算法训练1 - 技术栈

01背包问题

背包状态方程----动态规划

二维dp

使用 f[i][j] = max(f[i-1][j] ,f[i-1][j - w[i]] + v[i]);

伪代码：

cpp 复制代码

int dp[100][100];
void test6() {
	int n;  //装备数量
	int m;  //背包容量

	int v[105], w[105]; //前面空间，后面价值
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= 0; j--) {
			if (j >= v[i]) {
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			}
			else {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			}
		}
	}
}

其中，dp中的横坐标i代表的是第i个装备，纵坐标 j 为背包容量，由于这里dp一直记录的是最大的，所以可以优化为一维dp

同理的一道题：

使用一维dp，注意的是：进行更新 f[ ]时，要从后面开始更新，这样可以使用的f[j - v[i]] 全是上次草药的值，如果从小往大进行更新，会导致后面更新，装两次一样的草药。导致错误。

cpp 复制代码

void test3() {
	int timeAll, num;
	scanf("%d%d", &timeAll, &num);
	int v[105],w[105];
	int f[1005];
	for (int i = 1; i <= num; i++) {
		scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
	}
	for (int i = 0; i <= timeAll; i++) {
		f[i] = 0;
	}
	for (int i = 1; i <= num; i++) {
		for (int j = timeAll; j >= 0; j--) {
			if (j >= v[i]) {
				f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
			}
			else {
				f[j] = f[j];
			}
		}
	}


	printf("%d", f[timeAll]);
}

桶排序+暴力处理

这里就不断处理最大值，最大湿度衣服进行烘干，然后暴力执行。

cpp 复制代码

//堆排序
int f[500005];
void test5() {
	int n, a, b;
	scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
	int max = 0, sum = 0,time = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int k;
		scanf("%d", &k);
		f[k]++;
		if (k > max) {
			max = k;
		}
	}

	while (1) {
		if (max <= sum) {
			break;
		}
		f[max]--;
		if (max > b) {
			f[max - b] += 1;
		}
		while(f[max] == 0) {
			max--;
		}

		sum += a;
		time += 1;
	}
	printf("%d", time);

}

二分答案：

题解 P2678 【跳石头】 - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)https://www.luogu.com.cn/article/08mxthsv

运用二分答案，进行枚举判断答案是否正确

比如：

使用check函数检查答案是否正确，运用二分答案：两个要素

单调性，有界性。答案可以枚举出来

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
int H[1000005];
int N, M;
bool check2(int l) {
	int count = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (H[i] > l) {
			count += H[i] - l;
			if (count >= M) {
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

void test8() {

	scanf("%d%d", &N, &M);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &H[i]);
	}
	sort(H + 1, H + 1 + N);

	int left = 1, right = H[N], ans = 0;
	while (left <= right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		if (check2(mid)) {
			ans = max(ans, mid);
			left = mid + 1;
		}
		else {
			right = mid - 1;
		}
	}
	cout << ans;

}
int main() {
	test8();
}

还有这题：P1824 进击的奶牛 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

同理：使用二分答案，解决

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
int V[200005];
int N, C, H;
using namespace std;
int check(int k) {
	int last = V[1], count = 0;
	for (int i = 2; i <= N; i++) {
		if (V[i] - last < k) {
			count++;
			if (H < count)return 1;
		}
		else {
			last = V[i];
		}

	}
	return 0;
}

int max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

void swap(int* a, int* b) {
	int t = *a;
	*a = *b;
	*b = t;
}

void test7() {

	scanf("%d %d", &N, &C);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &V[i]);
	}
	H = N - C;

	sort(V+1,V+N+1);
	

	int left = 1, right = V[N], ans = 0;
	while (left <= right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		if (check(mid) == 0) {
			ans = max(mid, ans);
			left = mid + 1;
		}
		else {
			right = mid - 1;
		}
	}
	printf("%d", ans);

}
int main() {
	test7();
}

并查集

比如：

P3367 【模板】并查集 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

找祖先，就一直找到最初的组件，判断是否相等，如果相等，就说明这两个是在同一个集合中。

cpp 复制代码

int find(int x) {
	while (x != f[x]) {
		x = f[x];
	}
	return x;
}

//路径压缩，循环实现
int find(int x){
    while (x != f[x]){
        f[x] = f[f[x]];
         x = f[x]
    }
    return x;
}

//路径压缩，递归实现
int find(int x){
    if(x == f[x])
        return x;
    return f[x] = find[f[x]];
}

路径压缩后会可以使查询祖先时，快不少。

并查集还有一个重要的出来查询之外，还有合并了

这里可以直接把一个元素的祖先赋值给一个元素的祖先

cpp 复制代码

void merge(int a,int b){
    int a1 = find(a);
    int a2 = find(b);
    f[a1] = a2;
}

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
int N, M;
int f[10005];
void init() {
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		f[i] = i;
	}
}

int find(int x) {
	while (x != f[x]) {
		f[x] = f[f[x]];
		x = f[x];
	}
	return x;
}

void test8() {
	cin >> N >> M;
	init();
	for (int i = 1; i <= M; i++) {
		int z, x, y;
		cin >> z >> x >> y;
		if (z == 1) {
			f[find(x)] = find(y);
		}
		else if (z == 2) {
			if (find(x) == find(y)) {
				cout << "Y\n";
			}
			else {
				cout << "N\n";
			}
		}
	}
	
}
int main() {
	test8();
}

最小生成树

算法：prim,kruskal算法

主要学习了kruskal算法

运用到了并查集。P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

顺便学习了c++中sort函数，自定义排序方式，

图中的边权值，进行排序。

kruskal:先找出最小没有连接的边，然后判断如果连接后有没有回路，如果有回路，就舍弃这条边，没有就把这条边加入，然后再进行判断下一条边。

P1195 口袋的天空 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

类似的，这个是需要把n个点构造成k棵最小生成树，所以只要加入的边等于n-k就行了

附上代码

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int N, M, K;
int f[1005];

struct edge {
	int v, u, w;
}edges[10005];

int find(int x) {
	while (f[x] != x) {
		f[x] = f[f[x]];
		x = f[x];
	}
	return x;
}
bool cmp(edge a, edge b) {
	return a.w < b.w;
}

void kruskal() {
	int ans = 0, cnt = 0;
	sort(edges + 1, edges + M + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= M; i++) {
		int a1 = find(edges[i].u);
		int a2 = find(edges[i].v);
		if (a1 == a2) {
			continue;
		}
		ans += edges[i].w;
		f[a1] = a2;    //连接两个顶点
		cnt++;
		if (cnt == N - K) {
			cout << ans;
			return;
		}

	}
	cout << "No Answer";
}

void test() {
	cin >> N >> M >> K;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		f[i] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= M; i++) {
		cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w;
	}
	kruskal();
}
int main() {
	test();
}

最短路径

dijkstra算法+链式前向星存边，

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#define inf 2147483647
using namespace std;
long long dis[10005];
bool vis[10005];
int head[10005];
int n, m, s,cnt = 0;
//在这里head数组储存i点的一条边的编号，edge中的next表示的是起点相同的边的编号，
//可以从加边那里深刻理解
//链式前向星存边
struct edge {
	int next;
	int to;
	int val;
}edges[500005];

void dijkstra() {
	dis[s] = 0;
	int cur = s;
	while (!vis[cur]) {
		vis[cur] = true;
		for (int i = head[cur]; i != 0; i = edges[i].next) {
			if (!vis[edges[i].to] && dis[edges[i].to] > dis[cur] + edges[i].val) {
				dis[edges[i].to] = dis[cur] + edges[i].val;
			}
		}
		int min = inf;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (!vis[i] && min > dis[i]) {
				min = dis[i];
				cur = i;
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cout << dis[i] <<" ";
	}
}

//加边
void add(int a,int b,int c) {
	edges[++cnt].next = head[a];
	edges[cnt].to = b;
	edges[cnt].val = c;
	head[a] = cnt;            //记录编号
}

void test() {
	cin >> n >> m >> s;

	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(a, b, c);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		dis[i] = inf;
	}
	dijkstra();
}


int main() {
	test();
}

训练总结：昨天晚上加今天一天完成了这所有的训练，确实收获不少。

靠思维，暴力解决：A,,K,L

动态规划还是不太熟练， B

二分答案，能够理解。 C,D,E,F

并查集：G,H

最小生成树：H,I

最短路径：J

思路有个大概，但是完全自己想出来，还是有点难度