动态规划
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。
动态规划基本步骤
找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
递归地定义最优值。
以自底向上的方式计算出最优值。
根据计算最优值时得到的信息，构造最优解
矩阵连乘问题
将矩阵连乘积A_iA_i+1...A_j，简记为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵A_k和A_k+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全加括号方式为(A_iA_i+1...A_k)(A_k+1A_k+2...A_j)
计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。
动态规划算法的基本要素
一、最优子结构
二、重叠子问题
三、备忘录方法
最优二叉搜索树
在表示S的二叉搜索树T中，设存储元素x_i的节点深度为c_i；叶节点(x_j,x_j+1)的节点深度为d_j，则
打不出来
表示在二叉搜索树中进行以此搜索需要的平均比较次数，又称为T的平均路长
最优二叉搜索树问题是指对于S及其存取概率分布(a_0,b_1,a_1,⋯,b_n,a_n)，在所有表示S的二叉搜索树中找出一棵具有最小平均路长的二叉搜索树。
贪心算法
贪心算法的设计思想：
(1) 从某一个初始状态出发
依据当前局部的最优决策，而不是全局的最优决策
以满足约束方程为条件，以使得目标函数的值增加最慢或者最快为准则，选择一个最快达到要求的输入元素
贪心法的优势：
算法简单，时间和空间复杂性低.
适于用贪心算法求解的条件
1）贪婪选择性质：所求问题的全局最优解，可以通过一系列局部最优的选择来达到
2）最优子结构：问题的最优解，包含它的子问题的最优解
的选择来达到
例子：
例：从 10 张 10 元、10 张 5 元、10 张 1 元、10 张 5角、10 张 2 角、10 张 1 角的货币中兑付 57 元 8 角。 用集合P={p_1,p_2,⋯,p_60}表示出纳手中的货币，而集合中的元素分别顺序表示货币手中的10张10元，10张5元，...
向量X=(x_1,x_2,⋯,x_60)表示支付给客户的货币
为了尽快付清57元8角，第一步挑出的货币集合为S_1={p_1}，局部解为Y_1=(1,0,⋯)
问题简化为：在集合 P_1={p_2,⋯,p_60}中挑选货币，支付47 元 8 角
在以后的步骤中，可以用同样的方法进行挑选，并能得到问题的全局最优解
付给客户的货币集合的最优解是
S_n={p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_11,p_21,p_22,p_31,p_41,p_51}
第一步所简化了的子问题的最优解是
S_n−1={p_2,p_3,p_4,p_5,p_11,p_21,p_22,p_31,p_41,p_51}
所以，出纳员付钱问题具有最优子结构性质
S_n−1⊂ S_n
S_n−1∪{p_1}=S_n
NP完全性
----就是易解的问题与难解的问题
如果存在函数 f :N®N使得, 对任意的规模为 n的实例 I, 算法 A对 I 的运算在 f(n)步内停止, 则称算法 A的时间复杂度为 f(n).
多项式时间算法: 以多项式为时间复杂度.
易解的问题: 有多项式时间算法.
难解的问题: 不存在多项式时间算法.
易解的问题. 如排序、最小生成树、单源最短路径等
已证明的难解问题.
一类是不可计算的, 即根本不存在求解算法, 如希尔伯特第十问题¾¾丢番图方程是否有整数解.
另一类是有算法, 但至少需要指数时间, 或指数空间, 甚至更多的时间或更大的空间. 如带幂运算的正则表达式的全体性, 即任给字母表 A上的带幂运算的正则表达式 R, 问: áRñ=A*? 这个问题至少需要指数空间.
既没有找到多项式时间算法、又没能证明是难解的问题. 如哈密顿回路问题、货郎问题、背包问题等
判定问题
所有多项式时间可解的问题组成的问题类称作 P类.
设判定问题 P = < D,Y >, 如果存在两个输入变量的多项式时间算法 A和多项式 p, 对每一个实例 IÎD, IÎY 当且仅当存在 t, | t |£ p(|I|), 且 A对输入 I 和 t 输出"Yes", 则称P 是多项式时间可验证的, A是P 的多项式时间验证算法, 而当 IÎY 时, 称 t 是 IÎY 的证据.
由所有多项式时间可验证的判定问题组成的问题类称作NP类.
NP 完全问题是 NP 中最难的问题.
合式公式 是由变元, 逻辑运算符以及圆括号按照一定的规则组成的表达式. 变元和它的否定称作文字. 有限个文字的析取称作简单析取式. 有限个简单析取式的合取称作合取范式. 给定每一个变元的真假值称作一个赋值. 如果赋值 t 使得合式公式 F 为真, 则称 t 是 F 的成真赋值. 如果 F 存在成真赋值, 则称 F 是可满足的.
