【每日一题】【逆推法 + 贪心】【数学】造数 河南萌新联赛2024第（一）场：河南农业大学 A题 C++

河南萌新联赛2024第（一）场：河南农业大学 A题

造数

题目描述

样例 #1

样例输入 #1

2

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

5

样例输出 #2

3

做题思路

本题可以用逆推法

将三种操作反过来变为
− 1 , − 2 , / 2 -1 , -2 , /2 −1,−2,/2

问最少需要多少次可以将 n n n转化为 0 0 0

那么正常思维肯定是如果数字很大，三个操作中 / 2 /2 /2是变小最快的。

直到到2了可以进行 − 2 -2 −2将其变为 0 0 0(不能看为 / 2 /2 /2,因为 0 ∗ 2 = 0 0*2=0 0∗2=0,而 0 + 2 = 2 0+2=2 0+2=2)

问题就在于偶数的乘除是可逆的，但(在计算机整数运算中)奇数不是

具体的例子 7 / 2 = 3 7/2 = 3 7/2=3 , 但 3 ∗ 2 = 6 3*2 = 6 3∗2=6

所以逆推法在遇到奇数如果直接去除2最好推出的答案有问题。

最简单的例子就是 7 7 7

7 / 2 = 3 , 3 / 2 = 1 , 1 − 1 = 0 7/2 = 3 , 3/2 = 1 , 1-1 = 0 7/2=3,3/2=1,1−1=0为三部

但实际上三步无法从 0 0 0通过 + 1 , + 2 , × 2 +1,+2,\times 2 +1,+2,×2变为 7 7 7

根本的原因就在于计算机整数运算的向下取整

所以最简单的解决办法就是，遇到奇数通过加减将其变为偶数即可。

因为加减是可逆的，无任何问题。

逆推法的在运用的重点在于每次操作必须可逆。

只需保证 n n n到 0 0 0的速度是最快的，用的操作是最少的即可(其中暗含贪心思想 )。

很容易验证除了 0 , 2 0,2 0,2以外的正偶数进行 / 2 /2 /2的操作一定是最佳的。

也就是说 a / 2 ≤ a − 2 < a − 1 a/2 \le a-2 \lt a-1 a/2≤a−2<a−1

对于奇数的证明从正推可以得到一点，因为 2 2 2为偶数，所以奇数只能通过 + 1 +1 +1操作得到。

也就对于着逆推的 − 1 -1 −1操作。

总结思路

1. 从n开始
2. 遇到偶数就除二，否则-1
3. 重复第二步直到数字变为2

答案就是操作第二步的步数+1

时间复杂度分析

因为每次基本上都是以 / 2 /2 /2进行所以时间复杂度约为 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)

伪代码

赛时代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <tuple>
#include <map>
#define int long long
using namespace std;

signed main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    if(n&1){sum ++ ; n--;}
    while(n){
        if(n == 2){
            sum ++;
            break;
        }
        n >>= 1;sum ++;
        //cout << n << ' ';
        if(n&1){sum ++ ; n--;continue;}
        
    }
    cout << sum;
    return 0;
}