【MR】现代机器人学-时间最优时间缩放

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在接下来的几个视频中，我们考虑以下
问题：
给定所需的路径 theta-of-s，
考虑机器人的动力学和
机器人关节处的扭矩限制，找到沿该路径的最佳时间缩放。
最短时间运动可用于最大限度地提高
机器人的生产率。
您可以想象尝试优化其他
标准，例如
执行器消耗的能量，但在接下来的几个视频中，
我们将重点关注时间最佳轨迹。

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回想一下，机器人的动力学可以
写成 M 乘以 θ 双点加上
速度乘积项加上重力项，
等于关节力和扭矩矢量 tau。
在这里，我使用 Christoffel 符号矩阵 Gamma 编写了速度乘积项，
以强调它在关节速度矢量中是二次的
。
请记住，我们只
对机器人位于
路径 theta-of-s 上时的动力学感兴趣，我们可以将 theta-dot
和 theta-double-dot 重写为
路径相对于以下导数的函数 s
以及 s 对时间的导数。
将这些表达式代入动力学中，
我们得到此处所示的表达式。
由于路径是预先给定的，
theta 对 s 的导数也是预先已知的
，只有 s、s-dot 和 s-double-dot
是变量。
因此，我们可以将这个方程写为
向量方程 m-of-s 乘以 s-double-dot
加上 c-of-s 乘以 s-dot-squared 加上 g-of-s
等于 tau。
m-of-s、c-of-s 和 g-of-s 中的每一个都是
s 的向量函数，其中 c-of-s 乘以 s-dot-squared
是速度积项，g-of-  s 是
引力项，m-of-s 起到质量的作用
。然而，
m 向量的某些元素可能为负
。
该方程是机器人
被限制沿路径
theta-of-s 移动时的动力学方程。
该方程没有说明
机器人偏离路径时的动力学。

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现在我们已经用
单路径参数 s（而
不是关节矢量 theta）来表达动力学，我们必须考虑
机器人执行器可以产生的力或扭矩的限制。
第 i 个关节处的限制可以写
为 tau_i 大于 tau_i-min 且
小于 tau_i-max。
例如，tau_i-min 可以是负五
牛顿米，tau_i-max 可以是正五
牛顿米。
但一般来说，极限是
theta 和 theta-dot 的函数。
特别是，电动机可以产生的最大扭矩
通常
随着速度的增加而减小，直到
最终变为零。
请记住，
当机器人受限于路径时，我们可以用 s 和 s-dot 来表达 theta 和 theta-dot，
我们可以将
执行器限制重写为 s 和
s-dot 的函数。
如果我们将路径受限动力学的第 i 个分量替换
为 tau_i，我们
就会得到这些约束。
因此，
当机器人处于
（s，s-dot）状态时，第 i 个致动器对沿路径可能的加速度 s-double-dot进行了限制

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为了确定第 i 个执行器对
s-double-dot 的限制，我们从所有三个表达式中减去 c_i 乘以 s-dot-squared
和 g_i，然后
除以 m_i。
由于 m_i 可以为正或负，因此
有两种可能的情况：如果 m_i 为正，
则 s-double-dot 的下限 L_i
和 s-double-dot 的上限 U_i
由以下等式给出 。
如果 m_i 为负，则 L_i 和 U_i
由这些方程给出。
这些方程告诉我们
沿着
关节 i 在状态 (s, s-dot) 下允许的路径的最大和最小加速度 s-double-dot。

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如果我们计算所有关节的 L_i 和 U_i，
则 (s, s-dot) 的 L，
即状态 (s, s-dot) 下的最小可行加速度 s-double-dot
，就是下限中的最大值
遍及所有关节。
类似地，(s, s-dot) 的 U，即最大可行
加速度 s-double-dot，只是
所有关节上限的最小值。
现在，我们可以将
机器人沿路径的加速度约束简洁地表达
为 s-double-dot 大于 (s, s-dot) 的 L
且小于 (s, s-dot) 的 U。
在某些状态下，L 实际上可能
大于 U，在这种情况下，没有可行的
加速度使机器人保持在路径上。
换句话说，如果机器人发现自己
处于这种状态，它必须立即
离开路径；执行器的强度
不足以让机器人保持在路径上。
当机器人高速移动时，通常会发生这种情况
。
现在我们已经将执行器约束减少
到 s-double-dot 大于 L 且
小于 U，我们可以在数学上将
时间最优缩放问题表达如下：
给定路径 theta-of-s，初始状态
s 和 s-dot 为零，并且
s 为 1 且 s-dot 为零的最终状态，我们
希望找到一个单调递增的二次可微分
时间尺度，它 (a) 满足终端
条件并且 (b) 最小化总和 行程
时间资本 T 同时满足执行器
约束。
这个问题可以用很好的图形
解释来解释，我们将在下一个视频中看到

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在上一个视频中，我们学会了将
机器人的关节力和扭矩限制表示为
对
沿路径 theta-of-s 的可行加速度 s-double-dot 的约束，作为
状态 (s, s-dot) 的函数。
在本视频中，我们将以图形方式表达这些约束，
并深入了解
时间最优的时间缩放问题。

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让我们绘制平面（s，s-点）。
运动开始时，s 和 s-dot
均为零。
运动结束时，s 等于 1，
s-dot 等于 0。
开始和结束状态显示为点。
由于我们要求沿着路径的运动
是单调的，即机器人总是
沿着路径向前移动，所以s-dot必须始终为
正。
所以我们只需要绘制
（s，s-dot）平面的右上象限。
如果机器人沿着路径移动非常缓慢，
那么机器人的运动
从开始到结束基本上都是沿着 s 轴的。

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更典型的时间缩放可能看起来
像这样。
s-dot 从零开始，增加到
最大值，然后在运动结束时回落到零
。
到目前为止，我们一直将时间尺度表示
为 s 作为时间的函数，但在这里我们将
其绘制为 s 点作为 s 的函数。
相同的时间缩放可以用任何一种
方式表示，但在这个时间最优问题中，将
时间缩放表示
为 s-dot-of-s 更方便。

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现在让我们看看
机器人在其轨迹上的特定状态，由该
点（s，s-点）表示。

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我们可以绘制时间缩放的切
向量，如下所示。

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现在让我们摆脱时间缩放，这样我们
就可以专注于这个切向量。
切向量由水平
分量和垂直分量组成。

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水平分量表示
s 的变化率，因此它就是 s-dot，
可以
沿 s-dot 轴绘制为与点的高度成正比。
垂直分量表示
s-dot的变化率，换言之，加速度
s-double-dot。

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如果我们假设 s-double-dot 始终
为零，那么状态 (s,
s-dot) 处的切向量将如下所示。
矢量的水平分量
由点的 s 点值确定。

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现在让我们关注
状态 (s, s-dot) 处的一个特定切向量。
水平分量是s点。

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但现在我们假设垂直分量，即
加速度 s-double-dot，可以是
从 L of (s, s-dot) 到
U of (s, s-dot) 范围内的任何值，即可行加速度的范围
根据动态。

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将这些垂直向量与水平
向量相加，我们得到此处显示的向量。

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这些矢量形成一个称为可行
运动锥的锥体。
在此状态 (s, s-dot) 下，
时间缩放的切向量必须位于该锥体内
才能满足执行器限制。

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因此，在这种状态下，像这样的时间缩放是
可以的，因为切向量
位于可行的运动锥内。

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相反，如果我们的可行运动锥体
如下所示，则切向量位于
锥体外部，并且
根据机器人的致动器限制，此时不可能进行时间缩放。

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您可以想象在
平面上的每个点绘制运动锥，问题
是尽快从起始状态到达目标
状态，同时保持沿曲线的
所有运动锥内的时间缩放的切线
。
由于我们希望尽可能快，因此
时间缩放应始终尽可能高，
并且为了找到这样的时间缩放，我们可以从初始状态开始对
运动锥的上边缘进行前向积分
。

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在这里，您可以看到一条通过对
最大可能加速度进行数值积分得出的曲线。
由于该曲线沿着
运动锥的边缘行进，因此至少有一个执行器
始终在极限状态下运行。
此时间缩放使机器人
尽可能快地沿着路径行驶，但不会根据需要
使机器人在路径末端停止
。

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现在想象一下从
最终状态沿着可行运动锥的下边缘向后积分
。

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该积分曲线与另一条积分
曲线在切换点 s-star 处相交。
您在这里看到的时间缩放，
由数值积分获得的两段表示
，是时间最优的时间缩放。

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在第一段期间，机器人
沿路径最大加速，在
第二段期间，机器人
沿路径最大减速。
很明显为什么这是时间最优的：在第一段中
，机器人不能走得更快，
而在第二段中，如果速度 s-dot
在任何给定的 s 上更高，机器人
将无法达到 一个停留。
这种时间缩放使速度 s-dot
在任何时候都保持尽可能高，因此
运动的持续时间尽可能短
。

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这种轨迹被称为"bang-bang"
轨迹，因为一个或多个致动器
在第一段期间"碰撞"限制，
然后一个或多个致动器
在第二段期间"碰撞"限制。

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将此与非最佳轨迹进行比较，其中
时间缩放的切线位于
运动锥体的内部，而不是
边缘。
机器人在任何给定位置 s 的速度都
低于时间最优
时间缩放的速度。
这就是时间缩放算法背后的基本思想
，除了一个问题之外，我
现在将对此进行描述。

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让我们绘制特定
状态（s，s-dot）的运动锥。
如果保持 s 不变但增加 s-dot，
您会得到不同的运动锥体。
如果进一步增加 s-dot，则运动
锥体可能会减小为单个矢量，其中
加速度下限与
加速度上限相同。
如果进一步增加 s-dot，则任何运动都是
不可行的，这意味着机器人的
行进速度太快，致动器无法将
机器人保持在路径上。

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一般来说，我们可以绘制一条速度极限
曲线：在这条曲线上的状态下，只能
有一个加速度，在
这条曲线上方的状态下，机器人立即离开路径。
在曲线下方的状态，存在一个
可能的切向量圆锥。

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现在，考虑到速度限制的存在
，我们最终可能会遇到如下
所示的情况：最大加速度
曲线和最大减速度曲线
不相交，而是遇到
速度限制曲线。
因此，爆炸式控制是不可能的。
在这种情况下该怎么做是
第 9 章下一个也是最后一个视频的主题。

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在之前的视频中，我们学习了
时间最优时间缩放问题的图形解释
。
基本上，我们尝试保持速度 s-dot
尽可能高，同时保持在
机器人执行器规定的运动锥内。
在某些情况下，时间最优解
由爆炸轨迹给出，其中
机器人最大加速然后最大
减速。

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但在其他情况下，速度限制
曲线阻止了像这样的简单解决方案。

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在第 9 章的最后一个视频中，我们开发了
一种算法来处理这种情况。
该算法的第一步是初始化，
您可以在书中找到。

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在步骤 2 中，我们
从最终状态向后积分最小加速度 L，直到
s 等于 0 或运动锥
在速度极限曲线处消失。
在这里所示的图中，我们到达了速度
极限曲线。

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在步骤 3 中，我们对
从初始状态向前的最大加速度进行积分，直到与
最后一段或速度限制
曲线相交。
如果我们与最后一段相交，那么我们就
完成了：我们已经找到了最佳时间缩放。
在图中，我们
在(s_lim, s_lim-dot)处与速度限制曲线相交。
我们知道我们必须在
该交叉点之前的某个点减速，以避免
撞上速度限制曲线。
由于时间最优轨迹
仅由最大加速度 U 和最小加速度
L 组成，因此我们需要找到
从 U 切换到 L 的点。

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找到切换点的一种方法是
从我们所在的点降低速度 s-dot
达到速度极限曲线，并
向前积分最小加速度 L。

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根据我们减少 s-dot 的程度，前向
积分将要么达到 s 轴，就像

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我们前两个猜测一样；要么达到 s 轴。 或者它
会再次与速度极限曲线相交

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就像我们的第三个猜测一样； 否则它会切向接触
速度限制曲线。
我们正在寻找的正是这个切点
，我们将其称为 (s_tan, s_tan-dot)。

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在第5步中，我们
从切点向后积分最小加速度L，直到它与
之前的U线段相交。
这是从最大
加速度到最小加速度的切换点s_1。

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红色阴影区域中的状态最终将
与速度限制曲线发生碰撞，因此
必须避免它们。

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在步骤6中，我们将切点标记为
切换点s_2，在这里我们再次从
最小加速度L切换到最大加速度
U。

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然后我们回到步骤3，
再次向前积分U。
该段将再次与速度限制
曲线相交，在这种情况下我们重复
刚才描述的过程，或者它将与
最后的 L 段相交，并且算法
完成。
如图所示，该算法
以三个切换点完成，时间最优
时间缩放由
直到 s_1 的最大加速度，然后是直到 s_2 的最小加速度
，然后是
直到 s_3 的最大加速度，然后是
使机器人达到 休息。
这种时间缩放使
路径上所有点的速度保持尽可能高，同时
确保轨迹对于执行器来说是可行的
。

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该算法的关键步骤是步骤 4，找到
速度极限曲线上的下一个切点
。 一种计算效率更高的方法
不是使用二分搜索猜测和检查
方法，而是以
数值方式构造
速度限制曲线并搜索
运动射线与曲线相切的下一个点。

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显然，在交点处，
运动射线进入不允许状态的区域
。
当我们沿着速度极限曲线搜索时，
我们最终找到曲线上
运动射线与极限曲线相切的点。

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我们现在可以像以前一样继续使用算法。
还有一些其他的技术细节、特殊
情况和算法的改进，
其中一些在书中进行了描述，但
我给出的描述涵盖了最重要的点。
由于时间最优时间缩放要求
一个或多个执行器始终以最大
容量运行，并且由于动态
模型永远无法准确得知，因此该算法
很少直接用于轨迹生成。
尽管如此，它提供了对机器人
最大能力的深刻理论理解
。
第 9 章到此结束。
您现在了解了如何生成机器人轨迹的基础知识
，以及如何
使用第 8 章的动态方程来查找
沿指定路径的时间最优轨迹
。
在第10章中，我们将研究
障碍物之间的运动规划问题。

【MR】现代机器人学-时间最优时间缩放

Modern Robotics, Chapter 9.4: Time-Optimal Time Scaling (Part 1 of 3)

Modern Robotics, Chapter 9.4: Time-Optimal Time Scaling (Part 2 of 3)

Modern Robotics, Chapter 9.4: Time-Optimal Time Scaling (Part 3 of 3)