【动态规划】路径问题

路径问题

1.最小路径和
2.地下城游戏

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1.最小路径和

题目链接： 64. 最小路径和

题目描述：

求左上角到右上角最小路径和。注意只能向下向右移动！

算法原理：

1.状态表示

经验 + 题目要求

dp $i$ $j$ 表示：到达 $i$ $j$ 位置时，最小路径和

2.状态转移方程

根据最近一步，划分问题

到达 $i$ $j$ 有两种情况， $i-1$ $j$ ， $i$ $j-1$ 都可以到，但是我们要找的是到达 $i$ $j$ 最小路径，那 $i-1$ $j$ ， $i$ $j-1$ 一定要是最小。而dp $i$ $j$ 表示：到达 $i$ $j$ 位置时，最小的下降路径。然后在加上 $i$ $j$ 本身的值。所以状态转移方程为

3.初始化

填表时保证不越界

如果我们开辟和原数组一样大小的dp表，第一行和第一列填表的时候都会越界。因此dp表可以多开一行一列。

虚拟节点里面的值，要保证后面填表的结果是正确的
下标的映射

虚拟节点的值应该放什么呢。先不考虑多加的行和列。没有这些的话，考虑这些填表越界的格子应该填多少。先看第一个格子，第一个格子的意思是dp $0$ $0$ 表示达到 $0$ $0$ 位置的最小值，那没得选就是它本身也就是之前矩阵g $0$ $0$ 的值，这个格子的值是上一个格子和左边格子的最小值在加上自己本身，因此第一个格子上面和左边虚拟格子我们给0，

剩下的虚拟格子也给0吗？不行的。如果是0，那这个虚拟格子里的值就会参与取最小值的运算。会导致填表错误。因此把剩下格子设置为+∞，只把 $0$ $1$ 和 $1$ $0$ 位置设置为0就好了。

当前你也可以直接把第一行和第一列初始化，但是用的更多的还是多开一行一列。

如果做的多，你会发现求最小值，就是dp表先给+∞，仅修改几个位置的值就可以了。同样求最大值，dp表先给-∞，然后修改几个位置的值就可以了。

4.填表顺序

从上到下填写每一行，每一行从左往右

5.返回值

多开一行一列右下角就变成 $m$ $n$ ，所以返回dp $m$ $n$

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        // 1.创建dp表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= m; ++i)
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

2.地下城游戏

题目链接： 174. 地下城游戏

题目分析：

骑士要从左上角出发到右下角救公主。骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。骑士每次只能向左向右移动。骑士每到一个格子要么就是减去健康点、要么加上健康点、要么不增不加。注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。也就是说到达右下角救公主也可能减去健康点。

如下面例子，第一个格子是-2，我们可以给个3 ，但是走到-3，骑士就死了。我们也就知道给3不行，然后就给个6，走到右下角骑士也死了也是不行的。因此最终给个7才真正救出公主。

算法原理：

1.状态表示

经验 + 题目要求

经验我们有两个，1.以某个位置为结尾，巴拉巴拉。 2.以某个位置为起点，巴拉巴拉。

以某个位置为结尾，巴拉巴拉

dp $i$ $j$ 表示：从起点出发，到达 $i$ $j$ 位置的时候，所需要的最低初始健康点数。

但是回到刚才的分析，当往下走的时候，发现骑士死了，才知道初始给的健康点数是不对。还需要重新给。显然是不行的。因此以某个位置为结尾这种经验定状态标识是不行的，所以换一种。

以某个位置为起点，巴拉巴拉

dp $i$ $j$ 表示：从 $i$ $j$ 位置出发，到达终点，所需最低初始健康值

2.状态转移方程

还是根据最近的一步，划分问题

以 $i$ $j$ 位置起点，下一步可以向下向右走。那走到下一步的时候是不是还要保证下一步还可以往下在走啊。假设健康值是x ，然后往右走是不是要保证 x + d $i$ $j$ >= dp $i$ $j+1$ ----> x >= dp $i$ $j+1$ - d $i$ $j$ ，又因为所需的是最低初始健康值，因此往右走仅需 x = dp $i$ $j+1$ - d $i$ $j$ ，同理往下走 x = dp $i+1$ $j$ - d $i$ $j$ ，又因为所需最低初始健康值所以取它们中最小值。

其实这里还可以这样理解，dp $i$ $j$ 表示从 $i$ $j$ 位置出发，到达终点，所需最低初始健康值。每次只能向右向下走， $i$ $j$ 最近一步 $i$ $j+1$ 和 $i+1$ $j$ ，那如果知道 dp $i$ $j+1$ 和dp $i+1$ $j$ 到达终点，所需最低初始健康值，取它俩中最小，在减去 d $i$ $j$ 健康点的情况不就是dp $i$ $j$ 到达终点，所需最低初始健康值了吗。

但是这里还有一个非常细的细节，如果dp $i$ $j$ 等于一个负数怎么办。也就是说d $i$ $j$ 这里是一个很大的血包，dp $i$ $j$ 为负值难道要一个死去的骑士要去救公主吗，显示是不合常识的，因此要处理一下。这个血包就足以骑士走接下来的路，因此给骑士一个最低的健康点 1 就行了。

3.初始化

多给一行一列，不过多给一行一列是给在下面的。所以就没有下标映射的关系了。

只关注，虚拟节点的值，要保证接下来填表正确。

骑士走到右下角救到公主之后，向右向下走还必须保证骑士活着健康点还必须是最低，因此dp $m$ $n-1$ = dp $m-1$ $n$ = 1，其他虚拟节点的值为了不影响dp $i$ $j$ 找最小运算直接给+∞。

4.填表顺序

从下往上，从右往左

5.返回值

dp $0$ $0$