frac{1}{2} (2 \cdot 20 + 40) = \frac{1}{2} (40 + 40) = \frac{80}{2} = 40 ) (21(2⋅20+40)=21(40+40)=280=40)

所以 ( x 1. g r a d = [ 25 , 40 ] ) ( x1.grad = [25, 40] ) (x1.grad=[25,40])

  • 对 ( x 2 ) ( x_2 ) (x2)的梯度 ： [ ∂ y mean ∂ x 2 = 1 2 ( 2 x 2 + x 1 ) ] [ \frac{\partial y_{\text{mean}}}{\partial x_2} = \frac{1}{2} \left( 2x_2 + x_1 \right) ] [∂x2∂ymean=21(2x2+x1)]
  • 对第一个元素： ( 1 2 ( 2 ⋅ 30 + 10 ) = 1 2 ( 60 + 10 ) = 70 2 = 35 ) ( \frac{1}{2} (2 \cdot 30 + 10) = \frac{1}{2} (60 + 10) = \frac{70}{2} = 35 ) (21(2⋅30+10)=21(60+10)=270=35)
  • 对第二个元素： ( 1 2 ( 2 ⋅ 40 + 20 ) = 1 2 ( 80 + 20 ) = 100 2 = 50 ) ( \frac{1}{2} (2 \cdot 40 + 20) = \frac{1}{2} (80 + 20) = \frac{100}{2} = 50 ) (21(2⋅40+20)=21(80+20)=2100=50)

**所以 ** ( x 2. g r a d = [ 35 , 50 ] ) ( x2.grad = [35, 50] ) (x2.grad=[35,50])

3、控制梯度计算

我们可以通过一些方法使得在 requires_grad=True 的张量在某些时候计算不进行梯度计算。
PyTorch 提供了几种方法来实现这一点，包括上下文管理器、装饰器和全局设置。

  1. 使用上下文管理器 torch.no_grad()
  2. 使用装饰器 torch.no_grad()
  3. 使用全局设置 torch.set_grad_enabled(False)
python 复制代码 
# 1. 控制不计算梯度
def test01():
    x = torch.tensor(10, requires_grad=True, dtype=torch.float64)
    print(x.requires_grad)
    # 第一种方式: 对代码进行装饰
    with torch.no_grad():
        y = x ** 2
    print(y.requires_grad)

    # 第二种方式: 对函数进行装饰
    @torch.no_grad()
    def my_func(x):
        return x ** 2

    print(my_func(x).requires_grad)

    # 第三种方式
    torch.set_grad_enabled(False)
    y = x ** 2
    print(y.requires_grad)

程序运行结果:

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\2-控制梯度计算.py 
True
False
False
False

Process finished with exit code 0

4、累计梯度

累计梯度：每一次训练前，都需要清楚现有梯度，如果不清楚，则会累加。

python 复制代码 
# 2. 注意: 累计梯度
def test02():
    # 定义需要求导张量
    x = torch.tensor([10, 20, 30, 40], requires_grad=True, dtype=torch.float64)

    for _ in range(3):
        f1 = x ** 2 + 20
        f2 = f1.mean()
        # 默认张量的 grad 属性会累计历史梯度值
        # 所以, 需要我们每次手动清理上次的梯度
        # 注意: 一开始梯度不存在, 需要做判断
        if x.grad is not None:
            x.grad.data.zero_()
        f2.backward()
        print(x.grad)

输出：

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\2-控制梯度计算.py 
tensor([ 5., 10., 15., 20.], dtype=torch.float64)
tensor([ 5., 10., 15., 20.], dtype=torch.float64)
tensor([ 5., 10., 15., 20.], dtype=torch.float64)

Process finished with exit code 0

如果不清除，梯度值则累加：

5、梯度下降优化最优解⭐

原理：

梯度下降法是一种优化算法，旨在通过反复调整参数，使目标函数的值达到最小
梯度下降的更新公式为： [ x new = x old − η ⋅ d d x ] [ x_{\text{new}} = x_{\text{old}} - \eta \cdot \frac{d}{dx} ] [xnew=xold−η⋅dxd]

  • x new x_{\text{new}} xnew：更新后的参数值。
  • x old x_{\text{old}} xold：当前的参数值。
  • η \eta η：学习率，表示每次更新的步幅的大小。
  • d d x \frac{d}{dx} dxd：目标函数 ( f ) ( f ) (f) 对参数 ( x ) ( x ) (x) 的梯度，表示 ( x ) ( x ) (x)方向上的变化率。

代码：

python 复制代码 
# 3. 梯度下降优化最优解
def test03():
    # y = x**2
    x = torch.tensor(10, requires_grad=True, dtype=torch.float64)

    for _ in range(5000):
        # 正向计算
        f = x ** 2
        # 梯度清零
        if x.grad is not None:
            x.grad.data.zero_()
        # 反向传播计算梯度
        f.backward()
        # 更新参数
        x.data = x.data - 0.001 * x.grad
        print('%.10f' % x.data)

结果：

  1. 第一个结果是：9.9800000000
  2. 最后一个结果：0.0004494759

数学解释：

  • 初始化参数 ( x ) ( x ) (x)： [ x = 10 ] [ x = 10 ] [x=10]
  • 目标函数 ( f ) ( f ) (f)： [ f ( x ) = x 2 ] [ f(x) = x^2 ] [f(x)=x2]
  • 计算梯度： [ d ( f ) d ( x ) = 2 x ] [ \frac{d(f)}{d(x)} = 2x ] [d(x)d(f)=2x]对于初始 ( x = 10 ) ( x = 10 ) (x=10)，梯度为 ( 2 × 10 = 20 ) ( 2 \times 10 = 20 ) (2×10=20)。
  • 更新参数： [ x new = x old − 0.001 ⋅ d ( f ) d ( x ) ] [ x_{\text{new}} = x_{\text{old}} - 0.001 \cdot \frac{d(f)}{d(x)} ] [xnew=xold−0.001⋅d(x)d(f)]对于初始 ( x = 10 ) ( x = 10 ) (x=10)，更新后的 ( x ) 为： [ x new = 10 − 0.001 × 20 = 10 − 0.02 = 9.98 ] [ x_{\text{new}} = 10 - 0.001 \times 20 = 10 - 0.02 = 9.98 ] [xnew=10−0.001×20=10−0.02=9.98]

重复更新：

这个过程会在循环中重复多次，每次都根据新的 𝑥x 值计算梯度并更新参数。随着迭代次数的增加，𝑥x 会逐渐减小，最终趋近于 0，这是因为对于函数 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 而言，最小值在 𝑥=0x=0 处取得。
为什么选择梯度的负方向：

选择梯度的负方向是因为梯度表示函数值增加最快的方向。为了最小化函数，我们需要沿着梯度的反方向移动，即梯度的负方向。
学习率的选择：

学习率 η η η 决定了每次参数更新的步幅大小。选择合适的学习率非常重要：

  • 学习率太大：会导致更新步幅过大，可能会跳过最优解，导致发散。
  • 学习率太小：会导致更新步幅过小，收敛速度过慢，可能需要更多的迭代次数才能接近最优解。

总结：

梯度下降法是通过反复调整参数，使目标函数的值达到最小的一种优化算法。每次更新参数时，沿着梯度的负方向移动一个步幅，这个步幅由学习率决定。通过这种方式，逐步逼近目标函数的最优解。在实际应用中，选择合适的学习率和迭代次数，对于模型的优化效果至关重要。

6、梯度计算注意事项

当对设置 requires_grad=True 的张量使用 numpy 函数进行转换时, 会出现如下报错：

Can't call numpy() on Tensor that requires grad. Use tensor.detach().numpy() instead.

此时, 需要先使用 detach 函数将张量进行分离, 再使用 numpy 函数.

注意：detach 之后会产生一个新的张量, 新的张量作为叶子结点，并且该张量和原来的张量共享数据, 但是分离后的张量不需要计算梯度。

python 复制代码 
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author: CSDN@逐梦苍穹
# @Time: 2024/7/20 3:22
import torch


# 1. detach 函数用法
def test01():

    x = torch.tensor([10, 20], requires_grad=True, dtype=torch.float64)

    # Can't call numpy() on Tensor that requires grad. Use tensor.detach().numpy() instead.
    # print(x.numpy())  # 错误
    print(x.detach().numpy())  # 正确


# 2. detach 前后张量共享内存
def test02():

    x1 = torch.tensor([10, 20], requires_grad=True, dtype=torch.float64)

    # x2 作为叶子结点
    x2 = x1.detach()
    print(x1)
    print(x2)
    # 两个张量的值一样
    # TODO id() 函数用于返回对象的唯一标识符（identity）
    print(id(x1.data), id(x2.data))
    x2.data = torch.tensor([100, 200])
    print(x1)
    print(x2)
    # x2 不会自动计算梯度: False
    print(x2.requires_grad)


if __name__ == '__main__':
    print("test01")
    test01()
    print("test02")
    test02()

程序运行结果:

E:\anaconda3\python.exe D:\Python\AI\PyTorch\15-梯度计算\3-detach.py 
test01
[10. 20.]
test02
tensor([10., 20.], dtype=torch.float64, requires_grad=True)
tensor([10., 20.], dtype=torch.float64)
3035001264464 3035001264464
tensor([10., 20.], dtype=torch.float64, requires_grad=True)
tensor([100, 200])
False

Process finished with exit code 0

不会自动计算梯度：

7、张量转标量的选择⭐

在机器学习和深度学习中，梯度的计算和应用是优化模型的核心部分。

  1. 梯度的作用

梯度是指函数在某一点的导数或变化率，表示该点处函数值变化最迅速的方向。

在深度学习中，梯度主要用于以下方面：

①优化模型参数：通过梯度下降法（或其变体），调整模型参数以最小化损失函数。

②反向传播：在训练神经网络时，通过计算损失函数相对于模型参数的梯度，更新参数，使得模型的预测更准确。

  1. 为什么梯度的值可以不一样
    梯度的值取决于你选择的损失函数和如何将多维输出转换为标量。

例如，求和和求均值两种方法在将向量转换为标量时会导致不同的梯度值。

  1. 均值和求和得到的梯度在作用上的区别
    求和：
    梯度值较大：每个元素的梯度直接反映其对总和的贡献。适用于所有元素的贡献需要累加的情况。
    更新步幅更大：在梯度下降中，更新步幅较大，因为梯度值较大。
    求均值：
    梯度值较小：每个元素的梯度反映其对均值的贡献。适用于考虑整体均衡贡献的情况 。
    更新步幅较小：在梯度下降中，更新步幅较小，因为梯度值较小。

总结：

  • 梯度的作用：梯度用于优化模型参数，使得损失函数最小化。
  • 梯度的值可以不一样：不同的标量化方法（如求和和求均值）会导致不同的梯度值。
  • 求和与求均值的区别：求和使梯度较大，更新步幅较大；求均值使梯度较小，更新步幅较小。选择哪种方法取决于具体应用和需求。
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