实验三 离散系统的冲激响应和阶跃响应
一、实验目的
(1)加深对离散线性移不变(LSI)系统基本理论的理解，明确差分方程与系统函数之间的关系。
(2)初步了解用MATLAB语言进行离散时间系统研究的基本方法。
(3)掌握求解离散时间系统冲激响应和阶跃响应程序的编写方法，了解常用子函数。
二、实验涉及的MATLAB子函数
1.impz
功能：求解数字系统的冲激响应。
调用格式：
［h，t］＝impz(b，a)；求解数字系统的冲激响应h，取样点数为缺省值。
［h，t］＝impz(b，a，n)；求解数字系统的冲激响应h，取样点数由n确定。
impz(b，a)；在当前窗口用stem(t，h)函数出图。
2.dstep
功能：求解数字系统的阶跃响应。
调用格式：
［h，t］＝dstep(b，a)；求解数字系统的阶跃响应h，取样点数为缺省值。
［h，t］＝dstep(b，a，n)；求解数字系统的阶跃响应h，取样点数由n确定。
dstep(b，a)；在当前窗口用stairs(t，h)函数出图。
3.filter
功能：对数字系统的输入信号进行滤波处理。
调用格式：
y＝filter(b，a，x)；对于由矢量a、b定义的数字系统，当输入信号为x时，对x中的数据进行滤波，结果放于y中，长度取max(na，nb)。
［y，zf］＝filter(b，a，x)；除得到结果矢量y外，还得到x的最终状态矢量zf。
y＝filter(b，a，x，zi)；可在zi中指定x的初始状态。
4.filtic
功能：为filter函数选择初始条件。
调用格式：
z＝filtic(b，a，y，x)；求给定输入x和y时的初始状态。
z＝filtic(b，a，y)；求x＝0，给定输入y时的初始状态。
其中，矢量x和y分别表示过去的输入和输出：
x＝［x(－1)，x(－2)，...，x(－N)］
y＝［y(－1)，y(－2)，...，y(－N)］
说明：以上子函数中的b和a，分别表示系统函数H(z)中由对应的分子项和分母项系数所构成的数组。如式(4-2)所示，H(z)按z－1(或z)的降幂排列。在列写b和a系数向量时，两个系数的长度必须相等，它们的同次幂系数排在同样的位置上，缺项的系数赋值为0。
在MATLAB信号处理工具箱中，许多用于多项式处理的函数，都采用以上的方法来处理分子项和分母项系数所构成的数组。在后面的实验中不再说明。
三、实验原理
1.离散LSI系统的响应与激励：由离散时间系统的时域和频域分析方法可知，一个线性移不变离散系统可以用线性常系数差分方程表示：
也可以用系统函数来表示：
系统函数H(z)反映了系统响应与激励间的关系。一旦上式中的bm和ak的数据确定了，则系统的性质也就确定了。其中特别注意：a0必须进行归一化处理，即a0＝1。
对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位脉冲序列或单位阶跃序列，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号加于系统的零状态响应。因此，求解系统的冲激响应和阶跃响应尤为重要。由图4-1可以看出一个离散LSI系统响应与激励的关系。
同时，图4-1显示了系统时域分析方法和z变换域分析法的关系。如果已知系统的冲激响应h(n)，则对它进行z变换即可求得系统函数H(z)；反之，知道了系统函数H(z)，对其进行z逆变换，即可求得系统的冲激响应h(n)。
图4-1 离散LSI系统响应与激励的关系
2.用impz和dstep子函数求解离散系统的单位冲激响应和阶跃响应
在MATLAB语言中，求解系统单位冲激响应和阶跃响应的最简单的方法是使用MATLAB提供的impz和dstep子函数。
下面举例说明使用impz和dstep子函数求解系统单位冲激响应和阶跃响应的方法。
四、实验任务
(1)认真阅读实验原理部分，明确本次实验目的，复习有关离散LSI系统的理论知识。
(2)读懂实验原理并编写例题程序，理解每一条语句的意义，了解用MATLAB进行离散时间系统冲激响应和阶跃响应求解的方法、步骤，熟悉MATLAB与本实验有关的子函数。
(3)列写已调试通过的实验任务程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。
例4-1已知一个因果系统的差分方程为
6y(n)＋2y(n－2)＝x(n)＋3x(n－1)＋3x(n－2)＋x(n－3)
满足初始条件y(－1)＝0，x(－1)＝0，求系统的单位冲激响应和阶跃响应。
解：将y(n)项的系数a0进行归一化，得到
分析上式可知，这是一个3阶系统，列出其bm和ak系数：
编写MATLAB程序如下(取N＝32点作图)：
a＝［1，0，1/3，0］；
b＝［1/6，1/2，1/2，1/6］；
N＝32；
n＝0：N－1；
hn＝impz(b，a，n)； %求时域单位冲激响应
gn＝dstep(b，a，n)； %求时域单位阶跃响应
subplot(1，2，1)，stem(n，hn，¢k¢)；%显示冲激响应 曲线
title(¢系统的单位冲激响应¢)；
ylabel(¢h(n)¢)；xlabel(¢n¢)；
axis(［0，N，－1.1*min(hn)，1.1*max(hn)］)；
subplot(1，2，2)，stem(n，gn，¢k¢)；%显示阶跃响应 曲线
title(¢系统的单位阶跃响应¢)；
ylabel(¢g(n)¢)；xlabel(¢n¢)；
axis(［0，N，－1.1*min(gn)，1.1*max(gn)］)；
系统的单位冲激响应和阶跃响应如图4-2所示。
a=[1,0,1/3,0];
b=[1/6,1/2,1/2,1/6];
N=32;
n=0:N-1;
hn=impz(b,a,n); %求时域单位冲激响应
gn=dstep(b,a,n); %求时域单位阶跃响应
subplot(1,2,1),stem(n,hn,'k');%显示冲激响应曲线
title('系统的单位冲激响应');
ylabel('h(n)');xlabel('n');
axis([0,N,-1.1*min(hn),1.1*max(hn)]);
subplot(1,2,2),stem(n,gn,'k');%显示阶跃响应曲线
title('系统的单位阶跃响应');
ylabel('g(n)');xlabel('n');
axis([0, N, -1.1*min(gn), 1.1*max(gn)]);
例4-1系统的单位冲激响应和阶跃响应
3.用filtic和filter子函数求解离散系统的单位冲激响应
MATLAB提供了两个子函数filtic和filter来求解离散系统的响应。当输入信号为单位冲激信号时，求得的响应即为系统的单位冲激响应；当输入信号为单位阶跃信号时，求得的响应即为系统的单位阶跃响应。
例4-3 已知一个因果系统的差分方程为
6y(n)－2y(n－4)＝x(n)－3x(n－2)＋3x(n－4)－x(n－6)
满足初始条件y(－1)＝0，x(－1)＝0，求系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。时间轴上N取32点作图。
解 将y(n)项的系数a0进行归一化，得到
分析上式可知，这是一个6阶系统，直接用MATLAB语言列出其bm和ak系数：
a＝［1，0，0，0，－1/3，0，0］；
b＝［1/6，0，－1/2，0，1/2，0，－1/6］；
注意：原公式中存在着缺项，必须在相应的位置上补零。
编写MATLAB程序如下：
x01＝0；y01＝0；N＝32； %赋初始条件和采样点数
a＝［1，0，0，0，－1/3，0，0］；%输入差分方程系数
b＝［1/6，0，－1/2，0，1/2，0，－1/6］；
xi＝filtic(b，a，0)；%求等效初始条件的输入序列
n＝0：N－1；%建立N点的时间序列
x1＝［n＝＝0］；%建立输入单位冲激信号x1(n)
hn＝filter(b，a，x1，xi)；%对输入单位冲激信号进行滤波，求冲激响应
x2＝［n>＝0］；%建立输入单位阶跃信号x2(n)
gn＝filter(b，a，x2，xi)；%对输入单位阶跃信号进行 滤波，求阶跃响应
subplot(1，2，1)，stem(n，hn)；
title(¢系统单位冲激响应¢)；
subplot(1，2，2)，stem(n，gn)；
title(¢系统单位阶跃响应¢)；
x01=0;y01=0;N=32; %赋初始条件和采样点数
a=[1,0,0,0,-1/3,0,0];%输入差分方程系数
b=[1/6,0,-1/2,0,1/2,0,-1/6];
xi=filtic(b,a,0),%求等效初始条件的输入序列
n=0:N-1,%建立N点的时间序列
x1=[n==0];%建立输入单位冲激信号x1(n)
hn=filter(b,a,x1,xi);%对输入单位冲激信号进行滤波，求冲激响应
x2=[n>=0];%建立输入单位阶跃信号x2(n)
gn=filter(b,a,x2,xi);%对输入单位阶跃信号进行 滤波，求阶跃响应
subplot(1,2,1),stem(n,hn);
title('系统单位冲激响应');
subplot(1,2,2),stem(n,gn);
title('系统单位阶跃响应）；
图4-4 用filter子函数求解例4-3系统的响应