NOIP图论 最小生成树——Prim算法(详细图解)

最小生成树的概念

经典题目

prim算法简介

[prim算法解析 (详细图解)](#prim算法解析 (详细图解))

代码实现

代码实战


最小生成树的概念

在一给定的无向图G = (V, E) 中,(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边,而 w(u, v) 代表此的边权重,若存在 T 为 E 的子集(即)且为无循环图,使得的 w(T) 最小,则此 T 为 G 的最小生成树 。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。(简而言之就是把一个图变成一棵树,并且树中的边权和最小)

经典题目

P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)https://www.luogu.com.cn/problem/P3366

(这道题的数据过大,为了简化问题,我们假定数据范围可以用一个二维数组存下)

prim算法简介

prim算法基于贪心,我们每次总是选出一个离生成树距离最小的点去加入生成树,最后实现最小生成树(不做证明,理解思想即可)

prim算法解析 (详细图解)

(随机构建一个无向图)

  • 现在我们构建两个集合S(红色的点),V(蓝色的点),S集合中存放的是已近加入最小生成树的点,V集合中存放的是还没有加入最小生成树的点。显然刚开始时所有的点都在V集合中。
  • 然后们先将任意一个点加入集合S中(默认为点1),并且初始化所有点(除了点1)到集合S的距离是无穷大。
  • 用一个变量res存放最小生成树所有边权值的和。我们每次都选择离S集合最近的点加入S集合中,并且用新加入的点去更新dist数组,因为只有一个新的点加入到集合S中,到集合S的距离才有可能更新(贪心,每次都选最小的)。
  • 更新就是看一下能否通过新加入的点使到达集合的距离变小(看下面dist数组的变化)。
  • 我们开始在加入点1后开始第一次更新。
  • 现在集合S={1},集合V={2,3,4,5,6,7},根据贪心策略,我们选择离集合S最近的点加入 ,即点2,并把这一条边的权值加到res中。
  • 集合更新为S={1,2},V={3,4,5,6,7},并用点2去更新dist数组,我们发现点3和点7都可以都可以通过边2-3,2-7缩短到集合S得距离。
  • 重复上面的步骤,直到将全部的点加入到最小生成树中。
  • 3并不能更新任何点

  • 这样一颗最小生成树就构建完成了,权值和是57。

代码实现

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       const 
       
       int MAXN = 
       
       1000,INF = 
       
       0x3f3f3f3f;
       
       //定义一个INF表示无穷大。
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       int g[MAXN][MAXN],dist[MAXN],n,m,res;
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       //我们用g[][]数组存储这个图,dist[]储存到集合S的距离,res保存结果。
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       bool book[MAXN];
       
       //用book数组记录某个点是否加入到集合S中。
      
      
      
     
     
     

 

 
 
 
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       int main()
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           cin>>n>>m;
       
       //读入这个图的点数n和边数m
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       for(
       
       int i = 
       
       1 ; i<= n ;i++)
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       for(
       
       int j = 
       
       1; j <= n ;j++)
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
                   g[i][j] = INF;
       
       //初始化任意两个点之间的距离为正无穷(表示这两个点之间没有边)
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               }
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               dist[i] = INF;
       
       //初始化所有点到集合S的距离都是正无穷
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           }
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       for(
       
       int i = 
       
       1; i <= m ; i++)
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       int a,b,w;
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               cin>>a>>b>>w;
       
       //读入a,b两个点之间的边
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               g[a][b] = g[b][a] = w;
       
       //由于是无向边,我们对g[a][b]和g[b][a]都要赋值
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           }
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       prim();
       
       //调用prim函数
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       if(res==INF)
       
       //如果res的值是正无穷,表示不能该图不能转化成一棵树,输出orz
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               cout<<
       
       "orz";
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       else
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               cout<<res;
       
       //否则就输出结果res
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       return 
       
       0;
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       }
      
      
      
     
     
     

 

 
 
 
  
  ![](https://csdnimg.cn/release/blogv2/dist/pc/img/newCodeMoreWhite.png)
 
 
 
 
 
 
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       void prim()
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           dist[
       
       1] = 
       
       0;
       
       //把点1加入集合S,点1在集合S中,将它到集合的距离初始化为0
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           book[
       
       1] = 
       
       true;
       
       //表示点1已经加入到了S集合中
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       for(
       
       int i = 
       
       2 ; i <= n ;i++)dist[i] = 
       
       min(dist[i],g[
       
       1][i]);
       
       //用点1去更新dist[]
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
          
       
       for(
       
       int i = 
       
       2 ; i <= n ; i++)
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       int temp = INF;
       
       //初始化距离
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       int t = 
       
       -1;
       
       //接下来去寻找离集合S最近的点加入到集合中,用t记录这个点的下标。
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       for(
       
       int j = 
       
       2 ; j <= n; j++)
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
                  
       
       if(!book[j]&&dist[j]<temp)
       
       //如果这个点没有加入集合S,而且这个点到集合的距离小于temp就将下标赋给t
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
                   {
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
                       temp = dist[j];
       
       //更新集合V到集合S的最小值
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
                       t = j;
       
       //把点赋给t
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
                   }
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               }
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       if(t==
       
       -1){res = INF ; 
       
       return ;}
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       //如果t==-1,意味着在集合V找不到边连向集合S,生成树构建失败,将res赋值正无穷表示构建失败,结束函数
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               book[t] = 
       
       true;
       
       //如果找到了这个点,就把它加入集合S
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
               res+=dist[t];
       
       //加上这个点到集合S的距离
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
              
       
       for(
       
       int j = 
       
       2 ; j <= n ; j++)dist[j] = 
       
       min(dist[j],g[t][j]);
       
       //用新加入的点更新dist[]
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
           }
      
      
      
     
     
     

  
* 
     
     
     
      
      
      
     
     
     

     
     
     

      
      
      
       
       }
      
      
      
     
     
     

 

 
 
 
  
  ![](https://csdnimg.cn/release/blogv2/dist/pc/img/newCodeMoreWhite.png)
 
 
 
 
 
 

代码实战

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行,也许看完了上面的解析,你已经最prim算法有了一个大致的了解,学习算法,大致的了解是远远不够的,代码的实践永远是最重要的,学习完一个算法后一定要去自己亲手试试,每个人都有自己的代码风格,大家大可以在自己的风格之上写出自己的prim。

prim习题 简介 难度
[P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)](https://www.luogu.com.cn/problem/P3366 "P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)") 模板题
[P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)](https://www.luogu.com.cn/problem/P1967 "P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输 - 洛谷 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)") 基本应用
[P1991 无线通讯网 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)](https://www.luogu.com.cn/problem/P1991 "P1991 无线通讯网 - 洛谷 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)") 基本应用

第一题是模板,后面两题主要是更好得帮助我们理解最小生成树------prim在实际和题目中得应用。

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